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--- grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:enthalpiemodell [2026/02/03 20:26] – [Leistungsmodell für einen Schmelzeextruder] neelest
+++ grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:enthalpiemodell [2026/05/28 10:56] (aktuell) – gelöscht deppe2
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-====== Enthalpiemodell ======
-===== Leistungsberechnung über Enthalpie =====
-Um im neuem Leistungsmodell die drei Ziele, die Verbesserung der Genauigkeit, die Reduzierung der Komplexität und die Betrachtung sämtlicher Verfahrenszonen zu gewährleisten, wurde ein Modellansatz über den ersten Hauptsatz der Thermodynamik entwickelt. Zum Verständnis der Modellierung des Modells wird der Enthalpieeintrag in das Polymer Formeltechnisch in den drei Verfahrenszonen, Feststoffförderzone, Aufschmelzzone und Schmelzezone aufgezeigt.
-===== Feststoffförderzone =====
-Betrachtet wird zunächst eine spezifische Enthalpiekurve eines teilkristallinen Kunststoffes. Bei der Kristallitschmelztemperatur hat der Kunststoff je nach Art eine entsprechende spezifische Enthalpie. Diese Enthalpie wird in PAM aufgeteilt in $\Delta h_f$ Feststoffenthalpie (Enthalpieänderung zur Erhöhung der Feststofftemperatur) und $\Delta h_a$ Aufschmelzenthalpie (benötigte Enthalpie zum Auflösen der kristallinen Bereiche).
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-**Abbildung: **Spezifische Enthalpiekurve eines teilkristallinen Polymers
-Die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Vergleich zum Einfüllpunkt des Materials ergibt sich aus der Multiplikation der Feststoffenthalpie mit einem prozentualen Faktor der Abhängig von der Einfülltemperatur, der aktuellen Feststofftemperatur und der Kristallitschmelztemperatur ist. Der Faktor gibt an, auf wieviel Prozent der Kristallitschmelztemperatur der Feststoff erwärmt wurde, ausgehend von der Starttemperatur des Materials. Die Aufschmelzenthalpie wird in der Feststoffförderzone zunächst nicht berücksichtig. Der Grund ist in Bild 1 ersichtlich. Für die Bestimmung der Enthalpieerhöhung muss sich auf die schwarzen imaginären Geraden bezogen werden. Bei Berücksichtigung der Aufschmelzenthalpie würde die Gerade eine zu große Steigung bei kleinen Temperaturen aufweisen, die in einer zu großen Abweichung resultiert. Im Feststoffförderbereich liegt die Temperaturerhöhung jedoch gerade in diesem kleinem Wertebereich. Formal ausgedrückt ergibt sich damit für die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Feststoffförderbereich im Vergleich zum Einfüllpunkt Gleichung 0-1:
-$$\Delta h_{FF} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-1}$$
-Für die Antriebsleistung eines Elementbereichs wird die Differenz der spezifischen Enthalpieänderung zwischen zwei Stützstellen mit Gleichung 0-2 berechnet.
-$$\Delta \Delta h_{FF} = \Delta h_{FF_n} - \Delta h_{FF_{n-1}} \tag{Gleichung 0-2}$$
-Mit der berechneten spezifischen Enthalpiedifferenz, der Druckdifferenz und dem eingebrachten Wärmestrom kann daraus die benötigte Antriebsleistung, die zwischen zwei Stützstellen in der Feststoffförderzone benötigt wird, berechnet werden (Gleichung 0-3).
-$$P_{D/FF} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{FF} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{Gleichung 0-3}$$
-===== Aufschmelzzone und Schmelzezone =====
-Die Aufschmelzzone und die Schmelzezone unterscheiden sich in der Hinsicht von der Feststoffförderzone, weil das Material zweiphasig vorliegt. Demzufolge muss eine separate Betrachtung der spezifischen Enthalpieänderung für das Feststoffbett und den Schmelzebereich durchgeführt werden.
-Für die spezifische Enthalpieänderung einer reinen Erwärmung der Schmelze gilt im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur durch die Integration der spezifischen Wärmekapazität über die Temperatur Gleichung 0-4.
-$$\Delta h_{RS} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{m_{cp}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-4}$$
-In das aufgeschmolzene Material wurde zusätzlich zu der Enthalpie durch Erwärmung der Schmelze bereits Energie eingebracht, um den Feststoff bis zur Kristallitschmelztemperatur zu erhitzten. Formal kann die eingebrachte spezifische Enthalpie bis zum Anschmelzpunkt in Anlehnung an Gleichung 0-1 mit Gleichung 0-5 bestimmt werden.
-$$\Delta h_{FA} = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-5}$$
-Aus der Addition der Gleichungen 0-4 und 0-5 ergibt sich für die spezifische Enthalpieerhöhung vom Ausgangspunkt der Einfülltemperatur bis zur aktuellen Schmelzetemperatur für den Schmelzebereich Gleichung 0-6:
-$$\Delta h_S = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} + cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-6}$$
-Das Feststoffbett in der Aufschmelzzone erfährt hingegen eine andere spezifische Enthalpieerhöhung. Diese kann, in Anlehnung an Gleichung 0-1 im Feststoffförderbereich, mit der Gleichung 0-7 bestimmt werden.
-$$\Delta h_{FA} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-7}$$
-Die Enthalpieerhöhungen des Feststoffbetts und des Schmelzebereichs müssen nun anhand des Aufschmelzgrades gewichtet und aufaddiert werden, um die gesamte Enthalpieänderung an einer Stützstelle in der Aufschmelzzone und der Schmelzeförderzone zu erhalten. Für die Gewichtung wird der gesamte Massestrom mit dem jeweiligen prozentualen Anteil des Feststoffs bzw. der Schmelze multipliziert. Durch die Addition beider spezifischen Enthalpieänderung kann die gesamte Enthalpieerhöhung an einer Stützstelle berechnet werden. Die Unterscheidung zwischen Aufschmelzzone und Schmelzebereich wird dabei über den Aufschmelzgrad vorgenommen. Dieser wird vorab in SIGMA berechnet und kann auch visualisiert ausgegeben werden.
-In der reinen Schmelzeförderzone ist der Aufschmelzgrad zum Beispiel gleich eins, wodurch der zweite Term der Gleichung 0-8 wegfällt.
-$$\Delta h_{AS/S} = m_{asv} \cdot \Delta h_S + (1 - m_{asv}) \cdot \Delta h_{FA} \tag{Gleichung 0-8}$$
-Die benötigte Antriebsleistung eines Elementbereichs kann mit den vorliegenden Ergebnissen über die Differenz der spezifischen Enthalpieerhöhung zweier Stützstellen (Gleichung 0-8) über Gleichung 0-9 bestimmt werden.
-$$\Delta \Delta h_{AS/S} = \Delta h_{AS/S_n} - \Delta h_{AS/S_{n-1}} \tag{Gleichung 0-9}$$
-$$P_{D_{AS/S}} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{AS/S} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{Gleichung 0-10}$$
-===== Leistungsberechnung eines einstufigen Compoundierprozesses =====
-Im einstufigen Compoundierprozess werden zwei Polymere im Trichter dosiert und anschließend compoundiert werden. Dies bedeutet, dass die Komponenten in einem bestimmten Verhältnis im Trichter aufdosiert und zeitgleich plastifiziert werden. Entlang des Extrusionsprozesses besitzen demzufolge beide Materialen an einer Stelle die identische Temperatur. Die Polymere unterscheiden sich jedoch in ihrem Aufschmelzverhalten. Bei gleicher Temperatur besitzen beide Materialen ebenfalls ein unterschiedliches Enthalpieniveau. Die Konsequenz ist, dass die im Trichter vermischten Komponenten nicht als eine Einheit gesehen werden können, sondern dass die Enthalpieniveaus getrennt betrachtet und anschließend gewichtet mit dem zugehörigen Massestrom addiert werden müssen. Der Vorteil dieser Methode ist, dass das Modell nicht nur für zwei Polymere, sondern für beliebig viele anwendbar ist. Hinzu kommt, dass auf das bereits modellierte Grundmodell zurückgegriffen werden kann und lediglich eine Gewichtung und Addierung beider Enthalpieniveaus hinzukommt.
-In der Feststoffförderzone kann das Enthalpieniveau der einzelnen Polymere mittels Gleichung 0-1 berechnet werden. Diese werden dann mit Gleichung 0-11 gewichtet und addiert, um das Enthalpieniveau an einer Stützstelle zu erhalten.
-$$\Delta h_{FF_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF1} + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF2} + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FFn} \tag{Gleichung 0-11}$$
-Im Anschluss können identisch zu Gleichung 0-2 und Gleichung 0-3 die Enthalpieänderung und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei benachbarten Stützstellen berechnet werden.
-In der Aufschmelzzone und der Schmelzezone wird nach der gleichen Methode vorgegangen. Die Enthalpieniveaus der Polymere werden im ersten Schritt getrennt betrachtet und dann addiert. Die Gleichungen 0-6 und 0-7 des Grundmodells liefern für die einzelnen Polymere das Enthalpieniveau des entsprechenden Schmelzeanteils und des Feststoffanteils. In Gleichung 5-8 werden die Anteile mit dem Enthalpieniveau gewichtet. Für einen Prozess mit mehreren Polymeren, die gleichzeitig aufschmelzen, muss zusätzlich noch die Gewichtung der verschiedenen Masseströme mitberücksichtig werden. Für die spezifische Enhalpieänderung beim Compoundieren von Polymeren bei Vermischung im Trichter gilt Gleichung 0-12:
-$$\Delta h_{AS/S_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_1 \cdot m_{asv_1} \cdot \Delta h_{S_1} + \dot{m}_1 \cdot (1 - m_{asv_1}) \cdot \Delta h_{FA_1}\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_2 \cdot m_{asv_2} \cdot \Delta h_{S_2} + \dot{m}_2 \cdot (1 - m_{asv_2}) \cdot \Delta h_{FA_2}\right) +\\ \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_n \cdot m_{asv_n} \cdot \Delta h_{S_n} + \dot{m}_n \cdot (1 - m_{asv_n}) \cdot \Delta h_{FA_n}\right) \tag{Gleichung 0-12}$$
-Im Anschluss kann identisch zu Gleichung 0-9 und Gleichung 0-10 die spezifische Enthalpiedifferenz und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen berechnet werden.
-===== Leistungsberechnung für einen zweistufigen Compoundierprozess =====
-Zu Beginn des Prozesses wird erst ein Material und später in Extrusionsrichtung zwei oder mehrere Materialien gleichzeitig plastifiziert. An verschiedenen Stützstellen im Extrusionsprozess sind demzufolge unterschiedlich viele Polymere vorhanden, die das Enthalpieniveau vorgeben. Der Prozess muss aus diesem Grund als separater Anwendungsfall betrachtet werden. Für die Modellierung eines zweistufigen Prozesses kann wieder auf die bereits erstellten Modelle zurückgegriffen werden. Es muss vor der Berechnung allerdings eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, bei der geprüft wird, ob im Extruder ein oder mehrere Polymere verarbeitet werden. Bis zur zweiten Materialstufe kann die Enthalpieerhöhung im Vergleich zu Einfülltemperatur strikt nach dem Grundmodell aus Kapitel 5 berechnet werden. Trifft eine Stützstelle auf eine zusätzliche Materialstufe beziehungsweise Materialzugabe, muss das Modell aus dem einstufigen Compoundierprozess verwendet werden. Zu beachten ist dabei, dass die einzelnen Masseströme nicht auf den Gesamtmassestrom aller Polymere bezogen werden, sondern nur auf den Massestrom der aktuellen Stützstelle.
-===== Leistungsmodell bei der Compoundierung von Füllstoffen =====
-Beim Compoundieren werden häufig Füllstoffe wie zum Beispiel Kreide oder Talkum eingearbeitet, um Materialeigenschaften zu verändern. Die Füllstoffe werden dazu durch eine Zugabe in die aufplastifizierte Schmelze gegeben. Eine Veränderung der in dieser Arbeit vorgestellten Modelle ist nicht notwendig. Kritisch sind allerdings zwei Fälle zu betrachten. Bei extrem hohen Füllstoffanteilen kommt es zu einem zusätzlichen Leistungsbedarf aufgrund der neu entstehenden Reibkräfte. Dies sind allerdings Sonderverfahren und werden zunächst nicht betrachtet. Der zweite kritische Fall ist die Stützstelle, an der die Füllstoffe eingearbeitet werden. Durch die Zugabe erfährt die Schmelze eine deutliche Herabsetzung der Temperatur. Die Konsequenz ist, dass die Enthalpiedifferenz mit der Vorgängerstützstelle negativ wird. Dadurch wird der gesamte Leistungsbedarf zwischen den beiden Stützstellen kleiner als null. Dieser Vorgang ist physikalisch nicht möglich, weil theoretisch keine Leistung aus dem Extruder gewonnen werden kann. Als Lösung wird der Leistungsbedarf an diesem Punkt gleich null gesetzt. Dies ist akzeptabel, weil an der Stützstelle der Füllstoffzugabe Förderelemente eingesetzt werden, die generell einen geringen Leistungsbedarf aufweisen.
-===== Leistungsmodell für einen Schmelzeextruder =====
-Beim Schmelzeextruder entfällt die spezifische Enthalpieerhöhung durch das Aufschmelzen des Feststoffs. Die im Extruder geförderte Schmelze erfährt lediglich eine Enthalpieänderung durch eine Temperaturvariation. Aus diesem Grund kann die Berechnung der Enthalpieerhöhung bis zum Aufschmelzpunkt vernachlässigt werden und für den Bezugspunkt der Enthalpieänderung nicht die Einfülltemperatur, sondern die Kristallitschmelztemperatur herangezogen werden. Bei späterer Differenzierung der Enthalpieänderungen würde sich dieser Anteil ohnehin wieder herauskürzen. Die spezifische Enthalpieänderung einer Schmelze an einer Stützstelle im Schmelzeextruder im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur kann in Anlehnung an Gleichung 0-6 mit Gleichung 0-13 berechnet werden.
-$$\Delta h_{SE} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-13}$$
-Für die Antriebsleistung wird erneut die Differenz der spezifischen Enthalpien berechnet (Gleichung 0-14):
-$$\Delta \Delta h_{SE} = \Delta h_{SE_n} - \Delta h_{SE_{n-1}}\tag{Equation 0-14}$$
-Für die Antriebsleistung gilt Gleichung 0-14:
-$$P_{D_{SE}} = \dot{m} \ast (\Delta \Delta h_{SE} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q}\tag{Equation 0-15}$$
-===== Leistungsmodell für einen Schmelzeextruder mit mehreren Polymeren =====
-Beim Doppelschneckenextruder, der als Schmelzeextruder fungiert und mit einer Schmelze bestückt wird, die aus mehreren Polymeren besteht, muss das Model für einen Schmelzeextruder abgewandelt werden. Das Vorgehen ähnelt dem Model beim Compoundieren. Die einzelnen Enthalpieniveaus der Komponenten werden in einem ersten Schritt bestimmt und dann mit Hilfe der Masseströme gewichtet. Formal ergibt sich Gleichung 0-16.
-$$\Delta h_{SE_M} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_1} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_1}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_2} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_2}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_n} \cdot (T_M - T_K) + \\ \frac{cp_{m_n}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) \tag{Gleichung 0-16}$$
-Anschließend kann wie beim Schmelzeextruder, der mit einem Polymer bestückt wird, die Differenz der Enthalpieänderung gebildet werden und aus dieser die Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen.
-===== Gesamtantriebsleistung =====
-Mit den aufgezeigten Beziehungen können in SIGMA die einzelnen benötigen Antriebsleistungen zwischen zwei Stützstellen beziehungsweise der einzelnen Elemente ermittelt und visualisiert werden. Für die Gesamtleistung müssen abschließend die einzelnen berechneten Elementleistungen aufaddiert werden. Die alleinige Betrachtung beziehungsweise Differenzbildung der Anfangs- und Endenthalpie zur Bestimmung der Leistung, führt in verschiedenen Fällen zu Fehlern. Dies ist Beispielsweiße der Fall, wenn die Schmelzetemperatur während des Extrusionsprozesses durch Füllstoffe einmal abfällt und daraufhin die Schmelze wieder erhitzt wird. Die spätere Erwärmung der Schmelze muss durch neue Energie von außen geschehen. Dies Bedarf eines weiteren Leistungseintrags, der bei reiner Gegenüberstellung von Anfangs- und Endenthalpie vernachlässigt würde.
-===== Validierung =====
-Das neue Leistungsmodell wurde in SIGMA implementiert und verifiziert. Identisch zu anderen Modellen wurde das neue Leistungsmodell mit den Werten der experimentellen Untersuchungen verglichen, um das Modell zu validieren. Die Abweichungen verschiedenen Prozesspunkte und Materialkombinationen sind im Bild zu sehen.
-{{ :grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:enthalpiemodell:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_007.png?nolink |}}
-**Abbildung: **Gegenüberstellung experimentelle Untersuchungen und Simulationen