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--- grundlagenhandbuch:massetemperatur [2026/05/19 14:07] – [Dimensionslose Größen für die Temperaturberechnung:] neelest
+++ grundlagenhandbuch:massetemperatur [2026/06/05 20:04] (aktuell) – [Ermittlung der mittleren Temperatur] deppe2
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 Die Temperatur nähert sich in Richtung Schneckengrund einem Grenzwert (Halbunendlicher Raum). Bei Gleichdrall-Doppelschnecken wird dieser Grenzwert aufgrund der Gangkontur und der "elementweisen" Diskretisierung an dieser Stelle fast erreicht. Deshalb wirkt sich diese Randbedingung ähnlich aus, wie die Randbedingung adiabate Schnecke, bei der der Grenzwert genau erreicht wird.
-Mit den oben genannten Rand- und Anfangsbedingungen gelangt man zu dem Lösungssatz [[grundlagenhandbuch:massetemperatur:literatur|[4, 5]]].
+Mit den oben genannten Rand- und Anfangsbedingungen gelangt man zu dem Lösungssatz [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[SA90]]], [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[CJ59]]].
 ==== Lösung für die Temperaturberechnung: ====
-$$\Theta(\zeta, \xi) = \left[\Theta_0 + \frac{Br}{Gz} \zeta + \frac{Br}{Gz} \xi^2\right] \text{erf}\left(\frac{\xi}{2\sqrt{\frac{\zeta}{Gz}}}\right) + Br \xi \sqrt{\frac{\zeta}{Gz}} e^{[-\frac{Gz\xi^2}{4\zeta}]} - \frac{Br}{2} \xi^2$$
+$$\Theta(\zeta, \xi) = \left[\Theta_0 + \frac{Br}{Gz} \zeta + \frac{Br}{Gz} \xi^2\right] \text{erf}\left(\frac{\xi}{2\sqrt{\frac{\zeta}{Gz}}}\right) + Br \xi \sqrt{\frac{\zeta}{Gz}} e^{[-\frac{Gz\xi^2}{4\zeta}]} - \frac{Br}{2} \xi^2\tag{9}$$
-$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_Z}{T_Z} = \int_0^1 \Theta(\zeta, \xi)d\xi$$
+$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_Z}{T_Z} = \int_0^1 \Theta(\zeta, \xi)d\xi\tag{10}$$
 Jeder Heizzone wird eine konstante Wandtemperatur zugewiesen. Dabei beginnt die Temperaturberechnung jeweils an der Stelle im Schneckenkanal, an der erstmals Schmelze vorliegt. Dies ist am Ort der ersten Schmelzewirbelbildung (OSW) bzw. am Aufschmelzbeginn der Fall.
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 lautet:
-$$\lambda_s \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \tau_{yi} \frac{\partial v_j}{\partial y} = 0$$
+$$\lambda_s \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \tau_{yi} \frac{\partial v_j}{\partial y} = 0\tag{11}$$
 Mit den Randbedingungen $T(0) = T_{Fl}$ und $T(\delta) = T_Z$ gelangt man zu folgender Lösung:
-$$T(\xi) = T_{Fl} + (T_Z - T_{Fl}) \left\{\xi + Br \left[\frac{1}{A^2} \left(\frac{A}{e^A - 1}\right)^{1+n} \left(1 - e^{A\xi} - \xi(1 - e^A)\right)\right]\right\}$$
+$$T(\xi) = T_{Fl} + (T_Z - T_{Fl}) \left\{\xi + Br \left[\frac{1}{A^2} \left(\frac{A}{e^A - 1}\right)^{1+n} \left(1 - e^{A\xi} - \xi(1 - e^A)\right)\right]\right\}\tag{12}$$
 mit:
-$$Br = \frac{K(T_{Fl})v_{rel}^{1+n} \overline{\delta}^{1-n}}{\lambda_s (T_Z - T_{Fl})}$$
+$$Br = \frac{K(T_{Fl})v_{rel}^{1+n} \overline{\delta}^{1-n}}{\lambda_s (T_Z - T_{Fl})}\tag{13}$$
 und
-$$\xi = \frac{y}{\delta}$$
+$$\xi = \frac{y}{\delta}\tag{14}$$
-$$A = \frac{\beta(T_Z - T_{Fl})}{n}$$
+$$A = \frac{\beta(T_Z - T_{Fl})}{n}\tag{15}$$
 Daraus lässt sich eine mittlere Temperatur für den Schmelzefilm unter Berücksichtigung des Geschwindigkeitsprofils mit:
-$$\overline{T} = T_{Start} = \frac{\int_0^1 v(\xi)T(\xi)d\xi}{\int_0^1 v(\xi)d\xi}$$
+$$\overline{T} = T_{Start} = \frac{\int_0^1 v(\xi)T(\xi)d\xi}{\int_0^1 v(\xi)d\xi}\tag{16}$$
 und
-$$v(\xi) = v_{rel} \frac{e^{A\xi} - 1}{e^A - 1}$$
+$$v(\xi) = v_{rel} \frac{e^{A\xi} - 1}{e^A - 1}\tag{17}$$
 ausrechnen.
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 ==== Gleichungen zur Berechnung der mittleren Starttemperatur: ====
-$$T_{Start} = [B \Delta T(A - 1)2e^{2A} - (AB \Delta T e^{2A} + A_3 - A2)]A_4$$
+$$T_{Start} = [B \Delta T(A - 1)2e^{2A} - (AB \Delta T e^{2A} + A_3 - A2)]A_4\tag{18}$$
-$$B = Br \frac{1}{A^2} \left[\frac{A}{e^A - 1}\right]^{1+n} \qquad \Delta T = T_Z - T_{Fl} A = \frac{\beta}{n} \Delta T$$
+$$B = Br \frac{1}{A^2} \left[\frac{A}{e^A - 1}\right]^{1+n} \qquad \Delta T = T_Z - T_{Fl} A = \frac{\beta}{n} \Delta T\tag{19}$$
-$$A_1 = A^2(B + 1) + 3AB + 2(B - 1)$$
+$$A_1 = A^2(B + 1) + 3AB + 2(B - 1)\tag{20}$$
-$$A_2 = [\Delta T(A(B + 1) + 2B - 1) + AT_{Fl}]2e^A$$
+$$A_2 = [\Delta T(A(B + 1) + 2B - 1) + AT_{Fl}]2e^A\tag{21}$$
-$$A_3 = A^2B \Delta T e^A + \Delta T A_1 + 2AT_{Fl}(A + 1)$$
+$$A_3 = A^2B \Delta T e^A + \Delta T A_1 + 2AT_{Fl}(A + 1)\tag{22}$$
-$$A_4 = \frac{1}{2A(e^A - A - 1)}$$
+$$A_4 = \frac{1}{2A(e^A - A - 1)}\tag{23}$$
 Als Lösung erhält man die aufgelisteten Gleichungen. Die mittlere Temperatur für den Schmelzefilm ist zugleich die mittlere Starttemperatur für die Temperaturverlaufsberechnung. Unter der Annahme Br = 0 kann die mittlere Starttemperatur mit der vereinfachten Lösung [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Pot91]]], [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[TK78]]]:
-$$\bar{T}_{\mathrm{start}} = T_{\mathrm{Fl}} + (T_Z - T_{\mathrm{Fl}}) \cdot \frac{\frac{1}{A} - 1 + e^A \left(1 - \frac{1}{A}\right)}{e^A - A - 1}$$
+$$\bar{T}_{\mathrm{start}} = T_{\mathrm{Fl}} + (T_Z - T_{\mathrm{Fl}}) \cdot \frac{\frac{1}{A} - 1 + e^A \left(1 - \frac{1}{A}\right)}{e^A - A - 1}\tag{24}$$
 berechnet werden.
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 $$\rho \cdot c \left( \frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z} \right) = \left( \frac{\partial \dot{q}_x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{q}_z}{\partial z} \right) $$
 $$- T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_{\rho} \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) - \left[ \tau_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \tau_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial x} + \tau_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial x} \right] $$
-$$- \left[ \tau_{xy} \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) + \tau_{zx} \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + \tau_{zy} \left( \frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \right) \right] \tag{1}$$
+$$- \left[ \tau_{xy} \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) + \tau_{zx} \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + \tau_{zy} \left( \frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \right) \right] \tag{25}$$
 Um eine mathematisch eindeutige und geschlossene Lösung zu erhalten, werden folgende vereinfachende Annahmen getroffen:
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 Unter diesen Annahmen vereinfacht sich die Energiegleichung zu:
-$$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\overline{ ({\tau} \cdot {\gamma})_j }}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot e^{-\beta (T - T_j)} \tag{2}$$
+$$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\overline{ ({\tau} \cdot {\gamma})_j }}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot e^{-\beta (T - T_j)} \tag{26}$$
 Für den Wärmestrom gilt das Fouriersche Gesetz für die Wärmeleitung
-$$\dot{q}_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial y} \tag{3} $$
+$$\dot{q}_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial y} \tag{27} $$
 Wird die Differentialgleichung normiert, so ergibt sich in Verbindung mit den in der Tabelle definierten dimensionslosen Parametern:
-$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta} \tag{4} $$
+$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta} \tag{28} $$
 ^ Parameter ^ Definition ^
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 **Tabelle:** Dimensionslose Faktoren für die Temperaturschätzung. \\
-Aufgrund des exponentiellen Terms kann die partielle Differentialgleichung (4) nicht analytisch gelöst werden. Entsprechend Melisch [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Mel98]]] wird dieser Term linearisiert.
+Aufgrund des exponentiellen Terms kann die partielle Differentialgleichung 28 nicht analytisch gelöst werden. Entsprechend Melisch [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Mel98]]] wird dieser Term linearisiert.
 Es ergibt sich die folgende Gleichung:
-$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^{2} \Theta}{\partial \xi^{2}} + \frac{Br}{Gz} (C_{1} - C_{2} \cdot \beta \cdot T_{z} \cdot \Theta) \tag {5} $$
+$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^{2} \Theta}{\partial \xi^{2}} + \frac{Br}{Gz} (C_{1} - C_{2} \cdot \beta \cdot T_{z} \cdot \Theta) \tag {29} $$
 Die Faktoren $C_1$ und $C_2$ sind in [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Mel98]]] definiert.
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 Zur Lösung der Differentialgleichung wird angenommen, dass die Temperaturdifferenzen in einem Intervall $\Delta z$ klein sind. Die zu erwartenden Temperaturausgleichsvorgänge in Kanaltiefenrichtung sind daher für einen Berechnungsabschnitt annähernd konstant und fast unabhängig von der z-Koordinate.
-$$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} \approx \frac{\partial^2 \Theta_0}{\partial \xi^2}$$
+$$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} \approx \frac{\partial^2 \Theta_0}{\partial \xi^2}\tag{30}$$
 Somit kann die Änderung des Wärmestromes in $\xi$-Richtung vereinfachend anhand des Anfangstemperaturprofils abgeschätzt wird. Eine mögliche Gleichung zur Beschreibung des Temperaturverlaufs in Kanaltiefenrichtung ist Gleichung (6.20).
-$$\Theta_0 = \Theta_z + (K_1 + K_2) \cdot \xi^2 + K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6$$
+$$\Theta_0 = \Theta_z + (K_1 + K_2) \cdot \xi^2 + K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6\tag{31}$$
 Folgende Randbedingungen wurden zur Lösung der Differentialgleichung verwendet:
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   * An der Zylinderwand liegt eine vorgegebene Temperatur $T_z$ vor:
-$$\Theta(\zeta, \xi = 1) = \Theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}$$
+$$\Theta(\zeta, \xi = 1) = \Theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}\tag{32}$$
   * Die mittlere Massetemperatur der Schmelze zu Beginn des Berechnungsabschnittes ist bekannt:
-$$\int_0^1 \Theta(\zeta = 0, \xi) \cdot d \xi = \frac{T_0 - T_0}{T_z} = 0$$
+$$\int_0^1 \Theta(\zeta = 0, \xi) \cdot d \xi = \frac{T_0 - T_0}{T_z} = 0\tag{33}$$
 So erhält man die folgende Lösung von Gleichung:
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 $$\Theta(\zeta, \xi) = \frac{2 \cdot K_1 - 2 \cdot K_2 + 12 \cdot K_1 \cdot \xi^2 + 30 \cdot K_2 \cdot \xi^4 + Br \cdot C_1}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z} \cdot (1 - \varepsilon)$$
-$$+ (\Theta_z + (K_1 - K_2) \cdot \xi^2 +) \cdot K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6) \cdot \varepsilon$$
+$$+ (\Theta_z + (K_1 - K_2) \cdot \xi^2 +) \cdot K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6) \cdot \varepsilon\tag{34}$$
 mit
-$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$
+$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}\tag{35}$$
-$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$
+$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}\tag{36}$$
 Die mittlere Temperatur im Kanal berechnet sich mit:
-$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}$$
+$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}\tag{37}$$
-$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \Theta(\xi, \zeta) \cdot d \xi$$
+$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \Theta(\xi, \zeta) \cdot d \xi\tag{38}$$
 zu:
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 $$\overline{\Theta} = \frac{K_2 \cdot \varepsilon}{7} + \frac{C_1 \cdot (1 - \varepsilon)}{C_2 \cdot \beta \cdot T_z} + \Theta_z \cdot \varepsilon + K_1 \cdot \frac{6 - 6 \cdot \varepsilon + \frac{8}{15} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$
-$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$
+$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}\tag{39}$$
 Für eine erste Verifikation wurden die Modellvorhersagen mit den Ergebnissen von nicht-isothermen Strömungssimulationen verglichen. Die folgende Abbildung zeigt den Vergleich der mittleren Temperaturen. Hier ist eine Verbesserung der Beschreibungsgüte im Vergleich zu den bisher publizierten Modellen festzustellen.
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 Die Temperaturerhöhung im Radialspalt und in den Nuten kann mit dem gleichen Ansatz berechnet werden, mit dem auch die Temperaturerhöhung im Kanal ermittelt wird.
-$$\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot \frac{\partial \dot q}{\partial y} + \frac{\overline{(\tau \cdot \dot{\gamma})}_j}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot e^{-\beta(T-T_i)} $$
+$$\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot \frac{\partial \dot q}{\partial y} + \frac{\overline{(\tau \cdot \dot{\gamma})}_j}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot e^{-\beta(T-T_i)} \tag{40}$$
 Normiert man die Differentialgleichung folgt mit den in der Tabelle definierten dimensionslosen Kenngrößen:
-$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta}$$
+$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta}\tag{41}$$
 Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt analog zum Kanalbereich. Man erhält:
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 $$\overline{\Theta} = \frac{K_2 \cdot \varepsilon}{7} + \frac{C_1 \cdot (1 - \varepsilon)}{C_2 \cdot \beta \cdot T_z} + \Theta_z \cdot \varepsilon + K_1 \cdot \frac{6 - 6 \cdot \varepsilon + \frac{8}{15} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$
-$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$
+$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}\tag{42}$$
 mit:
-$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$
+$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}\tag{43}$$
-$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$
+$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}\tag{44}$$
 und:
-$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}$$
+$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}\tag{45}$$
 **Dimensionslose Größen für die Temperaturberechnung im Radialspalt und in den Nuten:**
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 Über eine Bilanz von zugeführter und abströmender Enthalpie kann die Kopplung der Temperaturberechnungen von Kanalbereich und Spaltbereich [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ste92]]] erfolgen.
-{{ :grundlagenhandbuch:massetemperatur:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_004.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_006.svg?nolink&600 |}}
 **Abbildung:** Kontrollraum für die Enthalpiebilanz zur Berechnung der mittleren Temperatur.
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 Die Enthalpieänderung im Kontrollraum entspricht der Differenz aus ein-und ausströmender Enthalpie:
-$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \dot{H}_{z_1} - \dot{H}_{z_0}$$
+$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \dot{H}_{z_1} - \dot{H}_{z_0}\tag{46}$$
 Die Änderung resultiert aus der Temperaturerhöhung im Kanal plus der Enthalpieänderung der Strömungen im Radialspalt und in den Nuten.
-$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \Delta \dot{H}_{Spalt} + \Delta \dot{H}_{Nut}$$
+$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \Delta \dot{H}_{Spalt} + \Delta \dot{H}_{Nut}\tag{47}$$
 mit:
-$$\Delta \dot{H}_{zSpalt} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Spalt})$$
+$$\Delta \dot{H}_{zSpalt} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Spalt})\tag{48}$$
-$$\Delta \dot{H}_{zNut} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$
+$$\Delta \dot{H}_{zNut} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})\tag{49}$$
 $\overline{T}_{z_01,i}$ ist die integral gemittelte Temperatur im Kontrollraum:
-$$\overline{T}_{z_01,i} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0}^{z_1} T_{Kanal}(z) \cdot dz$$
+$$\overline{T}_{z_01,i} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0}^{z_1} T_{Kanal}(z) \cdot dz\tag{50}$$
 Nimmt man vereinfachend an, dass die Isothermen senkrecht zur Schneckenachse verlaufen, kann eine mittlere Temperatur im benachbarten Kanal $\overline{T_{z01,i+1}}$ ermittelt werden:
-$$\overline{T_{z01,i+1}} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}}^{z_1+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}} T_{Kanal}(z) \cdot dz $$
+$$\overline{T_{z01,i+1}} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}}^{z_1+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}} T_{Kanal}(z) \cdot dz \tag{51}$$
 Die gesamte Temperaturerhöhung im Intervall [$z_0$, $z_1$] errechnet sich somit zu:
-$$T_{z_1} = \frac{\dot{H}_{z_i}}{c \cdot \rho \cdot \dot{V}_z}$$
+$$T_{z_1} = \frac{\dot{H}_{z_i}}{c \cdot \rho \cdot \dot{V}_z}\tag{52}$$
 mit
-$$\dot{H}_{z_i} = \Delta \dot{H}_{z_{0,1}} + \dot{H}_{z_0} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$
+$$\dot{H}_{z_i} = \Delta \dot{H}_{z_{0,1}} + \dot{H}_{z_0} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})\tag{53}$$
 erhält man schließlich folgende Gleichung zur Berechnung der Temperaturentwicklung:
-$$T_{z_1} = T_{z1,Kanal} + \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \frac{\dot{V}_{Nut}}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$
+$$T_{z_1} = T_{z1,Kanal} + \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \frac{\dot{V}_{Nut}}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})\tag{54}$$
 Erste Versuche zur Verifikation des Temperaturmodells wurden an einem Doppelschneckenextruder vom Typ ZSK 30 durchgeführt. Als Versuchsmedium diente ein Polypropylen (PP 1100H). Das Polymer wurde in einem Beistellextruder plastifiziert und seitlich dem Doppelschneckenextruder zudosiert.
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 Man erkennt, dass das Modell in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit hinreichender Genauigkeit zu beschreiben.
-{{ :grundlagenhandbuch:massetemperatur:modifizierter_ansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_005.png?nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_massetemperatur_007.svg?nolink&700 |}}
 **Abbildung:** Vergleich gemessener und berechneter Massetemperaturen in Gewindeelementen.
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 Die Grundlage für das 2D Modell bildet die Energiegleichung zur Berechnung des radialen Temperaturprofils im Schneckenkanal.
-$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v \nabla T\right) = \lambda \nabla^2 T + \tau \nabla v \tag{Gleichung 1}$$
+$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v \nabla T\right) = \lambda \nabla^2 T + \tau \nabla v \tag{55}$$
 Es erfolgt eine Anpassung der Energiegleichung an das vorhandene offene System, dass die Energie sowie die Masse mit der Umwelt austauschen.
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 $$-T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) - \left(\sigma_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) $$
-$$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{Gleichung 2}$$
+$$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{56}$$
 Die Gleichung setzt sich aus fünf Termen zusammen, welche die folgenden Bedeutungen haben [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ang10]]]:
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   * Normalspannungen sind ebenfalls vernachlässigbar ($\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = 0$)
-Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 2 auf 3 Terme reduziert:
+Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 56 reduziert:
-$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{Gleichung 3}$
+$$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{57}$$
 Die Summe aus Wärmeleitung in Kanalhöhe und der Energie der Dissipation ergibt den Temperaturanstieg im schmelzegefüllten Kanal in der Kanallängsrichtung.
-Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 3 auf die folgende erweitert:
+Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 57 auf die folgende erweitert:
-$\rho c \bar{v}_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \left(\overline{\tau\dot{\gamma}}\right)_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{Gleichung 4}$
+$$\rho c \bar{v}_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \left(\overline{\tau\dot{\gamma}}\right)_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{58}$$
 Um die Energiegleichung weiter zu vereinfachen werden die dimensionslosen Kennzahlen wie in [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ang10]]] beschrieben, die Graetz- ($Gz$) und die Brinkmann-Zahl ($Br$), verwendet. Dabei beschreibt die Brinkmann-Zahl das Verhältnis disperser Energie im Schneckenkanal zu der Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung und die Graetz-Zahl die Konvektion in Kanallängsrichtung zur Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung. Zusätzlich werden die dimensionslosen Koordinaten $\xi$, $\zeta$ und die dimensionslose Temperatur $\Theta$ in die Energiegleichung eingesetzt.
-$Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{Gleichung 5}$
+$$Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{59}$$
-$Gz = \frac{c \rho \bar{v}_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda b \Delta z} \dot{V} \tag{Gleichung 6}$
+$$Gz = \frac{c \rho \bar{v}_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda b \Delta z} \dot{V} \tag{60}$$
-$\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{Gleichung 7}$
+$$\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{61}$$
-$\xi = \frac{\Delta y}{h} \tag{Gleichung 8}$
+$$\xi = \frac{\Delta y}{h} \tag{62}$$
-$\zeta = \frac{\Delta z}{l}\tag{Gleichung 9}$
+$$\zeta = \frac{\Delta z}{l}\tag{63}$$
 Bei der geometrischen Berechnung der Graetz- $Gr$ und Brinkmann-Zahl $Br$ werden einige doppelschneckenspezifische Anpassungen vorgenommen. Bei der Ermittlung der Graetz-Zahl $Gr$ fließen die Kanalhöhe $h$ und die Kanalbreite $br$ mit ein. Diese beiden Größen werden durch die mittlere Kanalhöhe $\bar{h}$ und der Kanalbreite $b_{max}$ des Doppelschneckenextruders.
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 Für die Brinkmann-Zahl $Br$ wird die Viskosität $\eta$ benötigt, diese ist wiederum abhängig von der Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ und wird beeinflusst von der Geometrie des Doppelschneckenextruders. Da im Kanal nicht eine konstante Kanalhöhe $h$ vorliegt, wird mit der mittleren Kanalhöhe $\bar{h}$ die mittlere Schergeschwindigkeit $\bar{\gamma}$ bestimmt, ohne den Einfluss der Schneckenelementeigenschaften (Mischelemente, Scherelemente etc.) zu berücksichtigen [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Kre04]]].
-$\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{Gleichung 10}$
+$$\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{64}$$
 Die Funktion zur Berechnung der Temperatur im schmelzegefüllten Kanal nimmt damit die folgende Form an:
-$\frac{\partial \Theta}{\partial \xi} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp\left[-\beta(T_Z \Theta)\right]\tag{Gleichung 11}$
+$$\frac{\partial \Theta}{\partial \xi} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp\left[-\beta(T_Z \Theta)\right]\tag{65}$$
 Es ist so noch nicht möglich die Gleichung geschlossen zu lösen, da der Exponentialterm abhängig von der Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ist. Durch die folgende Gleichung wird der Exponentialterm bereichsweise linearisiert.
-$\exp[-\beta(T - T_0)] = \exp[-\beta(T_z \Theta)] = c_1 - c_2 \beta T_z \Theta \tag{Gleichung 12}$
+$$\exp[-\beta(T - T_0)] = \exp[-\beta(T_z \Theta)] = c_1 - c_2 \beta T_z \Theta \tag{66}$$
 Diese Geradengleichung unterteilt den Exponentialterm in zwei Bereiche. Der erste Bereich ist abhängig von der radialen Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ($c_1 \beta T_z \Theta$) und der Zweite wiederum von $T$ bzw. $\Theta$ und $c_1$. Die zwei Unbekannten $c_1$ und $c_2$ entstehen aus zwei Gleichungen, welche durch eine Sekante die zwischen der mittleren radialen Temperatur des vorherigen Abschnitts $T_0$ und der Zylinderwandtemperatur $T_z$ die Exponentialfunktion annähert.
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 **Abbildung 1:** Annäherung Exponentialfunktion durch Sekante [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ang10]]]
-Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 10 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ang10]]]:
+Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 64 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Ang10]]]:
-$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{Gleichung 13}$
+$$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{67}$$
 Das vorgestellte Differentialgleichungssystem ist in der Ausarbeitung von [[grundlagenhandbuch:massetemperatur#literatur |[Sch13]]] mit den Randbedingungen der konstanten Zylindertemperatur und einer temperierten Schnecke erfolgreich gelöst worden. Für die Berechnung des Temperaturverlaufs im gleichläufigen Doppelschneckenextruder wurde dieses Modelle entsprechend angepasst. Da die Lösung dimensionslose Temperaturwerte enthält müssen diese noch in Dimensionsbehaftete Werte umgerechnet werden.
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 Dies erfolgt durch die folgende Gleichung und ergibt die zehn Werte des Profils über der Kanalhöhe.
-$T_{0,n}(\xi) = \theta_{\xi,n} T_{Z,n} + T_{n-1}\tag{Gleichung 14}$
+$$T_{0,n}(\xi) = \theta_{\xi,n} T_{Z,n} + T_{n-1}\tag{68}$$
 Abschließend wird das arithmetische Mittel aus den radialen Temperaturwerten gebildet und die mittlere Kanaltemperatur dieses Abschnitts bestimmt. Durch die abschnittsweise Berechnung in SIGMA kann nun der axiale Temperaturverlauf berechnet werden.