Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/05/24 09:31] – [Berücksichtigung der realen Kanalgeometrie] neelest
+++ grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Einfluss der endlichen Kanaldimension] paal
@@ Zeile 276: / Zeile 276: @@
 Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar.
-Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einen Polynom 2. Grades.
+Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einem Polynom 2. Grades.
 $$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$
@@ Zeile 354: / Zeile 354: @@
 Für die physikalisch mathematische Beschreibung des Aufschmelzens von Einzelpartikeln in einer Polymerschmelze sollen gemäß Voraussetzung 2 Wechselwirkungen zwischen benachbarten Partikeln vernachlässigt werden. Die Energiegleichung in Kugelkoordinaten reduziert sich bei Betrachtung stationärer Verhältnisse und reiner Wärmeleitung bei konstanten Stoffdaten:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{46}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{48}$$
 Zur Beschreibung der Wärmeleitung verwendet man die Fourier'sche Differentialgleichung
-$$\dot{q}_r = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r}\tag{47}$$
+$$\dot{q}_r = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r}\tag{49}$$
 Setzt man die Gleichungen ineinander ein, so erhält man unter der Annahme konstanter Stoffwerte:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)\tag{48}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)\tag{50}$$
 {{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_010.svg?300%nolink |}}
@@ Zeile 371: / Zeile 371: @@
 Feststoff:
-$$\frac{\partial m_f}{\partial t} = -4\pi r_G^2 \rho_f \frac{\partial r_G}{\partial t}\tag{49}$$
+$$\frac{\partial m_f}{\partial t} = -4\pi r_G^2 \rho_f \frac{\partial r_G}{\partial t}\tag{51}$$
 Schmelze:
-$$\frac{\partial m_s}{\partial t} = -4\pi r^2 \rho_s \frac{\partial r}{\partial t}\tag{50}$$
+$$\frac{\partial m_s}{\partial t} = -4\pi r^2 \rho_s \frac{\partial r}{\partial t}\tag{52}$$
 Durch Gleichsetzen erhält man:
-$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}\tag{51}$$
+$$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}\tag{53}$$
 Löst man die Gleichung nach $\partial t$ auf und führt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal mit $\bar{v} = \frac{\partial z}{\partial t}$ ein, so erhält man:
-$$\partial t = \left(-\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z}\right)^{-1} \partial r\tag{52}$$
+$$\partial t = \left(-\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z}\right)^{-1} \partial r\tag{54}$$
 durch Einsetzen erhält man:
-$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{53}$$
+$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{55}$$
 mit
-$$a_s = \frac{\lambda_s}{\rho_s c_p}\tag{54}$$
+$$a_s = \frac{\lambda_s}{\rho_s c_p}\tag{56}$$
 Mit der Definition der Konstanten:
-$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{55}$$
+$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{57}$$
 erhält man:
-$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{A}{r^2} + \frac{2}{r}\right]\frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{56}$$
+$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{A}{r^2} + \frac{2}{r}\right]\frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{58}$$
 Die zweimalige Integration führt zu Gleichung:
-$$T(r) = \frac{C_1}{A}e^{-\frac{A}{r}} + C_2\tag{57}$$
+$$T(r) = \frac{C_1}{A}e^{-\frac{A}{r}} + C_2\tag{59}$$
 wobei $C_1$ und $C_2$ die Integrationskonstanten sind. Mit den Randbedingungen:
-$$T(r = \infty) = T_m\tag{58}$$
+$$T(r = \infty) = T_m\tag{60}$$
-$$T(r = r_G) = T_{fl}\tag{59}$$
+$$T(r = r_G) = T_{fl}\tag{61}$$
 ergeben sich die Integrationskonstanten zu:
-$$C_1 = A \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{60}$$
+$$C_1 = A \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{62}$$
-$$C_2 = T_m + \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{61}$$
+$$C_2 = T_m + \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{63}$$
 Die Lösung der Differentialgleichung lautet:
-$$\frac{T_m - T(r)}{T_m - T_{fl}} = \frac{1 - \exp\left(\frac{A}{r}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{62}$$
+$$\frac{T_m - T(r)}{T_m - T_{fl}} = \frac{1 - \exp\left(\frac{A}{r}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{64}$$
 ==== Wärmestrombilanz ====
@@ Zeile 421: / Zeile 421: @@
 An der Grenzfläche der Kugel muss zu jeder Zeit $t \geq t_0$ gelten:
-$$\dot{q}_f|_{r_G} = \dot{q}_s|_{r_G}\tag{63}$$
+$$\dot{q}_f|_{r_G} = \dot{q}_s|_{r_G}\tag{65}$$
 wobei $\dot{q}_s$ der Wärmestrom schmelzeseitig an der Grenzfläche und $\dot{q}_f$ der Wärmestrom in der Kugel an der Grenzfläche ist.
@@ Zeile 427: / Zeile 427: @@
 Für den Wärmestrom an der Grenzfläche in der Schmelze ergibt sich:
-$$\dot{q}_s = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\left(-\frac{A}{r^2}\exp\left(\frac{A}{r}\right)\right)\tag{64}$$
+$$\dot{q}_s = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\left(-\frac{A}{r^2}\exp\left(\frac{A}{r}\right)\right)\tag{66}$$
 An der Stelle r = $r_G$ ergibt sich damit für den Wärmestrom:
-$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{65}$$
+$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{67}$$
 Erweitert man mit $\frac{\exp\left(-A/r_G\right)}{\exp\left(-A/r_G\right)}$, so erhält man für den Wärmestrom:
-$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{-A}{r_G}\right) - 1}\tag{66}$$
+$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{-A}{r_G}\right) - 1}\tag{68}$$
 Ersetzt man nun die Konstante A
-$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{67}$$
+$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{69}$$
 durch die Konstante A':
-$$A' = \frac{1}{a_s}\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\tag{68}$$
+$$A' = \frac{1}{a_s}\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\tag{70}$$
 so ergibt sich für den Wärmestrom an der Grenzfläche schmelzeseitig:
-$$\dot{q}_{s|r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'\frac{\partial r_G}{\partial z}\frac{1}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{69}$$
+$$\dot{q}_{s|r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'\frac{\partial r_G}{\partial z}\frac{1}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{71}$$
 Für den Wärmestrom im Feststoff an der Grenzfläche gilt:
-$$\dot{q}_{f|r=r_G} = \rho_f\bar{v}\Delta h\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{70}$$
+$$\dot{q}_{f|r=r_G} = \rho_f\bar{v}\Delta h\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{72}$$
 Durch Einsetzen erhält man:
-$$\rho_f\bar{v}\Delta h = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{71}$$
+$$\rho_f\bar{v}\Delta h = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{73}$$
 Löst man diese Gleichung nach $\frac{\partial r_G}{\partial z}$ auf, so erhält man:
-$$r_G\frac{\partial r_G}{\partial z} = -\frac{1}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A'\left(T_m - T_{fl}\right)}{\rho_f\bar{v}\Delta h}\right]\tag{72}$$
+$$r_G\frac{\partial r_G}{\partial z} = -\frac{1}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A'\left(T_m - T_{fl}\right)}{\rho_f\bar{v}\Delta h}\right]\tag{74}$$
 Durch Integration erhält man für die Änderung des Radius' $r_0$ auf einer Länge $\Delta z$:
-$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A''\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{73}$$
+$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A''\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{75}$$
 Setzt man in Gleichung 73 A' ein, so ergibt sich:
-$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2\lambda}{\rho_f\bar{v}c_s}\ln\left[1 + \frac{c_s\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{74}$$
+$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2\lambda}{\rho_f\bar{v}c_s}\ln\left[1 + \frac{c_s\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{76}$$
 $r_{0,i}$ ist hierbei der Radius am Anfang des betrachteten Kanalabschnittes. Gleichung 74 ermöglicht somit die Berechnung des Partikelradius' entlang der Schneckenanordnung. Der Feststoffanteil ergibt sich zu:
-$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}\tag{75}$$
+$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}\tag{77}$$
 {{ :grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_aufschmelzberechnung_011.svg?550%nolink |}}
@@ Zeile 492: / Zeile 492: @@
 Der Wärmestrom, der bei reiner Wärmeleitung an der Grenzfläche Partikel/Schmelze vorliegt, wird mit einem Wärmeleitungskorrekturfaktor $f_{lh}$ korrigiert.
-$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{76}$$
+$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$
-Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
+Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmung mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
 Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]].
@@ Zeile 504: / Zeile 504: @@
 Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung.
-$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{77}$$
+$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{79}$$
 Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist.
@@ Zeile 510: / Zeile 510: @@
 Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch:
-$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{78}$$
+$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{80}$$
 mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$
@@ Zeile 516: / Zeile 516: @@
 und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt:
-$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{79}$$
+$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{81}$$
 Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden.
@@ Zeile 539: / Zeile 539: @@
 Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{80}$$
+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{82}$$
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{81}$$
+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{83}$$
 Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{82}$$
+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{84}$$
 Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:
-$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{83}$$
+$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{85}$$
 Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]
  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{84}$$
+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{86}$$
-$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{85}$$
+$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{87}$$
 Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.
@@ Zeile 570: / Zeile 570: @@
 Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{86}$$
+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{88}$$
 Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]):
-$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{87}$$
+$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{89}$$
 Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:
-$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{88}$$
+$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{90}$$
 Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.
@@ Zeile 598: / Zeile 598: @@
 Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt
-$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{89}$$
+$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{91}-$$