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grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe [2026/01/30 11:03] – [Wärmestrombilanz] deppe2grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe [2026/02/05 11:03] (aktuell) – [Feststofftemperatur am Ort des Aufschmelzbeginns] pka
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 ====== Aufschmelzmodell für dispers verteilte Füllstoffe ====== ====== Aufschmelzmodell für dispers verteilte Füllstoffe ======
-$\frac{\partial \theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 }{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_Z \theta}$ \\ 
-$\theta = \frac{T - T_j}{T_z}$ \\ 
-$\theta_0 = \frac{T_0 - T_j}{T_z}$\\ 
-$\xi= \frac{y}{h}$\\ 
-$\xi= \frac{z}{\Delta z}$ \\ 
-$Br = \frac{\overline{\tau \cdot \dot{y}} \, \bar{h}^2}{\lambda T_z}$\\ 
-$Gz = \frac{c_p \rho \overline{h} \, }{\lambda \overline{b} \Delta z} \dot{V}_z$\\ 
  
 =====Schmelzmodell für disperse Feststoffe ===== =====Schmelzmodell für disperse Feststoffe =====
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 **Abbildung:** Schematische Darstellung des Temperaturverlaufs im Innern eines kugelförmigen Partikels **Abbildung:** Schematische Darstellung des Temperaturverlaufs im Innern eines kugelförmigen Partikels
  
-Auf dem Gebiet der instationären Wärmeübertragung wird die Temperaturerhöhung ausgehend von Einzelpartikeln [1], [2] oder durchströmten Festbetten [2] [3] [4] betrachtet. Da nach Voraussetzung 2 für das Aufschmelzen von Einzelpartikeln ausgegangen werden soll, ist es sinnvoll, auch im Feststoffförderbereich von Einzelpartikeln auszugehen. Das Bild zeigt schematisch den Temperaturverlauf im Innern eines Partikels in Kugelform. $\bar{T}$ ist die gesuchte mittlere kalorische Temperatur der Partikel.+Auf dem Gebiet der instationären Wärmeübertragung wird die Temperaturerhöhung ausgehend von Einzelpartikeln [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:literatur|[1, 2]]] oder durchströmten Festbetten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:literatur|[2, 3, 4]]] betrachtet. Da nach Voraussetzung 2 für das Aufschmelzen von Einzelpartikeln ausgegangen werden soll, ist es sinnvoll, auch im Feststoffförderbereich von Einzelpartikeln auszugehen. Das Bild zeigt schematisch den Temperaturverlauf im Innern eines Partikels in Kugelform. $\bar{T}$ ist die gesuchte mittlere kalorische Temperatur der Partikel.
  
 Die Kopplung von Energiesatz und Kinetik liefert die zu lösende Differentialgleichung für das kugelsymmetrische Temperaturfeld, Die Kopplung von Energiesatz und Kinetik liefert die zu lösende Differentialgleichung für das kugelsymmetrische Temperaturfeld,
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 $$\theta = \frac{T - T_U}{T_0 - T_U}; \tau = \frac{at}{r_0^2}; \xi = \frac{r}{r_0}$$ $$\theta = \frac{T - T_U}{T_0 - T_U}; \tau = \frac{at}{r_0^2}; \xi = \frac{r}{r_0}$$
  
-eingeführt wurden. Für den Fall einer einmaligen sprunghaften Temperaturänderung von der Anfangstemperatur $T_0$ auf die Umgebungstemperatur $T_U$ ist in [2] die Lösung der Dgl. angegeben. Für hinreichend lange Zeiten $\tau$ im Innern der Partikel endlicher Ausdehnung sind die Temperaturprofile einander ähnlich. Sie lassen sich dann durch eine Ortsfunktion $f(\xi)$ beschreiben, die mit zunehmender Zeit maßstäblich verkleinert wird [2]:+eingeführt wurden. Für den Fall einer einmaligen sprunghaften Temperaturänderung von der Anfangstemperatur $T_0$ auf die Umgebungstemperatur $T_U$ ist in [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:literatur|[2]]] die Lösung der Dgl. angegeben. Für hinreichend lange Zeiten $\tau$ im Innern der Partikel endlicher Ausdehnung sind die Temperaturprofile einander ähnlich. Sie lassen sich dann durch eine Ortsfunktion $f(\xi)$ beschreiben, die mit zunehmender Zeit maßstäblich verkleinert wird [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:literatur|[2]]]:
  
 $$\theta = g(\tau) \cdot f(\xi)$$ $$\theta = g(\tau) \cdot f(\xi)$$
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 $$m_i = \frac{a}{\left(1 + \frac{b}{Bi}\right)^c}$$ $$m_i = \frac{a}{\left(1 + \frac{b}{Bi}\right)^c}$$
 +
 +$$m_{2-4} = a \cdot \tanh\left(\frac{\ln Bi}{\ln b} - c\right) + d$$
  
 Die Konstanten a-d sind in der Tabelle angegeben. Die Konstanten a-d sind in der Tabelle angegeben.
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 **Tabelle:** Konstanten zur Bestimmung der Temperaturfunktion **Tabelle:** Konstanten zur Bestimmung der Temperaturfunktion
  
-Folgendes Bild zeigt die Werte der ersten 4 Nullstellen aus [2] und die mit obenstehenden Gleichungen approximierten Werte.+Folgendes Bild zeigt die Werte der ersten 4 Nullstellen aus [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:literatur|[2]]] und die mit obenstehenden Gleichungen approximierten Werte.
  
 {{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_004.svg?500%nolink |}} {{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_004.svg?500%nolink |}}
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 Zur Ermittlung des Korrekturfaktors nähert man die reale Kanalgeometrie durch eine Treppenfunktion an. Jedes Intervall i der Treppenfunktion möge wie der Flachkanal eine lineare Geschwindigkeitsverteilung besitzen. Lässt man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich und damit die Intervallbreite gegen Null streben, so ergibt sich für die gemittelte dissipierte Leistung: Zur Ermittlung des Korrekturfaktors nähert man die reale Kanalgeometrie durch eine Treppenfunktion an. Jedes Intervall i der Treppenfunktion möge wie der Flachkanal eine lineare Geschwindigkeitsverteilung besitzen. Lässt man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich und damit die Intervallbreite gegen Null streben, so ergibt sich für die gemittelte dissipierte Leistung:
  
-$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2} - \frac{-b_{max}}{2}} \int_{-b_{max}/2}^{x_f} \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{h(x)^{1+n}} dx$$+$$(\overline{\tau\dot{\gamma}})_j = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{h(x)^{1+n}} dx$$
  
 $x_f$ ist dabei die Position der Fließfront in teilgefüllten Kanalabschnitten, wobei von einer idealisierten senkrechten Fließfront ausgegangen wird. Mit der mittleren wirksamen Kanaltiefe $x_f$ ist dabei die Position der Fließfront in teilgefüllten Kanalabschnitten, wobei von einer idealisierten senkrechten Fließfront ausgegangen wird. Mit der mittleren wirksamen Kanaltiefe
  
-$$\bar{h}\left(x_f\right) = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2} - \frac{-b_{max}}{2}} \int_{-b_{max}/2}^{x_f} h(x)dx$$+$$\bar{h}(x_f) = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} h(x)dx$$
  
 erhält man für $C_K$: erhält man für $C_K$:
  
-$$C_K = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2} - \frac{-b_{max}}{2}} \int_{-b_{max}/2}^{x_f} \left(\frac{\bar{h}(x_f)}{h(x)}\right)^{1+n} dx$$+$$C_K = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \left(\frac{\bar{h}(x_f)}{h(x)}\right)^{1+n} dx$$
  
 Damit in der Gleichung eine Nulldivision für den Ort x=-$b_{max}$/2 vermieden wird, muss auch hier analog zur Leistungsberechnung das praktische Kanalprofil verwendet werden. Die Ermittlung des Integrals erweist sich aufgrund der abschnittsweisen Definition des Kanalprofils als schwierig, weshalb die Integration numerisch durchgeführt wurde. Die Gleichung beschreibt die füllgradabhängige mittlere wirksame Kanaltiefe, die für das ebene Rinnenmodell zu verwenden ist. Damit in der Gleichung eine Nulldivision für den Ort x=-$b_{max}$/2 vermieden wird, muss auch hier analog zur Leistungsberechnung das praktische Kanalprofil verwendet werden. Die Ermittlung des Integrals erweist sich aufgrund der abschnittsweisen Definition des Kanalprofils als schwierig, weshalb die Integration numerisch durchgeführt wurde. Die Gleichung beschreibt die füllgradabhängige mittlere wirksame Kanaltiefe, die für das ebene Rinnenmodell zu verwenden ist.
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 Durch Gleichsetzen erhält man: Durch Gleichsetzen erhält man:
-$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial_z}{\partial z} \frac{\partial t}{\partial t}$$+$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}$$
  
 Löst man die Gleichung nach $\partial t$ auf und führt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal mit $\bar{v} = \frac{\partial z}{\partial t}$ ein, so erhält man: Löst man die Gleichung nach $\partial t$ auf und führt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal mit $\bar{v} = \frac{\partial z}{\partial t}$ ein, so erhält man:
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 durch Einsetzen erhält man: durch Einsetzen erhält man:
  
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)$$+$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0$$
  
 mit mit
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 $r_{0,i}$ ist hierbei der Radius am Anfang des betrachteten Kanalabschnittes. Gleichung (4.67) ermöglicht somit die Berechnung des Partikelradius' entlang der Schneckenanordnung. Der Feststoffanteil ergibt sich zu: $r_{0,i}$ ist hierbei der Radius am Anfang des betrachteten Kanalabschnittes. Gleichung (4.67) ermöglicht somit die Berechnung des Partikelradius' entlang der Schneckenanordnung. Der Feststoffanteil ergibt sich zu:
  
-$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges}}{A_K}\frac{4}{3}\pi r_0^3 \frac{1}{\Delta z A_{Kanal}}$$ +$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}$$
  
 +{{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_011.svg?550%nolink |}}
  
 **Abbildung:** Vergleich berechneter und gemessener Aufschmelzverläufe **Abbildung:** Vergleich berechneter und gemessener Aufschmelzverläufe