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grundlagenhandbuch:massetemperatur:2d_modell [2026/02/01 21:28] – neelestgrundlagenhandbuch:massetemperatur:2d_modell [2026/02/07 12:24] (aktuell) – deppe2
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 Es erfolgt eine Anpassung der Energiegleichung an das vorhandene offene System, dass die Energie sowie die Masse mit der Umwelt austauschen. Es erfolgt eine Anpassung der Energiegleichung an das vorhandene offene System, dass die Energie sowie die Masse mit der Umwelt austauschen.
  
-Der Zylinder bewegt sich als ideal geformte Platte über die starre Schnecke hinweg, sodass für die Berechnungen auf ein Rinnenmodell mit kinematischer Umkehr zurückgegriffen werden kann. Durch die differentiale Schreibweise für kartesische Koordinaten ergibt sich mit der genannten Geometrie folgende Funktion für die Energiegleichung. [Sch13]+Der Zylinder bewegt sich als ideal geformte Platte über die starre Schnecke hinweg, sodass für die Berechnungen auf ein Rinnenmodell mit kinematischer Umkehr zurückgegriffen werden kann. Durch die differentiale Schreibweise für kartesische Koordinaten ergibt sich mit der genannten Geometrie folgende Funktion für die Energiegleichung. [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Sch13]]]
  
-$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) = -\left(\frac{\partial q_x}{\partial x} + \frac{\partial q_y}{\partial y} + \frac{\partial q_z}{\partial z}\right)$$ +$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) = -\left(\frac{\partial \dot{q}_x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{q}_z}{\partial z}\right)$$ 
  
 $$-T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) - \left(\sigma_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) $$ $$-T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) - \left(\sigma_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) $$
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 $$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{Gleichung 2}$$ $$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{Gleichung 2}$$
  
-Die Gleichung setzt sich aus fünf Termen zusammen, welche die folgenden Bedeutungen haben [Ang10]:+Die Gleichung setzt sich aus fünf Termen zusammen, welche die folgenden Bedeutungen haben [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Ang10]]]:
  
   * //Die linke Seite entspricht der Veränderung der inneren Energie pro Zeit- und Volumeneinheit//   * //Die linke Seite entspricht der Veränderung der inneren Energie pro Zeit- und Volumeneinheit//
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 Um eine analytische Lösung zu erhalten, muss die Gleichung durch weitere Modellannahmen vereinfacht werden. Außer der Viskosität werden alle Stoffdaten als temperaturunabhängig angenommen. Um eine analytische Lösung zu erhalten, muss die Gleichung durch weitere Modellannahmen vereinfacht werden. Außer der Viskosität werden alle Stoffdaten als temperaturunabhängig angenommen.
  
-Zu den oben genannten werden noch weitere Annahmen getroffen [Sch13]:+Zu den oben genannten werden noch weitere Annahmen getroffen [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Sch13]]]:
  
   * Die Strömung ist stationär und laminar schleichend ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$)   * Die Strömung ist stationär und laminar schleichend ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$)
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 Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 2 auf 3 Terme reduziert: Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 2 auf 3 Terme reduziert:
  
-$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial q_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{Gleichung 3}$+$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{Gleichung 3}$
  
 Die Summe aus Wärmeleitung in Kanalhöhe und der Energie der Dissipation ergibt den Temperaturanstieg im schmelzegefüllten Kanal in der Kanallängsrichtung. Die Summe aus Wärmeleitung in Kanalhöhe und der Energie der Dissipation ergibt den Temperaturanstieg im schmelzegefüllten Kanal in der Kanallängsrichtung.
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 Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 3 auf die folgende erweitert: Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 3 auf die folgende erweitert:
  
-$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + (\overline{\tau \gamma})_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{Gleichung 4}$ +$\rho c \bar{v}_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \left(\overline{\tau\dot{\gamma}}\right)_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{Gleichung 4}$ 
  
-Um die Energiegleichung weiter zu vereinfachen werden die dimensionslosen Kennzahlen wie in [Ang10] beschrieben, die Graetz- ($Gz$) und die Brinkmann-Zahl ($Br$), verwendet. Dabei beschreibt die Brinkmann-Zahl das Verhältnis disperser Energie im Schneckenkanal zu der Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung und die Graetz-Zahl die Konvektion in Kanallängsrichtung zur Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung. Zusätzlich werden die dimensionslosen Koordinaten $\xi$, $\zeta$ und die dimensionslose Temperatur $\Theta$ in die Energiegleichung eingesetzt.+Um die Energiegleichung weiter zu vereinfachen werden die dimensionslosen Kennzahlen wie in [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Ang10]]] beschrieben, die Graetz- ($Gz$) und die Brinkmann-Zahl ($Br$), verwendet. Dabei beschreibt die Brinkmann-Zahl das Verhältnis disperser Energie im Schneckenkanal zu der Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung und die Graetz-Zahl die Konvektion in Kanallängsrichtung zur Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung. Zusätzlich werden die dimensionslosen Koordinaten $\xi$, $\zeta$ und die dimensionslose Temperatur $\Theta$ in die Energiegleichung eingesetzt.
  
 $Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{Gleichung 5}$  $Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{Gleichung 5}$ 
  
-$Gz = \frac{c \rho v_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda \Delta z} V \tag{Gleichung 6}$ +$Gz = \frac{c \rho \bar{v}_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda b \Delta z} \dot{V} \tag{Gleichung 6}$ 
  
 $\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{Gleichung 7}$  $\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{Gleichung 7}$ 
Zeile 58: Zeile 58:
 Bei der geometrischen Berechnung der Graetz- $Gr$ und Brinkmann-Zahl $Br$ werden einige doppelschneckenspezifische Anpassungen vorgenommen. Bei der Ermittlung der Graetz-Zahl $Gr$ fließen die Kanalhöhe $h$ und die Kanalbreite $br$ mit ein. Diese beiden Größen werden durch die mittlere Kanalhöhe $\bar{h}$ und der Kanalbreite $b_{max}$ des Doppelschneckenextruders. Bei der geometrischen Berechnung der Graetz- $Gr$ und Brinkmann-Zahl $Br$ werden einige doppelschneckenspezifische Anpassungen vorgenommen. Bei der Ermittlung der Graetz-Zahl $Gr$ fließen die Kanalhöhe $h$ und die Kanalbreite $br$ mit ein. Diese beiden Größen werden durch die mittlere Kanalhöhe $\bar{h}$ und der Kanalbreite $b_{max}$ des Doppelschneckenextruders.
  
-Für die Brinkmann-Zahl $Br$ wird die Viskosität $\eta$ benötigt, diese ist wiederum abhängig von der Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ und wird beeinflusst von der Geometrie des Doppelschneckenextruders. Da im Kanal nicht eine konstante Kanalhöhe $h$ vorliegt, wird mit der mittleren Kanalhöhe $\bar{h}$ die mittlere Schergeschwindigkeit $\bar{\gamma}$ bestimmt, ohne den Einfluss der Schneckenelementeigenschaften (Mischelemente, Scherelemente etc.) zu berücksichtigen. [Kre04]+Für die Brinkmann-Zahl $Br$ wird die Viskosität $\eta$ benötigt, diese ist wiederum abhängig von der Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ und wird beeinflusst von der Geometrie des Doppelschneckenextruders. Da im Kanal nicht eine konstante Kanalhöhe $h$ vorliegt, wird mit der mittleren Kanalhöhe $\bar{h}$ die mittlere Schergeschwindigkeit $\bar{\gamma}$ bestimmt, ohne den Einfluss der Schneckenelementeigenschaften (Mischelemente, Scherelemente etc.) zu berücksichtigen. [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Kre04]]]
  
 $\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{Gleichung 10}$ $\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{Gleichung 10}$
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 Die Funktion zur Berechnung der Temperatur im schmelzegefüllten Kanal nimmt damit die folgende Form an: Die Funktion zur Berechnung der Temperatur im schmelzegefüllten Kanal nimmt damit die folgende Form an:
  
-$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp[-\beta(T_z \Theta)]\tag{Gleichung 11}$ +$\frac{\partial \Theta}{\partial \xi} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp\left[-\beta(T_Z \Theta)\right]\tag{Gleichung 11}$ 
  
 Es ist so noch nicht möglich die Gleichung geschlossen zu lösen, da der Exponentialterm abhängig von der Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ist. Durch die folgende Gleichung wird der Exponentialterm bereichsweise linearisiert. Es ist so noch nicht möglich die Gleichung geschlossen zu lösen, da der Exponentialterm abhängig von der Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ist. Durch die folgende Gleichung wird der Exponentialterm bereichsweise linearisiert.
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 Diese Geradengleichung unterteilt den Exponentialterm in zwei Bereiche. Der erste Bereich ist abhängig von der radialen Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ($c_1 \beta T_z \Theta$) und der Zweite wiederum von $T$ bzw. $\Theta$ und $c_1$. Die zwei Unbekannten $c_1$ und $c_2$ entstehen aus zwei Gleichungen, welche durch eine Sekante die zwischen der mittleren radialen Temperatur des vorherigen Abschnitts $T_0$ und der Zylinderwandtemperatur $T_z$ die Exponentialfunktion annähert. Diese Geradengleichung unterteilt den Exponentialterm in zwei Bereiche. Der erste Bereich ist abhängig von der radialen Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ($c_1 \beta T_z \Theta$) und der Zweite wiederum von $T$ bzw. $\Theta$ und $c_1$. Die zwei Unbekannten $c_1$ und $c_2$ entstehen aus zwei Gleichungen, welche durch eine Sekante die zwischen der mittleren radialen Temperatur des vorherigen Abschnitts $T_0$ und der Zylinderwandtemperatur $T_z$ die Exponentialfunktion annähert.
  
-In der folgenden **Abbildung 1** wird dies anhand eines Beispiels ($\beta = 0.008$ $1/°C$; $T_0 = 190°C$; $T_z = 230°C$) verdeutlicht. [Ang10]+In der folgenden **Abbildung 1** wird dies anhand eines Beispiels ($\beta = 0.008$ $1/°C$; $T_0 = 190°C$; $T_z = 230°C$) verdeutlicht. [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Ang10]]]
  
-{{ :grundlagenhandbuch:massetemperatur:2d_modell:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_006.png?nolink |}}+{{ :grundlagenhandbuch:massetemperatur:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_008.svg?600%nolink |}}
  
-**Abbildung 1:** Annäherung Exponentialfunktion durch Sekante [Ang10]+**Abbildung 1:** Annäherung Exponentialfunktion durch Sekante [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Ang10]]]
  
-Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 10 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [Ang10]:+Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 10 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Ang10]]]:
  
-$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{Gleichung 13}$ +$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{Gleichung 13}$ 
  
-Das vorgestellte Differentialgleichungssystem ist in der Ausarbeitung von [Sch13] mit den Randbedingungen der konstanten Zylindertemperatur und einer temperierten Schnecke erfolgreich gelöst worden. Für die Berechnung des Temperaturverlaufs im gleichläufigen Doppelschneckenextruder wurde dieses Modelle entsprechend angepasst. Da die Lösung dimensionslose Temperaturwerte enthält müssen diese noch in Dimensionsbehaftete Werte umgerechnet werden.+Das vorgestellte Differentialgleichungssystem ist in der Ausarbeitung von [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[Sch13]]] mit den Randbedingungen der konstanten Zylindertemperatur und einer temperierten Schnecke erfolgreich gelöst worden. Für die Berechnung des Temperaturverlaufs im gleichläufigen Doppelschneckenextruder wurde dieses Modelle entsprechend angepasst. Da die Lösung dimensionslose Temperaturwerte enthält müssen diese noch in Dimensionsbehaftete Werte umgerechnet werden.
  
 Dies erfolgt durch die folgende Gleichung und ergibt die zehn Werte des Profils über der Kanalhöhe. Dies erfolgt durch die folgende Gleichung und ergibt die zehn Werte des Profils über der Kanalhöhe.
  
-$T_{0,n}(\zeta) = \Theta_{z,n} T_{z,n} + T_{n-1}\tag{Gleichung 14}$+$T_{0,n}(\xi) = \theta_{\xi,n} T_{Z,n} + T_{n-1}\tag{Gleichung 14}$
  
 Abschließend wird das arithmetische Mittel aus den radialen Temperaturwerten gebildet und die mittlere Kanaltemperatur dieses Abschnitts bestimmt. Durch die abschnittsweise Berechnung in SIGMA kann nun der axiale Temperaturverlauf berechnet werden. Abschließend wird das arithmetische Mittel aus den radialen Temperaturwerten gebildet und die mittlere Kanaltemperatur dieses Abschnitts bestimmt. Durch die abschnittsweise Berechnung in SIGMA kann nun der axiale Temperaturverlauf berechnet werden.