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grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/06/13 16:18] – deppe2grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung [2026/09/04 13:20] (aktuell) – [Lösung der Differentialgleichung] paal
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   * Laminare, stationäre Strömung   * Laminare, stationäre Strömung
   * Hochviskose Schmelze   * Hochviskose Schmelze
-  * Fließverhalten wird beschrieben durch das Potenzgesetz.+  * Das Fließverhalten wird durch das Potenzgesetz beschrieben 
  
 In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]] In Anlehnung an [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[Ans93]]]
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 Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt. Bei diesen Versuchen zeigte sich, dass die Verläufe der mittleren Glasfaserlänge über der Einarbeitungszone einen exponentiellen Abfall aufweisen. Schlussfolgernd brechen lange Glasfasern schneller als kurze Fasern und die Glasfaserlängenverteilung ist von der Glasfaserlänge abhängig. Dieser Verlauf wird qualitativ in Abb. 2 dargestellt.
  
 +{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_002.svg?nolink&500 |}}
  
 **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge **Abb. 2:** Qualitativer Verlauf der Glasfaserlänge
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 Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen: Für eine Beschreibung dieses Verhaltens wird folgende Differentialgleichung herangezogen:
  
-$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit} l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$ +$$\frac{dl}{dt} = c \cdot l^{\infty} ; \text{mit } l = \frac{L - L_{\infty}}{L_0 - L_{\infty}}  \tag{1}$$ 
  
 Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch. Der Ursprung dieser Funktion bezieht sich auf die Ausgangsglasfaserlänge $L_0$ mit einer dimensionslosen Faserlänge $l$, welche das Verhältnis der gesuchten Glasfaserlänge $L$ zur Ausgangsfaserlänge $L_0$ beschreibt. Der Funktionsverlauf nähert sich asymptotisch einer prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$. Die weiteren Parameter beschreiben die Geschwindigkeit $c$ und die Empfindlichkeit $\alpha$ bezogen auf einen Faserbruch.
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 Für eine Lösung dieser Differentialgleichung und im Speziellen für die Bestimmung der prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$ wird auf die Vorüberlegungen zu Strömungsprozessen im Doppelschneckenextruder zurückgegriffen. Für eine Lösung dieser Differentialgleichung und im Speziellen für die Bestimmung der prozessbedingten Endlänge $L_{\infty}$ wird auf die Vorüberlegungen zu Strömungsprozessen im Doppelschneckenextruder zurückgegriffen.
  
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 **Abb. 3:** Scherströmungsbelastung auf eine Faser **Abb. 3:** Scherströmungsbelastung auf eine Faser
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 Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]] Hierin bedeuten $E$ der Faser-E-Modul, $I$ das minimale Flächenträgheitsmoment der Faser und $L$ die Stablänge [[grundlagenhandbuch:faserbruchberechnung#literatur |[BG97]]]
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 **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall **Abb. 4:** Zweiter Eulersche Knickfall
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 Nach einer Bilanzierung dieser Kräfte kann ermittelt werden, ob die Faser bricht. Für die folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass die Faser in der Mitte bricht. Faser-Faser-Wechselwirkungen werden bei dieser Betrachtung ausgeschlossen. Mit der neu entstandenen halben Faserlänge wird diese Bilanzierung fortgeführt, bis die Kraft aus der Strömung die Knickkraft nicht mehr übersteigt. Diese Herangehensweise zeigt, dass die Faserendlänge im Wesentlichen von der Schubspannung im System und der Fasergeometrie abhängt. Diese Vorgehensweise soll an folgendem Schaubild verdeutlicht werden. Nach einer Bilanzierung dieser Kräfte kann ermittelt werden, ob die Faser bricht. Für die folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass die Faser in der Mitte bricht. Faser-Faser-Wechselwirkungen werden bei dieser Betrachtung ausgeschlossen. Mit der neu entstandenen halben Faserlänge wird diese Bilanzierung fortgeführt, bis die Kraft aus der Strömung die Knickkraft nicht mehr übersteigt. Diese Herangehensweise zeigt, dass die Faserendlänge im Wesentlichen von der Schubspannung im System und der Fasergeometrie abhängt. Diese Vorgehensweise soll an folgendem Schaubild verdeutlicht werden.
  
 +{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_005.svg?nolink&500 |}}
  
 **Abb. 5:** Berechnungsablauf für die Faserendlänge **Abb. 5:** Berechnungsablauf für die Faserendlänge
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 $$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$ $$w\left(\frac{x}{L}\right) = \frac{F \cdot L^2}{48 \cdot E \cdot I} \left(3 \cdot \frac{x}{L} - 4 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2\right) \tag{4}$$
  
 +{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_faserbruchberechnung_006.svg?nolink&500 |}}
  
 **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser **Abb. 6:** Resultierende Biegelinie bei belasteter Faser
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 $$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$ $$I(t = 0) = \frac{1}{c \cdot 0 + k} = 1 \tag{11}$$
  
-$$\Rightarrow k = 1$$+$$\Rightarrow k = -1$$
  
 Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu: Mit folgender Randbedingung ergibt sich das mit dem Faserbruch in Verbindung gebrachte Geschwindigkeitsmaß $c$ zu: