≪ View Page

Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

Link zu dieser Vergleichsansicht

Beide Seiten der vorigen RevisionVorhergehende Überarbeitung
Nächste Überarbeitung		Vorhergehende Überarbeitung
grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/05/24 09:42] – [Einfluss der endlichen Kanaldimension] neelestgrundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Einfluss der endlichen Kanaldimension] paal
Zeile 276: Zeile 276:
 Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar. Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar.
  
-Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einen Polynom 2. Grades.+Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einem Polynom 2. Grades.
  
 $$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$ $$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$
Zeile 494: Zeile 494:
 $$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$ $$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$
  
-Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.+Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmung mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
  
 Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]. Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]].
Zeile 504: Zeile 504:
 Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung. Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung.
  
-$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{77}$$+$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{79}$$
  
 Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist.
Zeile 510: Zeile 510:
 Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch: Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch:
  
-$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{78}$$+$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{80}$$
  
 mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$ mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$
Zeile 516: Zeile 516:
 und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt: und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt:
  
-$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{79}$$+$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{81}$$
  
 Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden. Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden.
Zeile 539: Zeile 539:
 Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt. Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.
  
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{80}$$+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{82}$$
  
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{81}$$+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{83}$$
  
 Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt: Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:
  
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{82}$$+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{84}$$
  
 Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert: Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:
  
-$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{83}$$+$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{85}$$
  
 Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]] Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]
  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.
  
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{84}$$+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{86}$$
  
-$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{85}$$+$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{87}$$
  
 Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$. Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.
Zeile 570: Zeile 570:
 Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu: Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:
  
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{86}$$+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{88}$$
  
 Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]): Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]):
  
-$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{87}$$+$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{89}$$
  
 Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt: Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:
  
-$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{88}$$+$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{90}$$
  
 Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert. Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.
Zeile 598: Zeile 598:
 Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt
  
-$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{89}$$+$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{91}-$$