Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung [2026/05/21 21:33] – [Leistungsaufnahme in der Schmelzeförderzone] neelest
+++ grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung [2026/06/16 11:10] (aktuell) – [Enthalpiemodell mit Wärmestrom] neelest
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 Die Abschätzung des Leistungsbedarfs muss in den drei Funktionsabschnitten in der Abbildung an der Zylinderwand und im Schmelzabschnitt unterschiedlich ausfallen.
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 **Abbildung:** Modell zur Leistungsberechnung.
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 Ausgangspunkt für die energetische Untersuchung ist eine Energiebilanz an einem Extruder (siehe Abbildung).
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 **Abbildung:** Energiebilanz an einem gleichläufigen Doppelschneckenextruder.
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 $$P = P_{Diss} + P_{Vol} = P_{Diss} + \Delta p \cdot \dot{V} \tag{24}$$
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 **Abbildung:** Leistungsanteile in Abhängigkeit vom dimensionslosen Volumendurchsatz.
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 Die Berechnung erfolgt auf der Basis der im Kapitel 3 von [[grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung#literatur |[Kre04]]] vorgestellten Modelle. In der folgenden Abbildung sind die mit Hilfe des Modells vorhergesagten Verläufe den Ergebnissen der Strömungssimulation gegenübergestellt. Man erkennt eine über den gesamten Bereich befriedigende Beschreibung der Volumenänderungsleistung.
-{{ :grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_001.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_004.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Dimensionslose Pumpleistung in Abhängigkeit des dimensionslosen Volumenstroms.
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 Folgendes Bild zeigt den Vergleich der mit Polyflow berechneten dissipierten Leistung und der Modellvorhersagen für einen Doppelschneckenkanal.
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+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_005.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Vergleich der Modellvorhersagen mit den von Polyflow berechneten dissipierten Leistungen für einen Doppelschneckenkanal.
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 Zur Verifikation des Modells wurden Versuche mit einem Laborextruder durchgeführt. Als Versuchsmedium wurde ein Silikonöl vom Typ Baysilone 50.000 verwendet. Zur Messung der Leistung wurde die Antriebseinheit des Extruders schwingend aufgehängt und mit Hilfe einer Federwaage, die an einem Hebelarm befestigt war, ein Widerstandsmoment gemessen. Aus der Messung des Widerstandsmomentes und der Drehzahl sowie der Kenntnis der Getriebeübersetzung konnte so die Antriebsleistung ermittelt werden. Bild 7.6 zeigt einen Vergleich der gemessenen dimensionslosen Antriebsleistung und der mit Hilfe des Modells berechneten dimensionslosen Antriebsleistung für dichtkämmende Gewindemischelemente. Die Übereinstimmung ist vor allem unter Berücksichtigung der bei der Modellierung gemachten Vereinfachungen gut.
-{{ :grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_003.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_006.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Vergleich der gemessenen und der berechneten dimensionslosen Antriebsleistung für dichtkämmende Gewindemischelemente.
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 Im Fall der Teilfüllung kann kein Druckgradient auftreten, also vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung der Antriebsleistung in Gewindeelementen zu:
-$$P_{GE} = P_{Diss,Kanal,tf} + P_{Diss,Spalt}$$
+$$P_{GE} = P_{Diss,Kanal,tf} + P_{Diss,Spalt}\tag{36}$$
 Vereinfachend wird angenommen, dass der Radialspalt voll gefüllt ist und dass hier eine reine Schleppströmung vorherrscht. Zur Berechnung der Energiedissipation im teilgefüllten Kanalabschnitt gilt:
-$$P_{Diss,Kanal,tf} = f \cdot P_{Diss,Kanal,vf}$$
+$$P_{Diss,Kanal,tf} = f \cdot P_{Diss,Kanal,vf}\tag{37}$$
-{{ :grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_004.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_007.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Randbedingungen zur vereinfachten Simulation eines teilgefüllten Schneckenabschnitts.
-Zur Verifikation dieser Gleichung wurden modellhafte Finite-Elemente Simulationen mit den in Bild 7.7 dargestellten Randbedingungen durchgeführt. Ausgangspunkt der Simulationen war ein vollgefüllter Rechteckkanal mit einen Verhältnis von Kanalhöhe zu Kanalbreite $b/h=40$. Zur modellhaften Simulation von teilgefüllten Kanälen wird die Kanaltiefe des Referenzkanals verringert. Zusätzlich verändern sich dann auch die Randbedingungen für die Simulation an der passiven Flanke, welche die freie Oberfläche repräsentiert. Im Gegensatz zur Referenzrechnung werden an dieser Fläche nicht vernachlässigbare Geschwindigkeiten definiert; es wird vorgegeben, dass an dieser Fläche keine Normalgeschwindigkeiten und keine Tangentialkräfte auftreten. In allen Fällen wurde die dissipierte Leistung und die Schergeschwindigkeit berechnet.
+Zur Verifikation dieser Gleichung wurden modellhafte Finite-Elemente Simulationen mit den in dem Bild dargestellten Randbedingungen durchgeführt. Ausgangspunkt der Simulationen war ein vollgefüllter Rechteckkanal mit einen Verhältnis von Kanalhöhe zu Kanalbreite $b/h=40$. Zur modellhaften Simulation von teilgefüllten Kanälen wird die Kanaltiefe des Referenzkanals verringert. Zusätzlich verändern sich dann auch die Randbedingungen für die Simulation an der passiven Flanke, welche die freie Oberfläche repräsentiert. Im Gegensatz zur Referenzrechnung werden an dieser Fläche nicht vernachlässigbare Geschwindigkeiten definiert; es wird vorgegeben, dass an dieser Fläche keine Normalgeschwindigkeiten und keine Tangentialkräfte auftreten. In allen Fällen wurde die dissipierte Leistung und die Schergeschwindigkeit berechnet.
-{{ :grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_005.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_drehmoment_und_atriebsleistung_008.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Abhängigkeit der relativen dissipierten Leistung und der relativen Schergeschwindigkeit vom Füllgrad.
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 Berechnet wird das Drehmoment pro Schnecke hier durch:
-$$M_d = \frac{ \frac{P}{n \cdot 2 \cdot \pi}}{2}$$
+$$M_d = \frac{ \frac{P}{n \cdot 2 \cdot \pi}}{2}\tag{38}$$
 Nachdem ein Aufschmelzgrad von 100% erreicht wurde, beruht die weiter eingebrachte Energie auf der Förderung und
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 der Differenz des Schneckenradius und der Kanaltiefe am Ort der Krafteinleitung (x) bestimmt
-$$l(x) = \frac{D_s}{2} \left(1 - \left[1 + \cos\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)\right] - \sqrt{a_{th}^2 - \frac{D_s^2}{2} \cdot \sin^2\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)}\right)$$
+$$l(x) = \frac{D_s}{2} \left(1 - \left[1 + \cos\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)\right] - \sqrt{a_{th}^2 - \frac{D_s^2}{2} \cdot \sin^2\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)}\right)\tag{39}$$
 Die wirkenden Schubspannungen an der Elementoberfläche ergeben sich aus den vorliegenden Schergeschwindigkeiten
 und der lokal vorliegenden Viskosität.
-$$\begin{bmatrix} \frac{dv_x}{d_x} & \frac{dv_x}{d_y} & \frac{dv_x}{d_z} \\ \frac{dv_y}{d_x} & \frac{dv_y}{d_y} & \frac{dv_y}{d_z} \\ \frac{dv_z}{d_x} & \frac{dv_z}{d_y} & \frac{dv_z}{d_z} \end{bmatrix} \cdot \eta = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$$
+$$\begin{bmatrix} \frac{dv_x}{d_x} & \frac{dv_x}{d_y} & \frac{dv_x}{d_z} \\ \frac{dv_y}{d_x} & \frac{dv_y}{d_y} & \frac{dv_y}{d_z} \\ \frac{dv_z}{d_x} & \frac{dv_z}{d_y} & \frac{dv_z}{d_z} \end{bmatrix} \cdot \eta = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}\tag{40}$$
 Als Randbedingung wird eine laminare Strömung angenommen, wodurch sich keine Strömung von der Schnecke zum
 Zylinder und damit auch keine Schergeschwindigkeit in y-Richtung über der Kanalhöhe und -breite ergibt.
-$$\frac{dv_y}{d_x}, \frac{dv_y}{d_z} = 0$$
+$$\frac{dv_y}{d_x}, \frac{dv_y}{d_z} = 0\tag{41}$$
 In teilgefüllten Bereichen können die Normalkräfte unberücksichtigt bleiben.
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 bezogen.
-$$\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{Wand} \\ A_{Boden} \\ A_{Kanal} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix}$$
+$$\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{Wand} \\ A_{Boden} \\ A_{Kanal} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix}\tag{42}$$
 Nach dem gleichen Vorgehen wird ein Drehmomentanteil für den Spalt zwischen Schnecke und Zylinder berechnet und
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 Der Energieeintrag ergibt sich durch:
-$$P_{spez. mech.} = \frac{M_d \cdot n \cdot 2 \cdot \pi}{\dot{m}}$$
+$$P_{spez. mech.} = \frac{M_d \cdot n \cdot 2 \cdot \pi}{\dot{m}}\tag{43}$$
 Aktiviert wird das neue Modell in den Berechnungseinstellungen, durch setzen des Häkchens zur
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 **Abbildung: **Spezifische Enthalpiekurve eines teilkristallinen Polymers
-Die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Vergleich zum Einfüllpunkt des Materials ergibt sich aus der Multiplikation der Feststoffenthalpie mit einem prozentualen Faktor der Abhängig von der Einfülltemperatur, der aktuellen Feststofftemperatur und der Kristallitschmelztemperatur ist. Der Faktor gibt an, auf wieviel Prozent der Kristallitschmelztemperatur der Feststoff erwärmt wurde, ausgehend von der Starttemperatur des Materials. Die Aufschmelzenthalpie wird in der Feststoffförderzone zunächst nicht berücksichtig. Der Grund ist in Bild 1 ersichtlich. Für die Bestimmung der Enthalpieerhöhung muss sich auf die schwarzen imaginären Geraden bezogen werden. Bei Berücksichtigung der Aufschmelzenthalpie würde die Gerade eine zu große Steigung bei kleinen Temperaturen aufweisen, die in einer zu großen Abweichung resultiert. Im Feststoffförderbereich liegt die Temperaturerhöhung jedoch gerade in diesem kleinem Wertebereich. Formal ausgedrückt ergibt sich damit für die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Feststoffförderbereich im Vergleich zum Einfüllpunkt Gleichung 0-1:
+Die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Vergleich zum Einfüllpunkt des Materials ergibt sich aus der Multiplikation der Feststoffenthalpie mit einem prozentualen Faktor der Abhängig von der Einfülltemperatur, der aktuellen Feststofftemperatur und der Kristallitschmelztemperatur ist. Der Faktor gibt an, auf wieviel Prozent der Kristallitschmelztemperatur der Feststoff erwärmt wurde, ausgehend von der Starttemperatur des Materials. Die Aufschmelzenthalpie wird in der Feststoffförderzone zunächst nicht berücksichtig. Der Grund ist in der oben dargestellten Abbildung ersichtlich. Für die Bestimmung der Enthalpieerhöhung muss sich auf die schwarzen imaginären Geraden bezogen werden. Bei Berücksichtigung der Aufschmelzenthalpie würde die Gerade eine zu große Steigung bei kleinen Temperaturen aufweisen, die in einer zu großen Abweichung resultiert. Im Feststoffförderbereich liegt die Temperaturerhöhung jedoch gerade in diesem kleinem Wertebereich. Formal ausgedrückt ergibt sich damit für die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Feststoffförderbereich im Vergleich zum Einfüllpunkt Gleichung 44:
-$$\Delta h_{FF} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-1}$$
+$$\Delta h_{FF} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{44}$$
-Für die Antriebsleistung eines Elementbereichs wird die Differenz der spezifischen Enthalpieänderung zwischen zwei Stützstellen mit Gleichung 0-2 berechnet.
+Für die Antriebsleistung eines Elementbereichs wird die Differenz der spezifischen Enthalpieänderung zwischen zwei Stützstellen mit Gleichung 45 berechnet.
-$$\Delta \Delta h_{FF} = \Delta h_{FF_n} - \Delta h_{FF_{n-1}} \tag{Gleichung 0-2}$$
+$$\Delta \Delta h_{FF} = \Delta h_{FF_n} - \Delta h_{FF_{n-1}} \tag{45}$$
-Mit der berechneten spezifischen Enthalpiedifferenz, der Druckdifferenz und dem eingebrachten Wärmestrom kann daraus die benötigte Antriebsleistung, die zwischen zwei Stützstellen in der Feststoffförderzone benötigt wird, berechnet werden (Gleichung 0-3).
+Mit der berechneten spezifischen Enthalpiedifferenz, der Druckdifferenz und dem eingebrachten Wärmestrom kann daraus die benötigte Antriebsleistung, die zwischen zwei Stützstellen in der Feststoffförderzone benötigt wird, berechnet werden (46).
-$$P_{D/FF} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{FF} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{Gleichung 0-3}$$
+$$P_{D/FF} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{FF} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{46}$$
 ==== Aufschmelzzone und Schmelzezone ====
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 Die Aufschmelzzone und die Schmelzezone unterscheiden sich in der Hinsicht von der Feststoffförderzone, weil das Material zweiphasig vorliegt. Demzufolge muss eine separate Betrachtung der spezifischen Enthalpieänderung für das Feststoffbett und den Schmelzebereich durchgeführt werden.
-Für die spezifische Enthalpieänderung einer reinen Erwärmung der Schmelze gilt im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur durch die Integration der spezifischen Wärmekapazität über die Temperatur Gleichung 0-4.
+Für die spezifische Enthalpieänderung einer reinen Erwärmung der Schmelze gilt im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur durch die Integration der spezifischen Wärmekapazität über die Temperatur Gleichung 47.
-$$\Delta h_{RS} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{m_{cp}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-4}$$
+$$\Delta h_{RS} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{m_{cp}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{47}$$
-In das aufgeschmolzene Material wurde zusätzlich zu der Enthalpie durch Erwärmung der Schmelze bereits Energie eingebracht, um den Feststoff bis zur Kristallitschmelztemperatur zu erhitzten. Formal kann die eingebrachte spezifische Enthalpie bis zum Anschmelzpunkt in Anlehnung an Gleichung 0-1 mit Gleichung 0-5 bestimmt werden.
+In das aufgeschmolzene Material wurde zusätzlich zu der Enthalpie durch Erwärmung der Schmelze bereits Energie eingebracht, um den Feststoff bis zur Kristallitschmelztemperatur zu erhitzten. Formal kann die eingebrachte spezifische Enthalpie bis zum Anschmelzpunkt in Anlehnung an Gleichung 44 mit Gleichung 48 bestimmt werden.
-$$\Delta h_{FA} = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-5}$$
+$$\Delta h_{FA} = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} \tag{48}$$
-Aus der Addition der Gleichungen 0-4 und 0-5 ergibt sich für die spezifische Enthalpieerhöhung vom Ausgangspunkt der Einfülltemperatur bis zur aktuellen Schmelzetemperatur für den Schmelzebereich Gleichung 0-6:
+Aus der Addition der Gleichungen 47 und 48 ergibt sich für die spezifische Enthalpieerhöhung vom Ausgangspunkt der Einfülltemperatur bis zur aktuellen Schmelzetemperatur für den Schmelzebereich Gleichung 49:
-$$\Delta h_S = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} + cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-6}$$
+$$\Delta h_S = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} + cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{49}$$
-Das Feststoffbett in der Aufschmelzzone erfährt hingegen eine andere spezifische Enthalpieerhöhung. Diese kann, in Anlehnung an Gleichung 0-1 im Feststoffförderbereich, mit der Gleichung 0-7 bestimmt werden.
+Das Feststoffbett in der Aufschmelzzone erfährt hingegen eine andere spezifische Enthalpieerhöhung. Diese kann, in Anlehnung an Gleichung 44 im Feststoffförderbereich, mit der Gleichung 50 bestimmt werden.
-$$\Delta h_{FA} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{Gleichung 0-7}$$
+$$\Delta h_{FA} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{50}$$
 Die Enthalpieerhöhungen des Feststoffbetts und des Schmelzebereichs müssen nun anhand des Aufschmelzgrades gewichtet und aufaddiert werden, um die gesamte Enthalpieänderung an einer Stützstelle in der Aufschmelzzone und der Schmelzeförderzone zu erhalten. Für die Gewichtung wird der gesamte Massestrom mit dem jeweiligen prozentualen Anteil des Feststoffs bzw. der Schmelze multipliziert. Durch die Addition beider spezifischen Enthalpieänderung kann die gesamte Enthalpieerhöhung an einer Stützstelle berechnet werden. Die Unterscheidung zwischen Aufschmelzzone und Schmelzebereich wird dabei über den Aufschmelzgrad vorgenommen. Dieser wird vorab in SIGMA berechnet und kann auch visualisiert ausgegeben werden.
-In der reinen Schmelzeförderzone ist der Aufschmelzgrad zum Beispiel gleich eins, wodurch der zweite Term der Gleichung 0-8 wegfällt.
+In der reinen Schmelzeförderzone ist der Aufschmelzgrad zum Beispiel gleich eins, wodurch der zweite Term der Gleichung 51 wegfällt.
-$$\Delta h_{AS/S} = m_{asv} \cdot \Delta h_S + (1 - m_{asv}) \cdot \Delta h_{FA} \tag{Gleichung 0-8}$$
+$$\Delta h_{AS/S} = m_{asv} \cdot \Delta h_S + (1 - m_{asv}) \cdot \Delta h_{FA} \tag{51}$$
-Die benötigte Antriebsleistung eines Elementbereichs kann mit den vorliegenden Ergebnissen über die Differenz der spezifischen Enthalpieerhöhung zweier Stützstellen (Gleichung 0-8) über Gleichung 0-9 bestimmt werden.
+Die benötigte Antriebsleistung eines Elementbereichs kann mit den vorliegenden Ergebnissen über die Differenz der spezifischen Enthalpieerhöhung zweier Stützstellen 51 über Gleichung 52 bestimmt werden.
-$$\Delta \Delta h_{AS/S} = \Delta h_{AS/S_n} - \Delta h_{AS/S_{n-1}} \tag{Gleichung 0-9}$$
+$$\Delta \Delta h_{AS/S} = \Delta h_{AS/S_n} - \Delta h_{AS/S_{n-1}} \tag{52}$$
-$$P_{D_{AS/S}} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{AS/S} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{Gleichung 0-10}$$
+$$P_{D_{AS/S}} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{AS/S} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{53}$$
 ==== Leistungsberechnung eines einstufigen Compoundierprozesses ====
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 Im einstufigen Compoundierprozess werden zwei Polymere im Trichter dosiert und anschließend compoundiert werden. Dies bedeutet, dass die Komponenten in einem bestimmten Verhältnis im Trichter aufdosiert und zeitgleich plastifiziert werden. Entlang des Extrusionsprozesses besitzen demzufolge beide Materialen an einer Stelle die identische Temperatur. Die Polymere unterscheiden sich jedoch in ihrem Aufschmelzverhalten. Bei gleicher Temperatur besitzen beide Materialen ebenfalls ein unterschiedliches Enthalpieniveau. Die Konsequenz ist, dass die im Trichter vermischten Komponenten nicht als eine Einheit gesehen werden können, sondern dass die Enthalpieniveaus getrennt betrachtet und anschließend gewichtet mit dem zugehörigen Massestrom addiert werden müssen. Der Vorteil dieser Methode ist, dass das Modell nicht nur für zwei Polymere, sondern für beliebig viele anwendbar ist. Hinzu kommt, dass auf das bereits modellierte Grundmodell zurückgegriffen werden kann und lediglich eine Gewichtung und Addierung beider Enthalpieniveaus hinzukommt.
-In der Feststoffförderzone kann das Enthalpieniveau der einzelnen Polymere mittels Gleichung 0-1 berechnet werden. Diese werden dann mit Gleichung 0-11 gewichtet und addiert, um das Enthalpieniveau an einer Stützstelle zu erhalten.
+In der Feststoffförderzone kann das Enthalpieniveau der einzelnen Polymere mittels Gleichung 44 berechnet werden. Diese werden dann mit Gleichung 54 gewichtet und addiert, um das Enthalpieniveau an einer Stützstelle zu erhalten.
-$$\Delta h_{FF_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF1} + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF2} + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FFn} \tag{Gleichung 0-11}$$
+$$\Delta h_{FF_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF1} + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF2} + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FFn} \tag{54}$$
-Im Anschluss können identisch zu Gleichung 0-2 und Gleichung 0-3 die Enthalpieänderung und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei benachbarten Stützstellen berechnet werden.
+Im Anschluss können identisch zu Gleichung 45 und Gleichung 46 die Enthalpieänderung und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei benachbarten Stützstellen berechnet werden.
-In der Aufschmelzzone und der Schmelzezone wird nach der gleichen Methode vorgegangen. Die Enthalpieniveaus der Polymere werden im ersten Schritt getrennt betrachtet und dann addiert. Die Gleichungen 0-6 und 0-7 des Grundmodells liefern für die einzelnen Polymere das Enthalpieniveau des entsprechenden Schmelzeanteils und des Feststoffanteils. In Gleichung 5-8 werden die Anteile mit dem Enthalpieniveau gewichtet. Für einen Prozess mit mehreren Polymeren, die gleichzeitig aufschmelzen, muss zusätzlich noch die Gewichtung der verschiedenen Masseströme mitberücksichtig werden. Für die spezifische Enhalpieänderung beim Compoundieren von Polymeren bei Vermischung im Trichter gilt Gleichung 0-12:
+In der Aufschmelzzone und der Schmelzezone wird nach der gleichen Methode vorgegangen. Die Enthalpieniveaus der Polymere werden im ersten Schritt getrennt betrachtet und dann addiert. Die Gleichungen 49 und 50 des Grundmodells liefern für die einzelnen Polymere das Enthalpieniveau des entsprechenden Schmelzeanteils und des Feststoffanteils. In Gleichung 51 werden die Anteile mit dem Enthalpieniveau gewichtet. Für einen Prozess mit mehreren Polymeren, die gleichzeitig aufschmelzen, muss zusätzlich noch die Gewichtung der verschiedenen Masseströme mitberücksichtig werden. Für die spezifische Enhalpieänderung beim Compoundieren von Polymeren bei Vermischung im Trichter gilt Gleichung 55:
-$$\Delta h_{AS/S_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_1 \cdot m_{asv_1} \cdot \Delta h_{S_1} + \dot{m}_1 \cdot (1 - m_{asv_1}) \cdot \Delta h_{FA_1}\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_2 \cdot m_{asv_2} \cdot \Delta h_{S_2} + \dot{m}_2 \cdot (1 - m_{asv_2}) \cdot \Delta h_{FA_2}\right) +\\ \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_n \cdot m_{asv_n} \cdot \Delta h_{S_n} + \dot{m}_n \cdot (1 - m_{asv_n}) \cdot \Delta h_{FA_n}\right) \tag{Gleichung 0-12}$$
+$$\Delta h_{AS/S_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_1 \cdot m_{asv_1} \cdot \Delta h_{S_1} + \dot{m}_1 \cdot (1 - m_{asv_1}) \cdot \Delta h_{FA_1}\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_2 \cdot m_{asv_2} \cdot \Delta h_{S_2} + \dot{m}_2 \cdot (1 - m_{asv_2}) \cdot \Delta h_{FA_2}\right) +\\ \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_n \cdot m_{asv_n} \cdot \Delta h_{S_n} + \dot{m}_n \cdot (1 - m_{asv_n}) \cdot \Delta h_{FA_n}\right) \tag{55}$$
-Im Anschluss kann identisch zu Gleichung 0-9 und Gleichung 0-10 die spezifische Enthalpiedifferenz und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen berechnet werden.
+Im Anschluss kann identisch zu Gleichung 52 und Gleichung 53 die spezifische Enthalpiedifferenz und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen berechnet werden.
 ==== Leistungsberechnung für einen zweistufigen Compoundierprozess ====
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 ==== Leistungsmodell für einen Schmelzeextruder ====
-Beim Schmelzeextruder entfällt die spezifische Enthalpieerhöhung durch das Aufschmelzen des Feststoffs. Die im Extruder geförderte Schmelze erfährt lediglich eine Enthalpieänderung durch eine Temperaturvariation. Aus diesem Grund kann die Berechnung der Enthalpieerhöhung bis zum Aufschmelzpunkt vernachlässigt werden und für den Bezugspunkt der Enthalpieänderung nicht die Einfülltemperatur, sondern die Kristallitschmelztemperatur herangezogen werden. Bei späterer Differenzierung der Enthalpieänderungen würde sich dieser Anteil ohnehin wieder herauskürzen. Die spezifische Enthalpieänderung einer Schmelze an einer Stützstelle im Schmelzeextruder im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur kann in Anlehnung an Gleichung 0-6 mit Gleichung 0-13 berechnet werden.
+Beim Schmelzeextruder entfällt die spezifische Enthalpieerhöhung durch das Aufschmelzen des Feststoffs. Die im Extruder geförderte Schmelze erfährt lediglich eine Enthalpieänderung durch eine Temperaturvariation. Aus diesem Grund kann die Berechnung der Enthalpieerhöhung bis zum Aufschmelzpunkt vernachlässigt werden und für den Bezugspunkt der Enthalpieänderung nicht die Einfülltemperatur, sondern die Kristallitschmelztemperatur herangezogen werden. Bei späterer Differenzierung der Enthalpieänderungen würde sich dieser Anteil ohnehin wieder herauskürzen. Die spezifische Enthalpieänderung einer Schmelze an einer Stützstelle im Schmelzeextruder im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur kann in Anlehnung an Gleichung 49 mit Gleichung 56 berechnet werden.
-$$\Delta h_{SE} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-13}$$
+$$\Delta h_{SE} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{56}$$
-Für die Antriebsleistung wird erneut die Differenz der spezifischen Enthalpien berechnet (Gleichung 0-14):
+Für die Antriebsleistung wird erneut die Differenz der spezifischen Enthalpien berechnet (57):
-$$\Delta \Delta h_{SE} = \Delta h_{SE_n} - \Delta h_{SE_{n-1}}\tag{Equation 0-14}$$
+$$\Delta \Delta h_{SE} = \Delta h_{SE_n} - \Delta h_{SE_{n-1}}\tag{57}$$
-Für die Antriebsleistung gilt Gleichung 0-14:
+Für die Antriebsleistung gilt Gleichung 58:
-$$P_{D_{SE}} = \dot{m} \ast (\Delta \Delta h_{SE} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q}\tag{Equation 0-15}$$
+$$P_{D_{SE}} = \dot{m} \ast (\Delta \Delta h_{SE} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q}\tag{58}$$
 ==== Leistungsmodell für einen Schmelzeextruder mit mehreren Polymeren ====
-Beim Doppelschneckenextruder, der als Schmelzeextruder fungiert und mit einer Schmelze bestückt wird, die aus mehreren Polymeren besteht, muss das Model für einen Schmelzeextruder abgewandelt werden. Das Vorgehen ähnelt dem Model beim Compoundieren. Die einzelnen Enthalpieniveaus der Komponenten werden in einem ersten Schritt bestimmt und dann mit Hilfe der Masseströme gewichtet. Formal ergibt sich Gleichung 0-16.
+Beim Doppelschneckenextruder, der als Schmelzeextruder fungiert und mit einer Schmelze bestückt wird, die aus mehreren Polymeren besteht, muss das Model für einen Schmelzeextruder abgewandelt werden. Das Vorgehen ähnelt dem Model beim Compoundieren. Die einzelnen Enthalpieniveaus der Komponenten werden in einem ersten Schritt bestimmt und dann mit Hilfe der Masseströme gewichtet. Formal ergibt sich Gleichung 59.
-$$\Delta h_{SE_M} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_1} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_1}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_2} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_2}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_n} \cdot (T_M - T_K) + \\ \frac{cp_{m_n}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) \tag{Gleichung 0-16}$$
+$$\Delta h_{SE_M} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_1} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_1}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_2} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_2}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_n} \cdot (T_M - T_K) + \\ \frac{cp_{m_n}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) \tag{59}$$
 Anschließend kann wie beim Schmelzeextruder, der mit einem Polymer bestückt wird, die Differenz der Enthalpieänderung gebildet werden und aus dieser die Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen.
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 Mit den aufgezeigten Beziehungen können in SIGMA die einzelnen benötigen Antriebsleistungen zwischen zwei Stützstellen beziehungsweise der einzelnen Elemente ermittelt und visualisiert werden. Für die Gesamtleistung müssen abschließend die einzelnen berechneten Elementleistungen aufaddiert werden. Die alleinige Betrachtung beziehungsweise Differenzbildung der Anfangs- und Endenthalpie zur Bestimmung der Leistung, führt in verschiedenen Fällen zu Fehlern. Dies ist Beispielsweiße der Fall, wenn die Schmelzetemperatur während des Extrusionsprozesses durch Füllstoffe einmal abfällt und daraufhin die Schmelze wieder erhitzt wird. Die spätere Erwärmung der Schmelze muss durch neue Energie von außen geschehen. Dies Bedarf eines weiteren Leistungseintrags, der bei reiner Gegenüberstellung von Anfangs- und Endenthalpie vernachlässigt würde.
+====Enthalpiemodell mit Wärmestrom====
+Beim Enthalpiemodell wird der Wärmestrom zwischen dem Polymer und Zylinderwand nach Gleichung 46 vernachlässigt. Somit wird davon ausgegangen, dass sämtliche Temperaturänderungen des Polymers nur auf die Dissipation und somit die Antriebsleistung zurückzuführen sind. Während bei größeren Industrieextrudern der Anteil der Heizleistung an der Gesamtleistung im Vergleich zur Antriebsleistung gering ist, führt insbesondere bei kleineren Laborextrudern oder Prozessen mit großem Temperaturunterschied zwischen Schmelze und Zylinder die Vernachlässigung des Wärmestroms zu größeren Fehlern.
+Um den Wärmestrom zu berücksichtigen, wird der Wärmeübergangskoeffizient nach [[grundlagenhandbuch:drehmoment_und_antriebsleistung#literatur |[TM00]]] berechnet. Hierfür wird zunächst die Brinkmann-Zahl berechnet und daraus die Nusselt-Zahl regressiert:
+$$Br=\frac{K*v_{0}^{n+1}}{\lambda*\Delta T*h^{n-1}}\tag{60}$$
+$$Nu=2,9*Br^{0,8}\tag{61}$$
+Anschließend kann der Wärmeübergangskoeffizient mit der Wärmeleitfähigkeit der Schmelze und der Kanalhöhe berechnet werden:
+$$\alpha=\frac{Nu*\lambda}{h}\tag{62}$$
+Der Wärmestrom berechnet sich wie folgt:
+$$\dot Q=\alpha*l_{Stützstelle}*U_{Zylinder}*\frac{b_{eff}}{b_{max}}*\Delta T\tag{63}$$
+Der Wärmestrom wird gemäß Gleichung 46 von der berechneten spezifischen Enthalpiedifferenz subtrahiert, um die korrigierte Antriebsleistung zu erhalten. Diese Berechnung erfolgt, wenn als Leistungsmodel „Enthalpiemodell m. Wärmestrom“ ausgewählt wird.
 ==== Validierung ====
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 [TK78] Tadmor, Z.; Klein, I: Engineering Principles of Plasticating Extrusion, Robert E. Krieger Publishing Company, Huntington, New York, 1978
+[TM00]	Tenge, S.; Mewes, D.: “Experimental investigation of the energy balance for the metering zone of a twin screw extruder”; Polymer Engineering & Science; Volume 40; 2000; S. 277–289