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--- grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/05/28 00:01] – deppe2
+++ grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/09/04 13:20] (aktuell) – [Lösung der Differentialgleichung] paal
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   * Laminare, stationäre Strömung
   * Hochviskose Schmelze
-  * Fließverhalten wird beschrieben durch das Potenzgesetz.
+  * Das Fließverhalten wird durch das Potenzgesetz beschrieben
 In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]]
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 Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt.
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 **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge
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 Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen:
-$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit} l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$
+$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit } l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$
 Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch.
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 Für eine Lösung dieser Differentialgleichung und im Speziellen für die Bestimmung der prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$ wird auf die Vorüberlegungen zu Strömungsprozessen im Doppelschneckenextruder zurückgegriffen.
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 **Abb. 3:** Scherströmungsbelastung auf eine Faser
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 Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]]
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+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_004.svg?nolink&300 |}}
-{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_004.png?nolink |}}
 **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall
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 Nach einer Bilanzierung dieser Kräfte kann ermittelt werden, ob die Faser bricht. Für die folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass die Faser in der Mitte bricht. Faser-Faser-Wechselwirkungen werden bei dieser Betrachtung ausgeschlossen. Mit der neu entstandenen halben Faserlänge wird diese Bilanzierung fortgeführt, bis die Kraft aus der Strömung die Knickkraft nicht mehr übersteigt. Diese Herangehensweise zeigt, dass die Faserendlänge im Wesentlichen von der Schubspannung im System und der Fasergeometrie abhängt. Diese Vorgehensweise soll an folgendem Schaubild verdeutlicht werden.
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 **Abb. 5:** Berechnungsablauf für die Faserendlänge
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 $$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$
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 **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser
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 $$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$
-$$\Rightarrow k = 1$$
+$$\Rightarrow k = -1$$
 Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu:
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 Für den Faserabbaufortschritt in Abhängigkeit der Belastungsdauer $t$ wird die folgende Gleichung zu Grunde gelegt:
-$$\frac{dl}{dt} = -k \cdot l$$
+$$\frac{dl}{dt} = -k \cdot l\tag{22}$$
 Für die Berechnung der Faserlängenabnahme über die Zeit muss die Faserbruchrate $k$ und die Faserlänge $l$ bekannt sein. Die Rate umfasst alle mechanischen Prozesse, die zu einem Bruch führen können. Die Biegebelastung kann mit Hilfe des wirkenden Biegemoments $M$, des axialen Trägheitsmoments $I$ und des maximalen Achsabstandes $a_{max}$ berechnet werden. Durch Einfügen des Trägheitsmoments $I$ und des Faserradius $d/2$ für $a_{max}$ sowie durch Umformulieren des Biegemoments ändert sich die Gleichung wie folgt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Sko18]]]
 :
-$$\sigma_{Randfaser} = \frac{M}{I} \cdot a_{max} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\frac{\pi d^4}{64}} \cdot \frac{d}{2}$$
+$$\sigma_{Randfaser} = \frac{M}{I} \cdot a_{max} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\frac{\pi d^4}{64}} \cdot \frac{d}{2} \tag{23}$$
 Die Ersatzkraft $F_{Strömung}$ wird aus der Schubspannung der Strömung $\sigma_{Strömung}$ und der Mantelfläche $A_{Mantel}$ bestimmt werden [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Sko18]]]
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 Mit $\sigma_{Strömung} = \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung}$ und $A_{Mantel} = \pi \cdot d \cdot l$ ergibt sich:
-$$F_{Strömung} = \pi \cdot d \cdot l \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung}$$
+$$F_{Strömung} = \pi \cdot d \cdot l \cdot \eta \cdot \dot{\gamma}_{Strömung} \tag{24}$$
 Die maximale Durchbiegung der Faser wird durch folgende Gleichung beschrieben [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[TG61]]]
 :
-$$y_{max} = \frac{\sqrt{8}}{\pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{F_{Euler}}{F_{Strömung}}} \cdot l$$
+$$y_{max} = \frac{\sqrt{8}}{\pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{F_{Euler}}{F_{Strömung}}} \cdot l \tag{25}$$
 Neben der Kraft aus der Strömung wird die Kraft, die eine Faser standhalten kann, $F_{Euler}$ auf Grundlage der Euler-Knicktheorie berechnet [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[CM72]]]
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-$$F_{Euler} = \frac{\pi^3 \cdot d^4}{64 \cdot l^2} \cdot E$$
+$$F_{Euler} = \frac{\pi^3 \cdot d^4}{64 \cdot l^2} \cdot E \tag{26}$$
 Um eine Faser zu knicken, muss die von der Strömung erzeugte Kraft mindestens gleich oder größer sein als die diejenige Kraft, die eine Faser standhalten kann. Daher lässt sich das Bruchkriterium wie folgt zusammenfassen:
-$$\frac{\sigma_{Randfaser}}{\sigma_{Bruch}} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{l} \cdot a_{max}$$
+$$\frac{\sigma_{Randfaser}}{\sigma_{Bruch}} = \frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{l} \cdot a_{max} \tag{27}$$
 Wird dies als Bruchkriterium $k$ hergenommen, basiert der Faserbruch somit auf folgender Gleichung:
-$$\frac{dl}{dt} = -\frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\varepsilon \cdot E_{CF}} \cdot a_{max} \cdot l \cdot \frac{1}{t}$$
+$$\frac{dl}{dt} = -\frac{F_{Strömung} \cdot y_{max}}{\varepsilon \cdot E_{CF}} \cdot a_{max} \cdot l \cdot \frac{1}{t} \tag{28}$$
 Mit allen eingesetzten Werten für die Eingabegrößen der Faser $(d, \varepsilon, E_{CF}, l)$ und Ausgabegrößen einer Extrudersimulation $(\eta, \dot{\gamma}, t)$ ergibt sich:
-$$k(t,l) = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^2 \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^3}} \cdot \frac{1}{t_r}$$
+$$k(t,l) = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^2 \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l^3}} \cdot \frac{1}{t_r} \tag{29}$$
 Um eine analytische Lösung zu ermöglichen, wird die Differentialgleichung in einzelne Differenzen überführt [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[HMR+21]]]:
-$$\frac{l_i - l_{i-1}}{\Delta t} = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1} \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1}^3}} \cdot \frac{1}{t} \cdot l_{i-1}^2$$
+$$\frac{l_i - l_{i-1}}{\Delta t} = -\frac{32 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1} \cdot \sqrt{8}}{d^2 \cdot \varepsilon \cdot E_{CF} \cdot \pi} \cdot \sqrt{1 - \frac{\pi^2 \cdot E_{CF} \cdot d^3}{64 \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot l_{i-1}^3}} \cdot \frac{1}{t} \cdot l_{i-1}^2 \tag{30}$$
 ===== Symbolverzeichnis =====