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grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/05/24 09:43] – [Einfluss der Konvektion] neelestgrundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Einfluss der endlichen Kanaldimension] paal
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 Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar. Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar.
  
-Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einen Polynom 2. Grades.+Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einem Polynom 2. Grades.
  
 $$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$ $$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$
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 $$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$ $$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{78}$$
  
-Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.+Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmung mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.
  
 Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]. Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]].
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 Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt. Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.
  
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{80}$$+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{82}$$
  
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{81}$$+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{83}$$
  
 Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt: Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:
  
-$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{82}$$+$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{84}$$
  
 Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert: Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:
  
-$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{83}$$+$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{85}$$
  
 Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]] Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung#literatur |[Pap06]]]
  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.  wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.
  
-$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{84}$$+$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{86}$$
  
-$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{85}$$+$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{87}$$
  
 Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$. Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.
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 Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu: Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:
  
-$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{86}$$+$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{88}$$
  
 Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]): Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: [[grundlagenhandbuch:aufschmelzberechnung:aufschmelzmodell_fuer_dispers_verteilte_fuellstoffe#Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges]]):
  
-$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{87}$$+$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{89}$$
  
 Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt: Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:
  
-$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{88}$$+$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{90}$$
  
 Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert. Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.
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 Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone" annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt
  
-$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{89}$$+$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{91}-$$