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+++ grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete [2026/05/28 10:47] (aktuell) – [Literatur] paal
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 ===== Desagglomeration =====
 ==== Agglomeratzerfall ====
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 Für die Arbeit zur Vergrößerung der Oberfläche gilt für diesen Zerteilvorgang unter der Annahme eines isothermen Vorgangs und eines spröden Körpers [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[BC58]]] mit der Oberflächenenergie $\sigma$:
-$$\sigma_M = \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z}$$
+$$\sigma_M = \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \tag{1}$$
 Mit der zeitlichen Änderung der Oberfläche:
-$$\overline{\sigma_M} = \frac{\sum_i(\sigma_M L_{Ele})_i}{\sum_i(L_{Ele})_i}$$
+$$\overline{\sigma_M} = \frac{\sum_i(\sigma_M L_{Ele})_i}{\sum_i(L_{Ele})_i} \tag{2}$$
 erhält man für die Zerteilungsleistung in zwei Kugelpartikel:
-$$P = \frac{\partial W}{\partial t} = 2\sigma\pi d \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$P = \frac{\partial W}{\partial t} = 2\sigma\pi d \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{3}$$
-Nach Rumpf [2] gilt für die Oberflächenenergie:
+Nach Rumpf [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Rum61]]] gilt für die Oberflächenenergie:
-$$\sigma = \sum_{n=1}^{n_p} \sum_{k=1}^{k} \frac{F_H}{d} = n_p k \frac{\overline{F_H}}{d}$$
+$$\sigma = \sum_{n=1}^{n_p} \sum_{k=1}^{k} \frac{F_H}{d} = n_p k \frac{\overline{F_H}}{d} \tag{4}$$
 Hierbei sind $F_H$ die wirkenden Haftkräfte, $n_p$ die Anzahl der Primärteilchen und $k$ die Anzahl der Kontaktstellen der Primärteilchen in der Trennebene, die zu berücksichtigen sind.
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 Für die minimal notwendige Leistung für einen Zerteilvorgang erhält man:
-$$P_{min} = \pi n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$P_{min} = \pi n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{5}$$
 Neben der Leistung werden im nächsten Schritt die Beanspruchungen, der eine Kugel in einer Scherströmung ausgesetzt ist, analog zu [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Raa61]]], [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[BT74]]] im Hinblick auf den Energieeintrag betrachtet. Der Partikel rotiert in der Scherströmung und wird hierdurch einer Zug-Druck Wechselbeanspruchung ausgesetzt. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ergibt sich nach Raasch [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Raa61]]] aus der herrschenden Schergeschwindigkeit der umgebenden Strömung:
-$$\omega = \frac{\dot{\gamma}}{2}$$
+$$\omega = \frac{\dot{\gamma}}{2} \tag{6}$$
 Die Leistung an der Kugeloberfläche gemäß Bild 10.2 wird nach Raasch [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Raa61]]] bei der Betrachtung einer reinen Scherströmung wie folgt formuliert:
-$$P = \int_{A_{ober}} \left[\sigma_r v_r + \tau_{r\varphi} V_\varphi + \tau_{r\vartheta} V_\vartheta\right] dA$$
+$$P = \int_{A_{ober}} \left[\sigma_r v_r + \tau_{r\varphi} V_\varphi + \tau_{r\vartheta} V_\vartheta\right] dA \tag{7}$$
 Für das Oberflächendifferential gilt:
-$$dA = r^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi$$
+$$dA = r^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi \tag{8}$$
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 Die Spannungen, die sich bei der dargestellten Rotation um die z-Achse an der Kugeloberfläche ergeben, sind (vgl. [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Raa61]]], [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[HFM92]]]):
-$$\sigma_r = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta$$
+$$\sigma_r = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta \tag{9}$$
-$$\tau_{r\varphi} = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta$$
+$$\tau_{r\varphi} = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta \tag{10}$$
-$$\tau_{r\vartheta} = -\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \sin \vartheta \cos \vartheta$$
+$$\tau_{r\vartheta} = -\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \sin \vartheta \cos \vartheta \tag{11}$$
 Für die Geschwindigkeiten gilt hierbei:
-$$v_r = \frac{\dot{\gamma}}{4} \left(2r - 5\frac{r_0^3}{r^2} + 3\frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta$$
+$$v_r = \frac{\dot{\gamma}}{4} \left(2r - 5\frac{r_0^3}{r^2} + 3\frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta \tag{12}$$
-$$V_\varphi = \frac{\dot{\gamma}}{4}\left[\left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \cos 2\varphi - r\right] \cos \vartheta$$
+$$V_\varphi = \frac{\dot{\gamma}}{4}\left[\left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \cos 2\varphi - r\right] \cos \vartheta \tag{13}$$
-$$V_\vartheta = -\frac{\dot{\gamma}}{4} \left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos 2\vartheta$$
+$$V_\vartheta = -\frac{\dot{\gamma}}{4} \left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos 2\vartheta \tag{14}$$
 Für die Berechnung der Leistung, die sich für den Zerteilvorgang ergibt, wird nun der Grenzwert an der Kugeloberfläche für $r = r_0$ betrachtet. Die Gleichung lautet dann:
-$$P = \int_{A_{ober}} \left[\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta\right] \left[-\frac{\dot{\gamma}}{2} r_0 \cos \vartheta\right] r_0^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi$$
+$$P = \int_{A_{ober}} \left[\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta\right] \left[-\frac{\dot{\gamma}}{2} r_0 \cos \vartheta\right] r_0^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi \tag{15}$$
 Das Bild zeigt die Leistungsverteilung auf der Kugeloberfläche.
-{{ :grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete:desagglomeration:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_berechnung_der_dispergierguete_003.png?nolink |}}
+{{ :en:grundlagenhandbuch:en_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_berechnung_der_dispergierguete_002.png?nolink |}}
 **Abbildung:** Leistungsverteilung auf der Kugeloberfläche
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 Für den Vorgang des spontanen Zerfalls ist die Schubspannung und der Maximalwert des Leistungseintrags gemäß Bild 10.3, unter der Randbedingung, dass $\tau_{r\varphi} = \tau_{krit}$ (kritische Schubspannung, die beim Überschreiten der Kohäsionskräfte zur Zerteilung führt [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[BT74]]]) ist, von Interesse. Das Agglomerat wird hierbei als isotroper Körper betrachtet, so dass unabhängig von der Oberflächenkoordinate das Überschreiten der kritischen Schubspannung einen spontanen Zerfall zur Folge hat.
-Die maximal mögliche Schubspannung, die an der Kugeloberfläche auftreten kann, ist nach Gl. (10.16):
+Die maximal mögliche Schubspannung, die an der Kugeloberfläche auftreten kann, ist nach Gl. (16):
-$$\tau_{max} = \frac{5}{2} \eta_{Fluid} \dot{\gamma}$$
+$$\tau_{max} = \frac{5}{2} \eta_{Fluid} \dot{\gamma} \tag{16}$$
 Die Umfangsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Gleichung:
-$$V_\varphi = r_0 \omega = r_0 \frac{\dot{\gamma}}{2}$$
+$$V_\varphi = r_0 \omega = r_0 \frac{\dot{\gamma}}{2} \tag{17}$$
 Als Ergebnis dieser Betrachtungen erhält man für eine Kugel (Agglomerat) mit dem Durchmesser $\bar{d}$ für die maximal auftretende Leistung:
-$$P_{max} = \frac{5}{4} \eta_{Fluid} \dot{\gamma}^2 \pi r_0^3 = \frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3$$
+$$P_{max} = \frac{5}{4} \eta_{Fluid} \dot{\gamma}^2 \pi r_0^3 = \frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 \tag{18}$$
 Durch Gleichsetzen der beiden Leistungsansätze ergibt sich die folgende Differentialgleichung:
-$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = 2\pi \cdot n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = 2\pi \cdot n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{19}$$
-Betrachtet man die Trennebene des Agglomerates, so ist die Anzahl der Partikel in dieser Trennebene abhängig von der Flächenporosität. Die Flächenporosität $\psi_F$ berechnet sich nach [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[HFM92]]] als das Verhältnis der Fläche $A_H$, die nicht vom Feststoff eingenommen wird, zu der Gesamtfläche $A$:
+Betrachtet man die Trennebene des Agglomerates, so ist die Anzahl der Partikel in dieser Trennebene abhängig von der Flächenporosität. Die Flächenporosität $\psi_F$ berechnet sich nach [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[PEW93]]] als das Verhältnis der Fläche $A_H$, die nicht vom Feststoff eingenommen wird, zu der Gesamtfläche $A$:
-$$\psi_F = \frac{A_H}{A} = 1 - \frac{n_p A_p}{A}$$
+$$\psi_F = \frac{A_H}{A} = 1 - \frac{n_p A_p}{A} \tag{20}$$
 Aus der Gleichung ist die Formulierung einer Beziehung zur Berechnung der Anzahl der Partikel in der Trennebene in Abhängigkeit von der Flächenporosität und des mittleren Agglomeratdurchmessers möglich:
-$$n_p = (1 - \psi_F) \frac{A}{A_p} = (1 - \psi_F) \frac{\bar{d}^2}{d_p^2}$$
+$$n_p = (1 - \psi_F) \frac{A}{A_p} = (1 - \psi_F) \frac{\bar{d}^2}{d_p^2} \tag{21}$$
 Durch Einsetzen erhält man die Gleichung:
-$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d} = 2(1 - \psi_F) \frac{1}{d_p^2} k \pi \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d} = 2(1 - \psi_F) \frac{1}{d_p^2} k \pi \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{22}$$
 Die bisherigen Überlegungen gelten für Trennbrüche in einer reinen Scherströmung. Diese tritt jedoch in Extrudern nicht auf, vielmehr liegt in vollgefüllten Schneckenabschnitten immer eine Überlagerung von Druck- und Schleppströmung vor. Hierbei ergibt sich aus der Überlagerung eines Druckgradienten in einem Schneckenkanal eine Verschiebung des Spannungszustandes, wie in Bild 10.4 (Mohr'scher Spannungskreis) dargestellt. Dementsprechend kann bei genügend hohen Drücken unter Zug keine Zerteilung mehr stattfinden. Da gerade in druckbeaufschlagten Zonen Experimente einen Agglomeratzerfall gezeigt haben, sind somit Schubspannungen für die Zerteilvorgänge verantwortlich. Auch in teilgefüllten Schneckenabschnitten hat man es mit einer mehrdimensionalen Strömung zu tun.
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 Aufgrund der hohen Drücke in schmelzegefüllten Schneckenabschnitten dürften bei der Agglomeratzerteilung somit Gleitbrüche wahrscheinlich sein. Hier gilt:
-$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_V = \sigma_3 - \sigma_1$$
+$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_V = \sigma_3 - \sigma_1 \tag{23}$$
-wobei $\sigma_1$ und $\sigma_3$ die Hauptnormalspannungen sind. In ersten Näherung ist somit die Scherfestigkeit eines Agglomerats durch Einsetzen der nach Rumpf [2] definierten Zugfestigkeit für den einfachsten Fall einer monodispersen Kugelschüttung:
+wobei $\sigma_1$ und $\sigma_3$ die Hauptnormalspannungen sind. In ersten Näherung ist somit die Scherfestigkeit eines Agglomerats durch Einsetzen der nach Rumpf [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Rum61]]] definierten Zugfestigkeit für den einfachsten Fall einer monodispersen Kugelschüttung:
-$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_Z = \frac{(1 - \psi_F)}{2\pi} k \frac{\overline{F_H}}{d_p^2}$$
+$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_Z = \frac{(1 - \psi_F)}{2\pi} k \frac{\overline{F_H}}{d_p^2} \tag{24}$$
 Als Ergebnis erhält man somit für den Agglomeratzerfall folgende Differentialgleichung:
-$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{128 \tau_{Sch} \pi} \bar{d}$$
+$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{128 \tau_{Sch} \pi} \bar{d} \tag{25}$$
 ==== Erosion ====
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 Die Leistung, die notwendig ist, um einzelne Partikel aus einem Agglomerat zu lösen, ergibt sich hier analog zur Zerteilung aus der Schaffung neuer Oberflächen. Die Leistung für den betrachteten Erosionsvorgang kann gemäß der Abbildung wie folgt angeschrieben werden:
-$$P = \sigma \frac{\partial A}{\partial t}$$
+$$P = \sigma \frac{\partial A}{\partial t} \tag{26}$$
 Die Oberfläche eines Agglomerates bestehend aus Primärpartikel mit dem Durchmesser $d_P$ ist näherungsweise:
-$$A = n_0 \pi \frac{d_p^2}{2}$$
+$$A = n_0 \pi \frac{d_p^2}{2} \tag{27}$$
 Zur Berechnung der Anzahl der Primärteilchen $n_0$ auf der Oberfläche der Agglomerate wird angenommen, dass die Primärteilchen im gesamten Agglomerat gleich verteilt sind und somit die Porosität an der Oberfläche die gleiche ist wie die Porosität in einer beliebigen Trennebene:
-$$n_0 \pi \frac{d_p^2}{2} \cong (1 - \psi_F) \pi \bar{d}^2$$
+$$n_0 \pi \frac{d_p^2}{2} \cong (1 - \psi_F) \pi \bar{d}^2 \tag{28}$$
-$$n_0 = \frac{2(1 - \psi_F) \bar{d}^2}{d_p^2}$$
+$$n_0 = \frac{2(1 - \psi_F) \bar{d}^2}{d_p^2} \tag{29}$$
 Es folgt für die zeitliche Änderung der Oberfläche eines Agglomerats, bei dem aus der äußeren Schale Partikel herausgelöst werden:
-$$\frac{\partial A}{\partial t} = \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{\partial A}{\partial t} = \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{30}$$
 Als notwendige Leistung für die Erosion ergibt sich somit:
-$$P_{min} = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$P_{min} = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{31} $$
 Auch hier wird die Leistung mit der durch das Fluid maximal eingebrachten momentanen Leistung gleichgesetzt:
-$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{32}$$
 Setzt man nun analog zur Zerteilung die Gleichung für die Oberflächenenergie in die Gleichung ein, so ergibt sich:
-$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2n_0 k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2n_0 k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{33}$$
 Mit der Anzahl der Primärpartikel auf der Oberfläche eines Agglomerates (kugelförmiger Gestalt) erhält man:
-$$\frac{5}{64} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2 \frac{(1 - \psi_F)}{\bar d_p^2} k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$
+$$\frac{5}{64} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2 \frac{(1 - \psi_F)}{\bar d_p^2} k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t} \tag{34}$$
 Setzt man auch hier die oben definierte Scherfestigkeit ein, ergibt sich für den Erosionsvorgang:
-$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{256 \pi (1 - \psi_F) \tau_{Sch}} \bar{d}$$
+$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{256 \pi (1 - \psi_F) \tau_{Sch}} \bar{d} \tag{35}$$
 ===== Clusterbildung =====
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 Unter der Annahme, dass die Agglomerate zu gleichen Zeiten ähnliche mittlere Durchmesser kugeliger Gestalt besitzen, kann für den Vorgang der Zusammenballung ein Überwachungsquerschnitt, in dem ein Zusammentreffen von Agglomeraten möglich wird, definiert werden:
-$$S_{üb} = \frac{\pi}{4} (d_M + d)^2$$
+$$S_{üb} = \frac{\pi}{4} (d_M + d)^2 \tag{36}$$
 {{ :grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_berechnung_der_dispergierguete_007.png?nolink |}}
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 Überträgt man nun diese Betrachtung auf eine Scheibe des Volumenelements mit der Länge $\partial z$ und der Querschnittfläche $S_D$, so befinden sich in dieser Scheibe $\partial n_A$ Agglomerate:
-$$\partial n_A = n_A \frac{S_D \partial z}{V}$$
+$$\partial n_A = n_A \frac{S_D \partial z}{V} \tag{37}$$
 Bezogen auf den Überwachungsquerschnitt ergibt sich hieraus eine differentielle Anzahl an Agglomeraten $n_M$, die einen Stoß erfahren können:
-$$\partial n_M = \frac{\partial n_A S_{üb}}{S_D}$$
+$$\partial n_M = \frac{\partial n_A S_{üb}}{S_D} \tag{38}$$
 Setzt man nun die Gleichungen ein, erhält man:
-$$\partial n_M = n_A \frac{\pi (d_M + d)^2}{4 V} \partial z$$
+$$\partial n_M = n_A \frac{\pi (d_M + d)^2}{4 V} \partial z \tag{39}$$
 Durch Einsetzen der Feststoffkonzentration
-$$c_F = \frac{V_F}{V}$$
+$$c_F = \frac{V_F}{V} \tag{40}$$
 und des Feststoffvolumens
-$$V_F = n_{A0} V_{A0}$$
+$$V_F = n_{A0} V_{A0} \tag{41}$$
 erhält man eine Beschreibung für die zeitliche Änderung der Stoßanzahl im Volumenelement:
-$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{n_A \pi \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2}{n_{A0} 4 V_{A0}} c_F \partial z\right)$$
+$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{n_A \pi \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2}{n_{A0} 4 V_{A0}} c_F \partial z\right) \tag{42}$$
 Die Anzahl $n_a$ der Partikel, die an der Zusammenballung teilnehmen, ergibt sich aus dem Verhältnis des Partikelvolumens zur Zeit $t > t_0$ zum Partikelvolumen zur Zeit $t = t_0$:
-$$n_a = \frac{\bar{V}_A}{\bar{V}_{A0}} = \frac{\pi \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0}}$$
+$$n_a = \frac{\bar{V}_A}{\bar{V}_{A0}} = \frac{\pi \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0}} \tag{43}$$
 Da der wesentliche Vorgang bei der Zusammenballung von Partikeln eine Stoßübertragung ist, muss die Änderung der Anzahl der Partikel, die einen Stoß erfahren, gleich der Änderung der Anzahl der Partikel sein, die an der Zusammenballung teilnehmen. Daraus ergibt sich:
-$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial n_a}{\partial t}$$
+$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial n_a}{\partial t} \tag{44}$$
 Durch Einsetzen von
-$$\frac{\partial n_a}{\partial t} = \frac{\pi 1 \partial \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0} \partial t}$$
+$$\frac{\partial n_a}{\partial t} = \frac{\pi 1 \partial \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0} \partial t} \tag{45}$$
 ergibt sich:
-$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{3 n_A}{2 n_{A0}} c_F \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2 \frac{\partial z}{\partial t}$$
+$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{3 n_A}{2 n_{A0}} c_F \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2 \frac{\partial z}{\partial t} \tag{46}$$
 Da sich bei der Zusammenballung der Agglomerate die Feststoffmasse im Volumenelement mit der Zeit nicht verändert, kann das Verhältnis der Anzahl der Partikel aus einer Massebilanz berechnet werden:
-$$\frac{n_A}{n_{A0}} = \frac{\bar{d}^3}{\bar{d}_0^3}$$
+$$\frac{n_A}{n_{A0}} = \frac{\bar{d}^3}{\bar{d}_0^3} \tag{47}$$
 Damit sich zwei Agglomerate treffen können, muss weiterhin gewährleistet sein, dass eine Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Teilchen vorhanden ist:
-$$\bar{v}_{z,rel} = \frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \frac{1}{2} (v_2 - v_1)$$
+$$\bar{v}_{z,rel} = \frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \frac{1}{2} (v_2 - v_1) \tag{48}$$
 Stellt man nun eine Beziehung für die Schergeschwindigkeit des umgebenden Fluids auf
-$$\dot{\gamma} = \frac{\partial v_z}{\partial y} = \frac{2(v_2 - v_1)}{(\bar{d}_0 + \bar{d})}$$
+$$\dot{\gamma} = \frac{\partial v_z}{\partial y} = \frac{2(v_2 - v_1)}{(\bar{d}_0 + \bar{d})} \tag{49}$$
 und setzt diese ein, so erhält man für die mittlere Relativgeschwindigkeit:
-$$\frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \bar{v}_{z,rel} = \frac{1}{4} \dot{\gamma} (\bar{d} + \bar{d}_0)$$
+$$\frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \bar{v}_{z,rel} = \frac{1}{4} \dot{\gamma} (\bar{d} + \bar{d}_0) \tag{50}$$
 Durch Einsetzen folgt:
-$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{1 \bar{d}^3}{8 \bar{d}_0^3} c_F \dot{\gamma} \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2$$
+$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{1 \bar{d}^3}{8 \bar{d}_0^3} c_F \dot{\gamma} \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2 \tag{51}$$
 Wird analog zu den Zerteilungsbetrachtungen von Bolen und Colwell [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[BC58]]] angenommen, dass sich immer gleichzeitig nur zwei Agglomerate aneinander lagern, so ergibt sich der Durchmesser des Agglomerats nach der Clusterbildung zu:
-$$\bar{d} = \sqrt[3]{2} \bar{d}_0$$
+$$\bar{d} = \sqrt[3]{2} \bar{d}_0 \tag{52}$$
 Führt man abschließend die Vereinfachung ein, so erhält man die Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs der Clusterbildung:
-$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right) c_F \dot{\gamma} \bar{d}$$
+$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right) c_F \dot{\gamma} \bar{d} \tag{53}$$
 ===== Überlagerung von Clusterbildung und Desagglomeration =====
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 Eine geschlossene Lösung unter Einbeziehung aller drei Fälle erhält man nun aus der Superposition der Einzelprozesse. Überlagert man die Differentialgleichungen zur Beschreibung der Clusterbildung und der Agglomeratzerteilung, so ergibt sich eine differentielle Änderung des Durchmessers mit der Zeit aus der Summe der Änderungen der Einzelprozesse:
-$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Clusterbildung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Zerteilung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Erosion}$$
+$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Clusterbildung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Zerteilung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Erosion} \tag{54}$$
 Zur Lösung der Dgl. werden folgende dimensionslose Kennzahlen definiert, die sich aus den Einzelprozessen ergeben:
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 **Dimensionsloser mittlerer Agglomeratdurchmesser:**
-$$d^x = \frac{\bar{d}}{\bar{d}_0}$$
+$$d^x = \frac{\bar{d}}{\bar{d}_0} \tag{55}$$
 **Dimensionslose Beanspruchungszeit:**
-$$t^x = \dot{\gamma} t$$
+$$t^x = \dot{\gamma} t \tag{56}$$
 **Zerteilungskonstante:**
-$$C_{Ze} = \frac{5}{128 \pi}$$
+$$C_{Ze} = \frac{5}{128 \pi} \tag{57}$$
 **Clusterbildungskonstante:**
-$$C_{Cl} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right)$$
+$$C_{Cl} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right) \tag{58}$$
 **Erosionskonstante:**
-$$C_{Er} = \frac{5}{256 (1 - \psi_F) \pi}$$
+$$C_{Er} = \frac{5}{256 (1 - \psi_F) \pi} \tag{59}$$
 **Dimensionslose Beanspruchung:**
-$$\pi_B = \frac{\tau_{Fluid}}{\tau_{Sch}}$$
+$$\pi_B = \frac{\tau_{Fluid}}{\tau_{Sch}} \tag{60}$$
 Hiermit ergibt sich unter Anwendung der dimensionslosen Kenngrößen die normierte Differentialgleichung:
-$$\frac{\partial d^x}{\partial t^x} = C_{Cl} c_F d^x - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B d^x$$
+$$\frac{\partial d^x}{\partial t^x} = C_{Cl} c_F d^x - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B d^x \tag{61}$$
 Mit der Randbedingung, dass der Anfangsagglomeratdurchmesser
-$$d^x (t = t_0 = 0) = 1$$
+$$d^x (t = t_0 = 0) = 1 \tag{62}$$
 ist, erhält man als Lösung
-$$d^x(t^x) = \exp\{(C_{Cl} c_F - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B) t^x\}$$
+$$d^x(t^x) = \exp\{(C_{Cl} c_F - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B) t^x\} \tag{63}$$
 Bei der Anwendung dieser Beziehung muss die oben definierte Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Werden die Grenzschubspannungen der Erosion oder der Agglomeratzerteilung bei der Anwendung nicht erreicht, so sind die jeweiligen dimensionslosen Konstanten $C_{Ze}$ und $C_{Er}$ in den Gleichungen gleich Null zu setzen. Die Grenzschubspannungen sind hierbei vom jeweiligen Anwendungsfall (Polymer-Füllstoffkombination) abhängig und können nicht allgemein gültig angegeben werden [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Rum75]]], [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Kre64]]]. Neben der Grenzschubspannung ist nach Martin [[grundlagenhandbuch:berechnung_der_dispergierguete#literatur |[Mar72]]] je nach Anwendungsfall eine minimale Beanspruchungszeit zu berücksichtigen, unterhalb der auch bei Überschreiten der Grenzschubspannung keine Zerteilung stattfinden kann.
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 Für die weitere Diskussion der Ergebnisse soll an dieser Stelle die kritische Feststoffkonzentration definiert werden. Setzt man $d^*(t^*)=const.=1$ (Gleichgewichtszustand), so erhält man eine Beschreibung für die kritische Feststoffkonzentration, bei der die Clusterbildung identisch der Erosion und Zerteilung ist:
-$$C_{F,krit} = \frac{C_{Er} + C_{Ze}}{C_{Cl}} \pi_B$$
+$$C_{F,krit} = \frac{C_{Er} + C_{Ze}}{C_{Cl}} \pi_B \tag{64}$$
 Trägt man die kritische Feststoffvolumenkonzentration über der dimensionslosen Beanspruchung auf, so erhält man das dargestellte Diagramm.
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 [Mar72] Martin G.: Untersuchung der Homogenisierfunktion von Einschneckenextrudern für die Kunststoffverarbeitung, 1972
-[Pah89] Pahl MH.: Lagern, Fördern und Dosieren von Schüttgütern, Verlag TÜV Rheinland, 1989
+[Pah89] Pahl M.H.: Lagern, Fördern und Dosieren von Schüttgütern, Verlag TÜV Rheinland, 1989
 [Raa61] Raasch J.: Beanspruchung und Verhalten suspendierter Festsstoffteilchen in Scherströmungen hoher Zähigkeit, 1961