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Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- grundlagenhandbuch:geometriegroessen_des_gleichdrall-doppelschneckenextruders [2026/05/18 18:04] – [Blisterscheiben] neelest
+++ grundlagenhandbuch:geometriegroessen_des_gleichdrall-doppelschneckenextruders [2026/06/16 14:35] (aktuell) – [Geometriegrößen des Gleichdrall-Doppelschneckenextruders] deppe2
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   * Modularen Aufbau von Schnecke und Zylinder/Extrudergehäuse (siehe Abbildung)
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+{{ :grundlagenhandbuch:geometriegroessen_des_gleichdrall-doppelschneckenextruders:eingesetzte_schneckenelemente:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_geometriegroessen_000.svg?nolink&700 |}}
 **Abbildung:** Modularer Aufbau von Schnecke und Zylinder
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 $$A_{ABC'} = \frac{1}{2} \frac{a \cdot \sin(\Omega/2)}{\cos(\alpha - \Omega)} \cdot a \cdot \cos(-\alpha + \Omega/2) \tag{30}$$
-$$A_{B'B'B''} = \frac{1}{2}r^2 \sqrt{1 - \frac{\left[r - R_i \cdot \cos\left\{\Omega + \phi + \arcsin\left(\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right)\right\}\right]^2}{(R_i + r)^2}} \tag{31}$$
+$$A_{B'B'B''} = \frac{1}{2}r^2 \sqrt{1 - \frac{\left[r - R_i \cdot \cos\left\{\Omega + \phi + \arcsin\left(\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right)\right\}\right]^2}{(R_i + r)^2}}$$
-$$- \frac{1}{2}R_i^2 \sin\left\{-\Omega - \phi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r}\right\} +\tag{32}$$
+$$- \frac{1}{2}R_i^2 \sin\left\{-\Omega - \phi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r}\right\} +$$
-$$+ \frac{1}{2}R_i \left[2 + 2 \cos\left(-\Omega - \phi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r}\right)\right]\tag{33}$$
+$$+ \frac{1}{2}R_i \left[2 + 2 \cos\left(-\Omega - \phi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r}\right)\right]$$
-$$\cdot \sqrt{\left[2 - 2 \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r} \cos\left(\frac{\Omega}{2} + \frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)\right]}\tag{34}$$
+$$\cdot \sqrt{\left[2 - 2 \frac{r - R_i \cdot \cos\left(\Omega + \phi + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)}{R_i + r} \cos\left(\frac{\Omega}{2} + \frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right]\right)\right]}$$
-$$- \frac{1}{2}r^2 \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos(\phi + \Omega + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right])}{R_i + r}\tag{35}$$
+$$- \frac{1}{2}r^2 \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos(\phi + \Omega + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right])}{R_i + r}$$
-$$- \frac{1}{2}R_i^2 \left(-\phi - \Omega + \pi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos(\phi + \Omega + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right])}{R_i + r}\right)\tag{36}$$
+$$- \frac{1}{2}R_i^2 \left(-\phi - \Omega + \pi - \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right] - \arccos \frac{r - R_i \cdot \cos(\phi + \Omega + \arcsin\left[\frac{R_a}{R_i} \cos(\alpha)\right])}{R_i + r}\right)\tag{31}$$
 Da die maximale Kanalbreite bei Schubkanten- und theoretisch dichtkämmenden Elementen gleich ist, kann die mittlere Kanaltiefe der Schubkantenelemente mit der Beziehung
-$$\bar{h} = \frac{A_{frei}}{b_{max}} \tag{37}$$
+$$\bar{h} = \frac{A_{frei}}{b_{max}} \tag{32}$$
 berechnet werden.
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 Diese wird nach [[grundlagenhandbuch:geometriegroessen_des_gleichdrall-doppelschneckenextruders#literatur |[Boo78]]] durch folgende Gleichung berücksichtigt:
-$$A_{zw} = \left(\frac{D_s}{2}\right)^2 \cdot \sin(\Omega) - \frac{A_{Pr}}{i} \cdot \left(1 - \frac{\phi \cdot i}{\pi}\right) \tag{38}$$
+$$A_{zw} = \left(\frac{D_s}{2}\right)^2 \cdot \sin(\Omega) - \frac{A_{Pr}}{i} \cdot \left(1 - \frac{\phi \cdot i}{\pi}\right) \tag{33}$$
 ==== Schulterknetblöcke ====
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 Das Modell zur Berechnung eines konventionellen Knetblocks basiert darauf, dass die einzelnen Knetscheiben zusammen gesehen einen Schneckensteg ausbilden und so eine Förderung bzw. Rückförderung der Schmelze bewirken. In einem Modell zur Auslegung der Schulterknetblöcke soll nun davon ausgegangen werden, dass die fiktiven Schneckenstege durch Nuten, die in Umfangsrichtung der Schnecken liegen, durchbrochen sind. Diese Nuten werden durch die Höhe der Nuten $h_{Nut}$, durch die Länge der Nut $l_{Nut}$ und durch die Breite der Nuten $b_{Nut}$ beschrieben, wobei die Breite der Nut exakt die Hälfte der Knetscheibenbreite beträgt, und für die Länge der Nut die Breite des fiktiven Schneckensteges als Basisgröße benutzt wird.
-$$b_{Nut} = \frac{1}{2} \cdot b_{Kn} \tag{39}$$
+$$b_{Nut} = \frac{1}{2} \cdot b_{Kn} \tag{34}$$
-$$l_{Nut} = \frac{e}{\cos \varphi_s} \tag{40}$$
+$$l_{Nut} = \frac{e}{\cos \varphi_s} \tag{35}$$
 Bei der Höhe der Nut ergibt sich eine Abhängigkeit von der Größe des Versatzwinkels der Knetscheiben untereinander. Damit überhaupt eine Nut ausgebildet wird, muss der Versatzwinkel $\alpha$ zwischen beiden Knetscheiben größer als der Kammwinkel $\Phi$ sein. Für Winkel, die kleiner sind, existiert keine Nut, und $h_{Nut}$ ist gleich $s_R$.
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 Für Versatzwinkel, bei denen $\Phi \leq \alpha \leq 45°$ gilt, wird zur Berechnung der Nuttiefe eine lineare Abhängigkeit zwischen Versatzwinkel und der Nuttiefe angesetzt. Unter Einbeziehung von experimentellen Untersuchungen hat es sich als sinnvoll erwiesen, die berechnete Nuttiefe mit dem Faktor 0,5 zu multiplizieren.
-$$h_{Nut} = 0,5 \cdot \left(\frac{\bar{h}}{\frac{1}{4} \cdot \pi - \Phi} \cdot \alpha - \frac{\Phi \cdot \bar{h}}{\frac{1}{4} \cdot \pi - \Phi} + s_R\right) \tag{41}$$
+$$h_{Nut} = 0,5 \cdot \left(\frac{\bar{h}}{\frac{1}{4} \cdot \pi - \Phi} \cdot \alpha - \frac{\Phi \cdot \bar{h}}{\frac{1}{4} \cdot \pi - \Phi} + s_R\right) \tag{36}$$
 {{ :grundlagenhandbuch:geometriegroessen_des_gleichdrall-doppelschneckenextruders:eingesetzte_schneckenelemente:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_geometriegroessen_016.svg?600%nolink |}}
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 Im Bild ist das Rinnenmodell für fördernde Schulterknetblöcke abgebildet. Betrachtet man nun den Kontrollraum A-B-C, so ergibt sich für die Volumenstrombilanz:
-$$\dot{V} = k \cdot V_{Kanal} \pm \dot{V}_{Spalt} \pm l \cdot \dot{V}_{Nut} \tag{42}$$
+$$\dot{V} = k \cdot V_{Kanal} \pm \dot{V}_{Spalt} \pm l \cdot \dot{V}_{Nut} \tag{37}$$
 l ist hier die Anzahl der zwischen den Punkten A und B liegenden Nuten, wobei die Anzahl der Nuten identisch ist mit der Anzahl der Knetscheiben auf einer Umdrehung, dementsprechend ergibt sich für l:
-$$l = \frac{t}{b_{Kn}} \cdot (2 \cdot \pi - \Omega) \cdot \cos \varphi_s \tag{43}$$
+$$l = \frac{t}{b_{Kn}} \cdot (2 \cdot \pi - \Omega) \cdot \cos \varphi_s \tag{38}$$
 $b_{Kn}$ gibt in dieser Formel die Breite einer Knetscheibe an.
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 Die Breite des Schneckensteges $b_{Steg}$ wird entsprechend der Summe aller Nutbreiten l verkürzt.
-$$b_{Steg} = (2 \cdot \pi - \Omega) \cdot D_s \cdot \cos \varphi_s - l \cdot b_{Nut} \tag{44}$$
+$$b_{Steg} = (2 \cdot \pi - \Omega) \cdot D_s \cdot \cos \varphi_s - l \cdot b_{Nut} \tag{39}$$
 ==== Exzentrische Knetblöcke ====
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 Maximales Durchmesserverhältnis von dreigängigem Profil (i=3)
-$$D_{v,3} = D_{v,3,max} = \frac{1}{2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2 \cdot i}\right) - 1} = 1,366 \tag{45}$$
+$$D_{v,3} = D_{v,3,max} = \frac{1}{2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2 \cdot i}\right) - 1} = 1,366 \tag{40}$$
 Außendurchmesser von dreigängigem Profil
-$$D_{a,3} = \frac{2 \cdot a}{1 + \frac{1}{D_{v,3}}} \tag{46}$$
+$$D_{a,3} = \frac{2 \cdot a}{1 + \frac{1}{D_{v,3}}} \tag{41}$$
 - Exzentrizität $e$
-$$e = \frac{D_{a,2} - D_{a,3}}{2} \tag{47}$$
+$$e = \frac{D_{a,2} - D_{a,3}}{2} \tag{42}$$
 Innendurchmesser von dreigängigem Profil
-$$D_{i,3} = 2 \cdot a - D_{a,3} \tag{48}$$
+$$D_{i,3} = 2 \cdot a - D_{a,3} \tag{43}$$
 Die untenstehende Grafik zeigt das Standardprofil und das exzentrische Profil. Das schwarze Profil ist zentrisch und symmetrisch über dem Rotationszentrum O Punkt. Außerdem ist es auch symmetrisch über 3 den Achsen: AD; BE und CF. Dagegen ist das rote Profil nur über x-Achse symmetrisch.
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 Das vorliegende Profil zeigt, dass die Kammwinkel null sind. Deswegen sind die Flankenwinkel des Standardprofils gleich: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \Omega_3 = 60°$
-Kammwinkel: $\phi_{k,3} = \phi_{g,3} = 0 \tag{49}$
+Kammwinkel: $\phi_{k,3} = \phi_{g,3} = 0 \tag{44}$
-Flankenwinkel: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \Omega_3 = 60° \tag{50}$
+Flankenwinkel: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \Omega_3 = 60° \tag{45}$
-Außenradius: $R_{a,3} = \frac{D_{a,3}}{2} \tag{51}$
+Außenradius: $R_{a,3} = \frac{D_{a,3}}{2} \tag{46}$
-Innenradius: $R_{i,3} = \frac{D_{i,3}}{2} = \left(a - \frac{D_{a,3}}{2}\right) \tag{52}$
+Innenradius: $R_{i,3} = \frac{D_{i,3}}{2} = \left(a - \frac{D_{a,3}}{2}\right) \tag{47}$
 Durch diese Geometriegrößen können die Koordinaten der Punkte im dreigängigen Standardprofil ausgerechnet werden. Weil das Profil symmetrisch ist, wird nur die halbe Kontur als Rechenobjekt gewählt.
-A: $x_A = R_{i,3}$; $y_A = 0$
+A: $x_A = R_{i,3}; y_A = 0\tag{48}$
-B: $x_B = R_{a,3} \cdot \cos 60° = \frac{1}{2}R_{a,3}$; $y_B = R_{a,3} \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R_{a,3}$
+B: $x_B = R_{a,3} \cdot \cos 60° = \frac{1}{2}R_{a,3}; y_B = R_{a,3} \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R_{a,3}\tag{49}$
-C: $x_C = R_{i,3} \cdot \cos 120° = -\frac{1}{2}R_{i,3}$; $y_C = R_{i,3} \cdot \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}R_{i,3}$
+C: $x_C = R_{i,3} \cdot \cos 120° = -\frac{1}{2}R_{i,3}; y_C = R_{i,3} \cdot \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}R_{i,3}\tag{50}$
-D: $x_D = -R_{a,3}$; $y_D = 0$
+D: $x_D = -R_{a,3}; y_D = 0\tag{51}$
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 Betrachtet man nun wiederum den Kontrollraum A-B-C, so findet man für die Volumenstrombilanz:
-$$\dot{V} = k \cdot \dot{V}_{channel} \pm \dot{V}_{gap} \pm l \cdot \dot{V}_{groove}\tag{53}$$
+$$\dot{V} = k \cdot \dot{V}_{channel} \pm \dot{V}_{gap} \pm l \cdot \dot{V}_{groove}\tag{52}$$
 l ist die Anzahl der zwischen den Punkten A und B liegenden Nuten. Bei dem betrachteten Mischelement befinden sich in einem Schneckensteg auf einer Umdrehung iNut =12 Nuten, dementsprechend ergibt sich für l:
-$$l = \frac{l_{Nut}}{2\pi} \cdot (2\pi - \Omega) \cdot \cos \varphi_s\tag{54}$$
+$$l = \frac{l_{Nut}}{2\pi} \cdot (2\pi - \Omega) \cdot \cos \varphi_s\tag{53}$$
 ==== Blisterscheiben====
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 Zur Charakterisierung dieser Scheiben werden in der Berechnung folgende dimensionslose Kennzahlen verwendet:
- $$k_1 = \frac{D_a}{D_z}\tag{55}$$
+ $$k_1 = \frac{D_a}{D_z}\tag{54}$$
-$$k_2 = \frac{D_i}{D_a}\tag{56}$$
+$$k_2 = \frac{D_i}{D_a}\tag{55}$$
-$$cl = \frac{a}{D_z/2}\tag{57}$$
+$$cl = \frac{a}{D_z/2}\tag{56}$$
 ==== Zahnmischelemente ====