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grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/06/13 14:49] – [Prozessbedingte Endlänge] deppe2grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/09/04 13:20] (aktuell) – [Lösung der Differentialgleichung] paal
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   * Laminare, stationäre Strömung   * Laminare, stationäre Strömung
   * Hochviskose Schmelze   * Hochviskose Schmelze
-  * Fließverhalten wird beschrieben durch das Potenzgesetz.+  * Das Fließverhalten wird durch das Potenzgesetz beschrieben 
  
 In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]] In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]]
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 Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt. Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt.
  
-{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_002.png?nolink |}}+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_002.svg?nolink&500 |}}
  
 **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge
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 Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen: Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen:
  
-$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit} l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$ +$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit } l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$ 
  
 Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch. Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch.
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 Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]] Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]]
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-{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_004.png?nolink |}}+
  
 **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall
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 $$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$ $$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$
  
-{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_006.png?nolink |}}+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_006.svg?nolink&500 |}}
  
 **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser
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 $$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$ $$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$
  
-$$\Rightarrow k = 1$$+$$\Rightarrow k = -1$$
  
 Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu: Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu: