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--- grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/04/10 11:03] – [Prozessbedingte Endlänge] neelest
+++ grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/09/04 13:20] (aktuell) – [Lösung der Differentialgleichung] paal
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   * Laminare, stationäre Strömung
   * Hochviskose Schmelze
-  * Fließverhalten wird beschrieben durch das Potenzgesetz.
+  * Das Fließverhalten wird durch das Potenzgesetz beschrieben
 In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]]
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 Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt.
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 **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge
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 Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen:
-$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit} l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{Gleichung 1}$$
+$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit } l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$
 Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch.
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 Für eine Lösung dieser Differentialgleichung und im Speziellen für die Bestimmung der prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$ wird auf die Vorüberlegungen zu Strömungsprozessen im Doppelschneckenextruder zurückgegriffen.
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 **Abb. 3:** Scherströmungsbelastung auf eine Faser
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 Betrachtet man eine einzelne Faser in einer Strömung, so wirkt an der Oberfläche der Faser eine aus der Scherströmung resultierende Schubspannung $\tau$ (siehe Abb. 3). Daraus lässt sich mittels der Fasermantelfläche eine Kraft ermitteln, die an der Faser angreift. Hier gilt:
-$$\tau = \frac{F_{Strömung}}{A_{Mantel}} \Rightarrow F_{Strömung} = \tau \cdot A_{Mantel} \tag{Gleichung 2}$$
+$$\tau = \frac{F_{Strömung}}{A_{Mantel}} \Rightarrow F_{Strömung} = \tau \cdot A_{Mantel} \tag{2}$$
 Sobald diese Faser im Stegbereich oder Zwickelbereich durch ein Hindernis (Stegbereiche oder Eingriffsbereiche der Schnecken) gebremst wird, kann der Faserbruch mittels der Stabilitätsgleichungen der Festigkeitslehre aus der technischen Mechanik beschrieben werden. Hier wird angelehnt an die vier Euler'schen Knickfälle, wobei der Knickfall 2 mit an beiden Enden gelenkig gelagertem Stab betrachtet werden soll (vgl. Abb. 4). Für die Knickkraft gilt in diesem Fall:
-$$F_{Knick} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{L^2} \tag{Gleichung 3}$$
+$$F_{Knick} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{L^2} \tag{3}$$
 Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]]
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 **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall
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 Nach einer Bilanzierung dieser Kräfte kann ermittelt werden, ob die Faser bricht. Für die folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass die Faser in der Mitte bricht. Faser-Faser-Wechselwirkungen werden bei dieser Betrachtung ausgeschlossen. Mit der neu entstandenen halben Faserlänge wird diese Bilanzierung fortgeführt, bis die Kraft aus der Strömung die Knickkraft nicht mehr übersteigt. Diese Herangehensweise zeigt, dass die Faserendlänge im Wesentlichen von der Schubspannung im System und der Fasergeometrie abhängt. Diese Vorgehensweise soll an folgendem Schaubild verdeutlicht werden.
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 **Abb. 5:** Berechnungsablauf für die Faserendlänge
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 Die Umgebung der Strömung erzeugt eine konstante Kraft pro Länge auf die Faser. Die resultierende Biegelinie $w(x)$ (vgl. Abb. 6) kann ausgedrückt werden in:
-$$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{Gleichung 4}$$
+$$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$
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 **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser
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 In der Mitte der Faser befindet sich die maximale Biegebeanspruchung. Das maximale Biegemoment $M(x)$ ergibt sich in Abhängigkeit der zweiten Ableitung der Biegelinie $w''$ zu:
-$$M\left(\frac{x}{L}\right) = -E \cdot I \cdot w'' ; max. M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{F \cdot L^2}{L \cdot 12} \tag{Gleichung 5}$$
+$$M\left(\frac{x}{L}\right) = -E \cdot I \cdot w'' ; max. M\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{F \cdot L^2}{L \cdot 12} \tag{5}$$
 Die Spannungsbelastung ist abhängig vom Biegemoment und verhält sich proportional zum Quadrat der Faserlänge:
-$$\sigma = \frac{M \cdot D}{I \cdot 2} \sim L^2 \tag{Gleichung 6}$$
+$$\sigma = \frac{M \cdot D}{I \cdot 2} \sim L^2 \tag{6}$$
 In Gleichung 6 bedeutet $D$ der Faserdurchmesser. Bei der Festigkeitsbetrachtung der Faser ist festzuhalten, dass es sich um einen Werkstoffkennwert handelt, der unabhängig von der Faserlänge ist. Hier wird auf die Zugfestigkeit $R_m$ Bezug genommen:
-$$R_m \sim L^0 \tag{Gleichung 7}$$
+$$R_m \sim L^0 \tag{7}$$
 Für die Empfindlichkeit bezogen auf den Faserbruch wird das Verhältnis von Spannungsbelastung zur Festigkeit in Betracht gezogen, so dass für die Empfindlichkeit $\alpha$ folgt:
-$$Empfindlichkeit = \frac{Spannungsbelastung}{Festigkeit} \sim L^2 ; \alpha = 2 \tag{Gleichung 8}$$
+$$Empfindlichkeit = \frac{Spannungsbelastung}{Festigkeit} \sim L^2 ; \alpha = 2 \tag{8}$$
 ===== Lösung der Differentialgleichung =====
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 Mit der ermittelten Empfindlichkeit folgt für Gleichung 1:
-$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^2 ;  \text{mit } l = \left[\frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}\right] \tag{Gleichung 9}$$
+$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^2 ;  \text{mit } l = \left[\frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}\right] \tag{9}$$
 In diesem Fall lautet die Lösung der Gleichung in Abhängigkeit der Zeit $t$:
-$$I(t) = \frac{1}{c \cdot t + k} \tag{Gleichung 10}$$
+$$I(t) = \frac{1}{c \cdot t + k} \tag{10}$$
 Die Konstante $k$ kann mit der Anfangsbedingung berechnet werden zu:
-$$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{Gleichung 11}$$
+$$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$
-$$\Rightarrow k = 1$$
+$$\Rightarrow k = -1$$
 Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu:
-$$I(t = t_0) = \frac{1}{c \cdot t_0 - 1} = \frac{1}{2} \tag{Gleichung 12}$$
+$$I(t = t_0) = \frac{1}{c \cdot t_0 - 1} = \frac{1}{2} \tag{12}$$
 $$\Rightarrow c = \frac{1}{t_0}$$
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 Die Zeitkonstante $t_0$ entspricht in diesem Fall der Zeit, nach der die Faser halbiert wurde.
-$$I(t) = \frac{1}{\frac{t}{t_0} + 1} \tag{Gleichung 13}$$
+$$I(t) = \frac{1}{\frac{t}{t_0} + 1} \tag{13}$$
 Die Zeitkonstante $t_0$ bezieht sich auf die prozessabhängige Verweilzeit $t_V$.
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 Für die Strömungsenergie gilt:
-$$E_{diss} = \tau \cdot A \cdot v \cdot t_V \tag{Gleichung 14}$$
+$$E_{diss} = \tau \cdot A \cdot v \cdot t_V \tag{14}$$
 Mit dem Produkt aus Schubspannung $\tau$, angreifender Fläche $A$, Schmelzefrontgeschwindigkeit $v$ und Verweilzeit $t_V$ erfolgt eine Umformung zu:
-$$E_{diss} = \overline{ \eta \dot{\gamma}^2} \cdot V \cdot t_V \tag{Gleichung 15}$$
+$$E_{diss} = \overline{ \eta \dot{\gamma}^2} \cdot V \cdot t_V \tag{15}$$
 Hierin bedeutet $\eta$ die Viskosität, $\dot{\gamma}$ die Schergeschwindigkeit, $V$ das Volumen des zu betrachtenden Kanalabschnittes und $t_V$ die Verweilzeit.
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 Eine Betrachtung der Faser liefert für die Bruchenergie:
-$$E_{Bruch} = n \cdot \int FdS \tag{Gleichung 16}$$
+$$E_{Bruch} = n \cdot \int FdS \tag{16}$$
 Die Kraft $F$ pro Länge $S$ bezogen auf $n$ Fasern im System ergibt die Bruchenergie. Wird die Kraft $F$ ausgedrückt durch das Produkt aus der Bruchspannung $\sigma$ und der Faserquerschnittsfläche, folgt für die Bruchenergie:
-$$E_{Bruch} = n \cdot \frac{\pi \cdot D^2}{4} \cdot L \cdot \int \sigma d\varepsilon \tag{Gleichung 17}$$
+$$E_{Bruch} = n \cdot \frac{\pi \cdot D^2}{4} \cdot L \cdot \int \sigma d\varepsilon \tag{17}$$
 Die Lösung des Integrals und eine Umformung der Geometrie der Faser führen zu:
-$$E_{Bruch} = V \cdot \Phi \cdot \frac{E \cdot \varepsilon_B}{2} \tag{Gleichung 18}$$
+$$E_{Bruch} = V \cdot \Phi \cdot \frac{E \cdot \varepsilon_B}{2} \tag{18}$$
 Das Volumen $V$ der $n$ Fasern im System wird beschrieben durch das Volumen des zu betrachtenden Kanalabschnittes bezogen auf den Faservolumenanteil $\Phi$. Der E-Modul und die Bruchdehnung $\varepsilon_B$ der Faser charakterisieren die Bruchspannung.
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 Sobald die Strömungsenergie die Bruchenergie überwiegt, wird es zum Faserbruch kommen. Bilanziert man die beiden Energieformen zu:
-$$\frac{E_{diss}}{E_{Bruch}} = \frac{2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2}{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B} \cdot t = 1 \tag{Gleichung 19}$$
+$$\frac{E_{diss}}{E_{Bruch}} = \frac{2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2}{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B} \cdot t = 1 \tag{19}$$
 folgt für die Zeitkonstante $t_0$:
-$$t_0 = \frac{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B}{2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2} \tag{Gleichung 20}$$
+$$t_0 = \frac{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B}{2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2} \tag{20}$$
 In diesem Fall entspricht die Zeit $t$ der Zeitkonstanten $t_0$, nach der die Faser halbiert wurde. Nach Einsetzen der Gleichung 20 in Gleichung 13 kann die dimensionslose Faserlänge als eine Funktion der Verweilzeit beschrieben werden.
-$$I(t_V) = \frac{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B}{t_V \cdot 2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2 + \Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B} \tag{Gleichung 21}$$
+$$I(t_V) = \frac{\Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B}{t_V \cdot 2 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}^2 + \Phi \cdot E \cdot \varepsilon_B} \tag{21}$$
 ===== Experimente =====
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 Für den Faserabbaufortschritt in Abhängigkeit der Belastungsdauer $t$ wird die folgende Gleichung zu Grunde gelegt:
-$$\frac{dl}{dt} = -k \cdot l$$
+$$\frac{dl}{dt} = -k \cdot l\tag{22}$$
-Für die Berechnung der Faserlängenabnahme über die Zeit muss die Faserbruchrate $k$ und die Faserlänge $l$ bekannt sein. Die Rate umfasst alle mechanischen Prozesse, die zu einem Bruch führen können. Die Biegebelastung kann mit Hilfe des wirkenden Biegemoments $M$, des axialen Trägheitsmoments $I$ und des maximalen Achsabstandes $a_{max}$ berechnet werden. Durch Einfügen des Trägheitsmoments $I$ und des Faserradius $d/2$ für $a_{max}$ sowie durch Umformulieren des Biegemoments ändert sich die Gleichung wie folgt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur|[1]]]:
+Für die Berechnung der Faserlängenabnahme über die Zeit muss die Faserbruchrate $k$ und die Faserlänge $l$ bekannt sein. Die Rate umfasst alle mechanischen Prozesse, die zu einem Bruch führen können. Die Biegebelastung kann mit Hilfe des wirkenden Biegemoments $M$, des axialen Trägheitsmoments $I$ und des maximalen Achsabstandes $a_{max}$ berechnet werden. Durch Einfügen des Trägheitsmoments $I$ und des Faserradius $d/2$ für $a_{max}$ sowie durch Umformulieren des Biegemoments ändert sich die Gleichung wie folgt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Sko18]]]
+:
-$$\sigma_{Randfaser} = \frac{M}{I} \cdot a_{max} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\frac{\pi d^4}{64}} \cdot \frac{d}{2}$$
+$$\sigma_{Randfaser} = \frac{M}{I} \cdot a_{max} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\frac{\pi d^4}{64}} \cdot \frac{d}{2} \tag{23}$$
-Die Ersatzkraft $F_{Strömung}$ wird aus der Schubspannung der Strömung $\sigma_{Strömung}$ und der Mantelfläche $A_{Mantel}$ bestimmt werden [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur|[1]]].
+Die Ersatzkraft $F_{Strömung}$ wird aus der Schubspannung der Strömung $\sigma_{Strömung}$ und der Mantelfläche $A_{Mantel}$ bestimmt werden [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Sko18]]]
+.
 Mit $\sigma_{Strömung} = \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung}$ und $A_{Mantel} = \pi \cdot d \cdot l$ ergibt sich:
-$$F_{Strömung} = \pi \cdot d \cdot l \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung}$$
+$$F_{Strömung} = \pi \cdot d \cdot l \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung} \tag{24}$$
-Die maximale Durchbiegung der Faser wird durch folgende Gleichung beschrieben [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur|[3]]]:
+Die maximale Durchbiegung der Faser wird durch folgende Gleichung beschrieben [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[TG61]]]
+:
-$$y_{max} = \frac{\sqrt{8}}{\pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{F_{Euler}}{F_{Strömung}}} \cdot l$$
+$$y_{max} = \frac{\sqrt{8}}{\pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{F_{Euler}}{F_{Strömung}}} \cdot l \tag{25}$$
-Neben der Kraft aus der Strömung wird die Kraft, die eine Faser standhalten kann, $F_{Euler}$ auf Grundlage der Euler-Knicktheorie berechnet [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur|[2]]].
+Neben der Kraft aus der Strömung wird die Kraft, die eine Faser standhalten kann, $F_{Euler}$ auf Grundlage der Euler-Knicktheorie berechnet [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[CM72]]]
+.
-$$F_{Euler} = \frac{\pi^3 \cdot d^4}{64 \cdot l^2} \cdot E$$
+$$F_{Euler} = \frac{\pi^3 \cdot d^4}{64 \cdot l^2} \cdot E \tag{26}$$
 Um eine Faser zu knicken, muss die von der Strömung erzeugte Kraft mindestens gleich oder größer sein als die diejenige Kraft, die eine Faser standhalten kann. Daher lässt sich das Bruchkriterium wie folgt zusammenfassen:
-$$\frac{\sigma_{Randfaser}}{\sigma_{Bruch}} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{l} \cdot a_{max}$$
+$$\frac{\sigma_{Randfaser}}{\sigma_{Bruch}} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{l} \cdot a_{max} \tag{27}$$
 Wird dies als Bruchkriterium $k$ hergenommen, basiert der Faserbruch somit auf folgender Gleichung:
-$$\frac{dl}{dt} = -\frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\varepsilon \cdot E_{CF}} \cdot a_{max} \cdot l \cdot \frac{1}{t}$$
+$$\frac{dl}{dt} = -\frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\varepsilon \cdot E_{CF}} \cdot a_{max} \cdot l \cdot \frac{1}{t} \tag{28}$$
 Mit allen eingesetzten Werten für die Eingabegrößen der Faser $(d, \varepsilon, E_{CF}, l)$ und Ausgabegrößen einer Extrudersimulation $(\eta, \dot{\gamma}, t)$ ergibt sich:
-$$k(t,l) = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^2 \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^3}} \cdot \frac{1}{t_r}$$
+$$k(t,l) = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^2 \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^3}} \cdot \frac{1}{t_r} \tag{29}$$
-Um eine analytische Lösung zu ermöglichen, wird die Differentialgleichung in einzelne Differenzen überführt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur|[4]]]:
+Um eine analytische Lösung zu ermöglichen, wird die Differentialgleichung in einzelne Differenzen überführt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[HMR+21]]]:
-$$\frac{l_i - l_{i-1}}{\Delta t} = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1} \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1}^3}} \cdot \frac{1}{t} \cdot l_{i-1}^2$$
+$$\frac{l_i - l_{i-1}}{\Delta t} = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1} \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1}^3}} \cdot \frac{1}{t} \cdot l_{i-1}^2 \tag{30}$$
 ===== Symbolverzeichnis =====