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 ==== Longitudinal Mixing ==== ==== Longitudinal Mixing ====
  
-To evaluate an extruder we need values, which are able to describe the mixing. The variance of the probability density function+To evaluate an extruder we need values that can be used to describe mixing. The variance of the probability density function
  
 $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta \tag{1}$$ $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta \tag{1}$$
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 When the variance is greater, one can expect better longitudinal mixing. The solution of the integral gives a description of the variance $\sigma^2$ depending on the dimensionless minimum residence time $Q_1$. The figure compares the variance profile of a co-rotating twin screw extruder with that of another extruder. When the variance is greater, one can expect better longitudinal mixing. The solution of the integral gives a description of the variance $\sigma^2$ depending on the dimensionless minimum residence time $Q_1$. The figure compares the variance profile of a co-rotating twin screw extruder with that of another extruder.
  
-{{ :en:grundlagenhandbuch:en_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_mischvorgaenge_001.svg?nolink&500 |}}+{{ :en:grundlagenhandbuch:en_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_mischvorgaenge_001.svg?nolink&700 |}}
  
 **Figure:** Variance vs. minimum dimensionless residence time **Figure:** Variance vs. minimum dimensionless residence time
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 The bold lines represent the values usually found within those machines. Values that are not found within this area are deemed invalid. The minimum dimensionless residence time $Q_1$ takes into account the different geometries of the extruder. If $Q_1 = 1$ we find a bulk flow with a variance $\sigma^2 = 0$, in an ideal mixer we would find $Q_1 = 0$ with a variance $\sigma^2 = 1$ [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Pot84]]],  [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PL85]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Lap85]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Pot88]]]. The bold lines represent the values usually found within those machines. Values that are not found within this area are deemed invalid. The minimum dimensionless residence time $Q_1$ takes into account the different geometries of the extruder. If $Q_1 = 1$ we find a bulk flow with a variance $\sigma^2 = 0$, in an ideal mixer we would find $Q_1 = 0$ with a variance $\sigma^2 = 1$ [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Pot84]]],  [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PL85]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Lap85]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Pot88]]].
  
-The variance profile of co-rotating twin screw extruders is almost identical to that of the smooth barrel single screw extruder. The values usually found for co-rotating twin screw extruders are shifted to lower values of the minimum dimensionless residence time. Because of this the variances can be achieved in co-rotating twin screw extruders.+The variance profile of co-rotating twin screw extruders is almost identical to that of the smooth barrel single screw extruder. The values usually found for co-rotating twin screw extruders are shifted to lower values of the minimum dimensionless residence time. This allows for higher variances in co-rotating twin-screw extruders.
  
 Potente [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PA90]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PA90]]] found a description of the variance which is valid for $0.35 < Q_1 < 0.75$: Potente [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PA90]]], [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[PA90]]] found a description of the variance which is valid for $0.35 < Q_1 < 0.75$:
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 ==== Axial Mixing Coefficient ==== ==== Axial Mixing Coefficient ====
  
-Werner [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Wer76]]] was the first person to introduce this value to characterise the mixing behavior of extruders. The axial mixing co-efficient is defined as the ratio of the leakage flow rate to the volume flow rate within one designated channel:+Werner [[en:grundlagenhandbuch:mischvorgaenge_im_gleichdrall-doppelschneckenextruder#references |[Wer76]]] was the first person to introduce this value to characterise the mixing behavior of extruders. The axial mixing coefficient is defined as the ratio of the leakage flow rate to the volume flow rate within one designated channel:
  
 $$\sigma_M = \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \tag{3}$$ $$\sigma_M = \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \tag{3}$$
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 ===== References ===== ===== References =====
  
-[For87] Fornefeld, A.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von Mehrzonen-Plastifiziereinheiten mit Scher- und Mischelementen, Dissertation, Universität Paderborn,, 1987+[For87] Fornefeld, A.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von Mehrzonen-Plastifiziereinheiten mit Scher- und Mischelementen, Dissertation, Universität Paderborn, 1987
  
 [Kes91] Kessler, H.: Modell zum stationären und instationären Mischen in konventionellen Einschneckenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1991 [Kes91] Kessler, H.: Modell zum stationären und instationären Mischen in konventionellen Einschneckenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1991
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 [Lap85] Lappe, H.: Untersuchung zum Verweilzeitverhalten von Schmelze- und konventionellen Plastifizierextrudern, 1985 [Lap85] Lappe, H.: Untersuchung zum Verweilzeitverhalten von Schmelze- und konventionellen Plastifizierextrudern, 1985
  
-[OC83] Ottino, J.M.; Chella, R.: Laminar Mixing of Polymeric Liquids; a brief rewiew and recent Theoretical Developments, Polymer Engineering and Science, 23(1983)7, 357-379+[OC83] Ottino, J.M.; Chella, R.: Laminar Mixing of Polymeric Liquids; A Brief Review and Recent Theoretical Developments, Polymer Engineering and Science, 23(1983)7, 357-379
  
 [Pah85] Pahl, M.H.: Mischen in Schneckenmaschinen, Teil 1 : Homogenisieren , Chem.-Ing.-Tech., 57(1985)5, 421-430 [Pah85] Pahl, M.H.: Mischen in Schneckenmaschinen, Teil 1 : Homogenisieren , Chem.-Ing.-Tech., 57(1985)5, 421-430
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 [Pot91] Potente, H.: Rechnergestützte Extruderauslegung., Kunststofftechnisches Seminar, Paderborn, 1991 [Pot91] Potente, H.: Rechnergestützte Extruderauslegung., Kunststofftechnisches Seminar, Paderborn, 1991
  
-[Raa61] Raasch, J.: Beanspruchung und Verhalten suspendierter Festsstoffteilchen in Scherströmungen hoher Zähigkeit,1961+[Raa61] Raasch, J.: Beanspruchung und Verhalten suspendierter Feststoffteilchen in Scherströmungen hoher Zähigkeit,1961
  
 [Sch87] Schultheis, S.M.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von gegenläufigen Doppelschneckenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1987 [Sch87] Schultheis, S.M.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von gegenläufigen Doppelschneckenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1987