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--- grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/05/19 11:58] – [Analytische Beschreibung] neelest
+++ grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Einfluss der endlichen Kanaldimension] paal
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 eingeführt wurden. Für den Fall einer einmaligen sprunghaften Temperaturänderung von der Anfangstemperatur $T_0$ auf die Umgebungstemperatur $T_U$ ist in [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[NN88]]] die Lösung der Dgl. angegeben. Für hinreichend lange Zeiten $\tau$ im Innern der Partikel endlicher Ausdehnung sind die Temperaturprofile einander ähnlich. Sie lassen sich dann durch eine Ortsfunktion $f(\xi)$ beschreiben, die mit zunehmender Zeit maßstäblich verkleinert wird [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[NN88]]]:
-$$\theta = g(\tau) \cdot f(\xi)$$
+$$\theta = g(\tau) \cdot f(\xi)\tag{14}$$
 Führt man diesen Produktansatz in die Differentialgleichung ein, so erhält man mit der Anfangsbedingung
-$$\theta(\xi,0) = 1$$
+$$\theta(\xi,0) = 1\tag{15}$$
 und der Randbedingung
-$$\left(\frac{1\ \partial\theta}{\partial i\ \partial\xi} + \theta\right)_{\xi=1} = \begin{cases} 1 & \text{für } \tau \leq 0 \\ 0 & \text{für } \tau > 0 \end{cases}\tag{14}$$
+$$\left(\frac{1\ \partial\theta}{\partial i\ \partial\xi} + \theta\right)_{\xi=1} = \begin{cases} 1 & \text{für } \tau \leq 0 \\ 0 & \text{für } \tau > 0 \end{cases}\tag{16}$$
 als Lösung die kalorisch mittlere Temperatur der Partikel
-$$\bar{\theta} = \sum_{i=1}^{\infty} c_i(m_i)D_i(m_i)e^{-m_i^2\tau}\tag{15}$$
+$$\bar{\theta} = \sum_{i=1}^{\infty} c_i(m_i)D_i(m_i)e^{-m_i^2\tau}\tag{17}$$
 mit
-$$m_i = \left(1 - \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\right)\frac{\cos(m_i)}{\sin(m_i)}\tag{16}$$
+$$m_i = \left(1 - \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\right)\frac{\cos(m_i)}{\sin(m_i)}\tag{18}$$
-$$c_i(m_i) = 2\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i - \sin(m_i) \cos(m_i)}\tag{17}$$
+$$c_i(m_i) = 2\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i - \sin(m_i) \cos(m_i)}\tag{19}$$
-$$D_i(m_i) = 3\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i^3}\tag{18}$$
+$$D_i(m_i) = 3\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i^3}\tag{20}$$
 Für praxisgerechte Berechnungen ist es ausreichend, die ersten vier Glieder der Summenfunktion zu berücksichtigen. Die Konstanten $m_i$ sind die Nullstellen der in der ersten Gleichung angegebenen transzendenten Funktion. Mit der dimensionslosen Biot-Kennzahl
-$$Bi = \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\tag{19}$$
+$$Bi = \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\tag{21}$$
 können die ersten vier Nullstellen durch folgende Approximationsgleichungen beschrieben werden:
-$$m_i = \frac{a}{\left(1 + \frac{b}{Bi}\right)^c}\tag{20}$$
+$$m_i = \frac{a}{\left(1 + \frac{b}{Bi}\right)^c}\tag{22}$$
-$$m_{2-4} = a \cdot \tanh\left(\frac{\ln Bi}{\ln b} - c\right) + d\tag{21}$$
+$$m_{2-4} = a \cdot \tanh\left(\frac{\ln Bi}{\ln b} - c\right) + d\tag{23}$$
 Die Konstanten a-d sind in der Tabelle angegeben.
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 Die dimensionslose Biot-Zahl ist abhängig vom äußeren Wärmeübergangskoeffizienten $\alpha_L$, der sich mit Hilfe der dimensionslosen Nusselt-Zahl berechnen lässt.
-$$Nu = \frac{\alpha_L \cdot \pi r_0}{\lambda_L}\tag{22}$$
+$$Nu = \frac{\alpha_L \cdot \pi r_0}{\lambda_L}\tag{24}$$
 Die Nusselt-Zahl setzt sich zusammen aus einem laminaren und einem turbulenten Anteil. Für kugelförmige Einzelpartikel gilt:
-$$Nu = 2 + \sqrt{Nu_{lam}^2 + Nu_{tur}^2}\tag{23}$$
+$$Nu = 2 + \sqrt{Nu_{lam}^2 + Nu_{tur}^2}\tag{25}$$
 mit
-$$Nu_{lam} = 0,664\sqrt{Re}\sqrt[3]{Pr}\tag{24}$$
+$$Nu_{lam} = 0,664\sqrt{Re}\sqrt[3]{Pr}\tag{26}$$
-$$Nu_{tur} = \frac{0,037Re^{0.8}Pr}{1 + 2,443Re^{-0.1}(Pr^{0.66} - 1)}\tag{25}$$
+$$Nu_{tur} = \frac{0,037Re^{0.8}Pr}{1 + 2,443Re^{-0.1}(Pr^{0.66} - 1)}\tag{27}$$
 Die dimensionslose Reynolds-Zahl berücksichtigt die Luftströmung im Schneckenkanal.
-$$Re = \frac{w\pi r_0}{\nu}\tag{26}$$
+$$Re = \frac{w\pi r_0}{\nu}\tag{28}$$
 Betrachtet man die Luftgeschwindigkeit ausgehend von einem bewegten Koordinatensystem in einem Partikel, so bewegt sich die als ruhend im Schneckenkanal angenommene Luft relativ zum Partikel.
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 Es ergibt sich die Luftgeschwindigkeit proportional der Fördergeschwindigkeit des Granulates,
-$$w = \frac{n_0 t}{F_0}\tag{27}$$
+$$w = \frac{n_0 t}{F_0}\tag{29}$$
 wobei $n_0$ die Schneckenantriebsdrehzahl und t die Gangsteigung der Schnecken ist. Die Feststoffansammlung im Schneckenkanal reduziert den strömungswirksamen Kanalquerschnitt. Hieraus resultiert eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit entsprechend des Feststoffanteils $F_0$.
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 Die in den Gleichungen 24 und 25 enthaltene Prandtl-Zahl Pr ist ein Stoffwert-Verhältnis. Bei der hier durchgeführten Betrachtung mit Luft als umströmendes Medium kann die Prandtl-Zahl bei Vernachlässigung der Druckabhängigkeit mit
-$$Pr(T)3,545 \cdot 10^{-7}T^2 - 1,309 \cdot 10^{-4}T + 0,7169\tag{28}$$
+$$Pr(T)3,545 \cdot 10^{-7}T^2 - 1,309 \cdot 10^{-4}T + 0,7169\tag{30}$$
 approximiert werden, wobei die Temperatur in Grad Celsius einzusetzen ist.
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 Die strömungswirksame Kanaltiefe ist somit eine Funktion des dimensionslosen Feststoffgehalts:
-$$h(x,F) = (1 - F)h(x)\tag{29}$$
+$$h(x,F) = (1 - F)h(x)\tag{31}$$
 Für die Berechnung der Schmelzetemperaturentwicklung soll von folgenden Vereinfachungen ausgegangen werden:
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 Mit diesen Annahmen reduziert sich die allgemeine Energiegleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes:
-$$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho_m c_p \bar{v}_z} \frac{\partial q_y}{\partial y} + \frac{(\tau\dot{\gamma})_j}{\rho_m c_p \bar{v}_z} e^{-\beta(T-T_j)}\tag{30}$$
+$$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho_m c_p \bar{v}_z} \frac{\partial q_y}{\partial y} + \frac{(\tau\dot{\gamma})_j}{\rho_m c_p \bar{v}_z} e^{-\beta(T-T_j)}\tag{32}$$
 Für den Wärmestrom gilt das Fourier'sche Wärmeleitgesetz:
-$$q_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial z}\tag{31}$$
+$$q_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial z}\tag{33}$$
 Die beschreibenden Dgl. lässt sich mit den in der Tabelle angegebenen Kennzahlen in eine dimensionslosen Darstellung überführen.
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 Die Gleichung ist aufgrund der Exponentialfunktion nicht ohne weitere Vereinfachungen lösbar. Um das Problem lösbar zu machen, ist die Exponentialfunktion von Potente [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pot90]]] durch ein Polygonzug angenähert worden:
-$$e^{-\beta(T-T_0)} \approx C_1 - T_2\beta(T - T_0)\tag{32}$$
+$$e^{-\beta(T-T_0)} \approx C_1 - T_2\beta(T - T_0)\tag{34}$$
 Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ sind für bestimmte Bereiche von $\beta \cdot \Delta T$ fest vorgegeben.
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 Es erfolgt kein Wärmeübergang zur Schnecke:
-$$\frac{\partial\theta_0}{\partial\xi} = 0\tag{33}$$ für $\xi = 0$
+$$\frac{\partial\theta_0}{\partial\xi} = 0\tag{35}$$ für $\xi = 0$
 An der Zylinderwand liegt eine vorgegebene Temperatur $T_Z$ vor:
-$$\theta_0(\xi = 0) = \theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}\tag{34}$$
+$$\theta_0(\xi = 0) = \theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}\tag{36}$$
 Die mittlere Massetemperatur der Schmelze zu Beginn des Berechnungsabschnittes ist bekannt:
-$$\int_0^1 \theta_0(\xi)d\xi = \theta_s = \frac{T_s - T_0}{T_z}\tag{35}$$
+$$\int_0^1 \theta_0(\xi)d\xi = \theta_s = \frac{T_s - T_0}{T_z}\tag{37}$$
 Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar.
-Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einen Polynom 2. Grades.
+Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einem Polynom 2. Grades.
-$$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{36}$$
+$$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$
 Folgendes Bild zeigt beispielhaft die Anfangstemperaturverteilung gemäß der Gleichung für verschiedene dimensionslose Zylinderwandtemperaturen.
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 Mit diesem Anfangstemperaturprofil sowie der Annahme, dass die Änderung des Wärmestroms in Kanaltiefenrichtung anhand des Anfangstemperaturprofils abgeschätzt werden kann,
-$$\frac{\partial^2\theta}{\partial\xi^2} \approx \frac{\partial^2\theta_0}{\partial\xi^2}\tag{37}$$
+$$\frac{\partial^2\theta}{\partial\xi^2} \approx \frac{\partial^2\theta_0}{\partial\xi^2}\tag{39}$$
 erhält man die in der Tabelle angegebene Lösung der Dgl.
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 $$+ 0,8624\theta_z e^{3(1-\xi)} - 1,0780\theta_z e^{4(1-\xi)} + 0,8624\theta_z e^{5(1-\xi)} - 0,4312\theta_z e^{6(1-\xi)}$$
-$$\left.+ 0,1232\theta_z e^{7(1-\xi)} - 0,0154\theta_z e^{8(1-\xi)} + 0,1232\theta_z\xi^2 - 0,2464\theta_z\xi\right)\tag{38}$$
+$$\left.+ 0,1232\theta_z e^{7(1-\xi)} - 0,0154\theta_z e^{8(1-\xi)} + 0,1232\theta_z\xi^2 - 0,2464\theta_z\xi\right)\tag{40}$$
 mit
-$$\varepsilon = \frac{\theta_s}{BrC_2\beta T_z}\tag{39}$$
+$$\varepsilon = \frac{\theta_s}{BrC_2\beta T_z}\tag{41}$$
 Da in der Regel nur eine über die Kanalhöhe gemittelte Massetemperatur von Interesse ist, kann diese mit
-$$\bar{\theta} = \frac{\bar{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \theta(\xi,\zeta)d\xi\tag{40}$$
+$$\bar{\theta} = \frac{\bar{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \theta(\xi,\zeta)d\xi\tag{42}$$
 bestimmt werden.
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 Für den flächengleichen Rechteckkanal kann die gemittelte dissipierten Leistung mit
-$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{41}$$
+$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{43}$$
 abgeschätzt werden. Die durch die reale Kanalgeometrie bedingte Änderung der gemittelten dissipierten Leistung gegenüber dem Flachkanal soll durch einen zusätzlich eingeführten Korrekturfaktor $C_K$ Berücksichtigung finden.
-$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = C_K \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{42}$$
+$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = C_K \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{44}$$
 Zur Ermittlung des Korrekturfaktors nähert man die reale Kanalgeometrie durch eine Treppenfunktion an. Jedes Intervall i der Treppenfunktion möge wie der Flachkanal eine lineare Geschwindigkeitsverteilung besitzen. Lässt man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich und damit die Intervallbreite gegen Null streben, so ergibt sich für die gemittelte dissipierte Leistung:
-$$(\overline{\tau\dot{\gamma}})_j = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{h(x)^{1+n}} dx\tag{43}$$
+$$(\overline{\tau\dot{\gamma}})_j = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{h(x)^{1+n}} dx\tag{45}$$
 $x_f$ ist dabei die Position der Fließfront in teilgefüllten Kanalabschnitten, wobei von einer idealisierten senkrechten Fließfront ausgegangen wird. Mit der mittleren wirksamen Kanaltiefe
-$$\bar{h}(x_f) = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} h(x)dx\tag{44}$$
+$$\bar{h}(x_f) = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} h(x)dx\tag{46}$$
 erhält man für $C_K$:
-$$C_K = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \left(\frac{\bar{h}(x_f)}{h(x)}\right)^{1+n} dx\tag{45}$$
+$$C_K = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \left(\frac{\bar{h}(x_f)}{h(x)}\right)^{1+n} dx\tag{47}$$
-Damit in der Gleichung eine Nulldivision für den Ort x=-$b_{max}$/2 vermieden wird, muss auch hier analog zur Leistungsberechnung das praktische Kanalprofil verwendet werden. Die Ermittlung des Integrals erweist sich aufgrund der abschnittsweisen Definition des Kanalprofils als schwierig, weshalb die Integration numerisch durchgeführt wurde. Die Gleichung beschreibt die füllgradabhängige mittlere wirksame Kanaltiefe, die für das ebene Rinnenmodell zu verwenden ist.
+Damit in der Gleichung eine Nulldivision für den Ort $x=-b_{max}/2$ vermieden wird, muss auch hier analog zur Leistungsberechnung das praktische Kanalprofil verwendet werden. Die Ermittlung des Integrals erweist sich aufgrund der abschnittsweisen Definition des Kanalprofils als schwierig, weshalb die Integration numerisch durchgeführt wurde. Die Gleichung beschreibt die füllgradabhängige mittlere wirksame Kanaltiefe, die für das ebene Rinnenmodell zu verwenden ist.
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 Für die physikalisch mathematische Beschreibung des Aufschmelzens von Einzelpartikeln in einer Polymerschmelze sollen gemäß Voraussetzung 2 Wechselwirkungen zwischen benachbarten Partikeln vernachlässigt werden. Die Energiegleichung in Kugelkoordinaten reduziert sich bei Betrachtung stationärer Verhältnisse und reiner Wärmeleitung bei konstanten Stoffdaten:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{46}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{48}$$
 Zur Beschreibung der Wärmeleitung verwendet man die Fourier'sche Differentialgleichung
-$$\dot{q}_r = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r}\tag{47}$$
+$$\dot{q}_r = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r}\tag{49}$$
 Setzt man die Gleichungen ineinander ein, so erhält man unter der Annahme konstanter Stoffwerte:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)\tag{48}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)\tag{50}$$
 {{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_010.svg?300%nolink |}}
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 Feststoff:
-$$\frac{\partial m_f}{\partial t} = -4\pi r_G^2 \rho_f \frac{\partial r_G}{\partial t}\tag{49}$$
+$$\frac{\partial m_f}{\partial t} = -4\pi r_G^2 \rho_f \frac{\partial r_G}{\partial t}\tag{51}$$
 Schmelze:
-$$\frac{\partial m_s}{\partial t} = -4\pi r^2 \rho_s \frac{\partial r}{\partial t}\tag{50}$$
+$$\frac{\partial m_s}{\partial t} = -4\pi r^2 \rho_s \frac{\partial r}{\partial t}\tag{52}$$
 Durch Gleichsetzen erhält man:
-$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}\tag{51}$$
+$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}\tag{53}$$
 Löst man die Gleichung nach $\partial t$ auf und führt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal mit $\bar{v} = \frac{\partial z}{\partial t}$ ein, so erhält man:
-$$\partial t = \left(-\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z}\right)^{-1} \partial r\tag{52}$$
+$$\partial t = \left(-\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z}\right)^{-1} \partial r\tag{54}$$
 durch Einsetzen erhält man:
-$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{53}$$
+$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{55}$$
 mit
-$$a_s = \frac{\lambda_s}{\rho_s c_p}\tag{54}$$
+$$a_s = \frac{\lambda_s}{\rho_s c_p}\tag{56}$$
 Mit der Definition der Konstanten:
-$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{55}$$
+$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{57}$$
 erhält man:
-$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{A}{r^2} + \frac{2}{r}\right]\frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{56}$$
+$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{A}{r^2} + \frac{2}{r}\right]\frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{58}$$
 Die zweimalige Integration führt zu Gleichung:
-$$T(r) = \frac{C_1}{A}e^{-\frac{A}{r}} + C_2\tag{57}$$
+$$T(r) = \frac{C_1}{A}e^{-\frac{A}{r}} + C_2\tag{59}$$
 wobei $C_1$ und $C_2$ die Integrationskonstanten sind. Mit den Randbedingungen:
-$$T(r = \infty) = T_m\tag{58}$$
+$$T(r = \infty) = T_m\tag{60}$$
-$$T(r = r_G) = T_{fl}\tag{59}$$
+$$T(r = r_G) = T_{fl}\tag{61}$$
 ergeben sich die Integrationskonstanten zu:
-$$C_1 = A \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{60}$$
+$$C_1 = A \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{62}$$
-$$C_2 = T_m + \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{61}$$
+$$C_2 = T_m + \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{63}$$
 Die Lösung der Differentialgleichung lautet:
-$$\frac{T_m - T(r)}{T_m - T_{fl}} = \frac{1 - \exp\left(\frac{A}{r}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{62}$$
+$$\frac{T_m - T(r)}{T_m - T_{fl}} = \frac{1 - \exp\left(\frac{A}{r}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{64}$$
 ==== Wärmestrombilanz ====
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 An der Grenzfläche der Kugel muss zu jeder Zeit $t \geq t_0$ gelten:
-$$\dot{q}_f|_{r_G} = \dot{q}_s|_{r_G}\tag{63}$$
+$$\dot{q}_f|_{r_G} = \dot{q}_s|_{r_G}\tag{65}$$
 wobei $\dot{q}_s$ der Wärmestrom schmelzeseitig an der Grenzfläche und $\dot{q}_f$ der Wärmestrom in der Kugel an der Grenzfläche ist.
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 Für den Wärmestrom an der Grenzfläche in der Schmelze ergibt sich:
-$$\dot{q}_s = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\left(-\frac{A}{r^2}\exp\left(\frac{A}{r}\right)\right)\tag{64}$$
+$$\dot{q}_s = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\left(-\frac{A}{r^2}\exp\left(\frac{A}{r}\right)\right)\tag{66}$$
 An der Stelle r = $r_G$ ergibt sich damit für den Wärmestrom:
-$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{65}$$
+$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{67}$$
 Erweitert man mit $\frac{\exp\left(-A/r_G\right)}{\exp\left(-A/r_G\right)}$, so erhält man für den Wärmestrom:
-$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{-A}{r_G}\right) - 1}\tag{66}$$
+$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{-A}{r_G}\right) - 1}\tag{68}$$
 Ersetzt man nun die Konstante A
-$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{67}$$
+$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{69}$$
 durch die Konstante A':
-$$A' = \frac{1}{a_s}\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\tag{68}$$
+$$A' = \frac{1}{a_s}\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\tag{70}$$
 so ergibt sich für den Wärmestrom an der Grenzfläche schmelzeseitig:
-$$\dot{q}_{s|r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'\frac{\partial r_G}{\partial z}\frac{1}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{69}$$
+$$\dot{q}_{s|r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'\frac{\partial r_G}{\partial z}\frac{1}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{71}$$
 Für den Wärmestrom im Feststoff an der Grenzfläche gilt:
-$$\dot{q}_{f|r=r_G} = \rho_f\bar{v}\Delta h\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{70}$$
+$$\dot{q}_{f|r=r_G} = \rho_f\bar{v}\Delta h\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{72}$$
 Durch Einsetzen erhält man:
-$$\rho_f\bar{v}\Delta h = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{71}$$
+$$\rho_f\bar{v}\Delta h = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{73}$$
 Löst man diese Gleichung nach $\frac{\partial r_G}{\partial z}$ auf, so erhält man:
-$$r_G\frac{\partial r_G}{\partial z} = -\frac{1}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A'\left(T_m - T_{fl}\right)}{\rho_f\bar{v}\Delta h}\right]\tag{72}$$
+$$r_G\frac{\partial r_G}{\partial z} = -\frac{1}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A'\left(T_m - T_{fl}\right)}{\rho_f\bar{v}\Delta h}\right]\tag{74}$$
 Durch Integration erhält man für die Änderung des Radius' $r_0$ auf einer Länge $\Delta z$:
-$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A''\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{73}$$
+$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A''\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{75}$$
 Setzt man in Gleichung 73 A' ein, so ergibt sich:
-$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2\lambda}{\rho_f\bar{v}c_s}\ln\left[1 + \frac{c_s\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{74}$$
+$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2\lambda}{\rho_f\bar{v}c_s}\ln\left[1 + \frac{c_s\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{76}$$
 $r_{0,i}$ ist hierbei der Radius am Anfang des betrachteten Kanalabschnittes. Gleichung 74 ermöglicht somit die Berechnung des Partikelradius' entlang der Schneckenanordnung. Der Feststoffanteil ergibt sich zu:
-$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}\tag{75}$$
+$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}\tag{77}$$
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 Der Wärmestrom, der bei reiner Wärmeleitung an der Grenzfläche Partikel/Schmelze vorliegt, wird mit einem Wärmeleitungskorrekturfaktor $f_{lh}$ korrigiert.
-$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{76}$$
+$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$
-Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
+Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmung mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
 Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]].
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 Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung.
-$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{77}$$
+$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{79}$$
 Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist.
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 Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch:
-$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{78}$$
+$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{80}$$
 mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$
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 und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt:
-$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{79}$$
+$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{81}$$
 Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden.
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 Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{80}$$
+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{82}$$
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{81}$$
+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{83}$$
 Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{82}$$
+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{84}$$
 Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:
-$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{83}$$
+$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{85}$$
 Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]
  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{84}$$
+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{86}$$
-$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{85}$$
+$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{87}$$
 Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.
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 Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{86}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{88}$$
 Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]):
-$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{87}$$
+$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{89}$$
 Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:
-$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{88}$$
+$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{90}$$
 Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.
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 Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt
-$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 $$
+$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{91}-$$