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grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere [2025/05/08 13:05] – angelegt deppe2grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere [2026/01/27 13:21] (aktuell) – [Porosität] neelest
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 ====== Gefüllte Polymere ====== ====== Gefüllte Polymere ======
  
 +===== Zugfestigkeit =====
  
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Gefüllte Polymere:Zugfestigkeit]] +Die Zugfestigkeit von Agglomeraten ist definiert als die maximale Zugkraft $F_N$, bezogen auf die Querschnittsfläche eines Agglomerates, wobei die Kraft senkrecht zur Fläche zu wirken hat. Probleme bei der Berechnung der Zugfestigkeit ergeben sich aus der Tatsache, dass es sich bei den Agglomeraten nicht um Kontinua handelt, sondern um eine Schüttung von Primärteilchen, die unregelmäßig geformt und im allgemeinen regellos angeordnet im Agglomerat vorliegen. Nimmt man nun vereinfachend an, dass die Kräfte in Agglomeraten nur an den Kontaktstellen der einzelnen Primärteilchen übertragen werden, so folgt hieraus und aus der regellosen Anordnung der Teilchen, dass sich die maximale Zugkraft der einzelnen Primärteilchen $F_{Np}$ als eine Funktion der Dehnung der Agglomerate ergibt. 
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Gefüllte Polymere:Messung von Zugfestigkeiten]] + 
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Gefüllte Polymere:Porosität]] +{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_028.svg?700%nolink |}} 
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Gefüllte Polymere:Messung der Porosität]]+ 
 +Die Zugfestigkeit ergibt sich somit aus der Summe der einzelnen Haftkräfte bezogen auf die Querschnittsfläche der Agglomerate: 
 + 
 +$$\sigma_z = \frac{F_{N,max}}{A} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^{n} F_{Np,i}(\Delta l)$$ 
 + 
 +Da das Kraft - Dehnungsverhalten der Agglomerate weitgehend unbekannt ist, ist diese Beziehung aber ohne praktische Bedeutung. Schubert hat verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Zugfestigkeit von Agglomeraten zusammengetragen. Unter anderen wird ein Ansatz von Rumpf für statistisch gepackte, monodisperse Partikel vorgestellt: 
 + 
 +$$\sigma_z = (1 - \varepsilon) \cdot k \cdot \frac{F_H}{A_p} = \frac{(1 - \varepsilon)}{\varepsilon} \cdot \frac{F_H}{d_p^2}$$ 
 + 
 +Dieser Ansatz zeichnet sich vor allem dadurch aus, dass er ohne Anpassungsfaktoren auskommt und gleichzeitig für bestimmte Fälle eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen zeigt. Einzig die Haftkräfte $F_H$ sind unbestimmt. Die Art der Haftkräfte, die für die Zugfestigkeit von entscheidender Bedeutung sind, hängt entscheidend von der Agglomeratgröße, dem Flüssigkeitssättigungsgrad und dem elektrischen Potential bzw. der Flächenladungsdichte ab. Zum Vergleich der Haftkräfte sind die Ergebnisse der Berechnung der unterschiedlichen Haftkräfte anhand eines Kugel – Kugel Modells dargestellt. 
 + 
 +{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_029.svg?700%nolink |}} 
 + 
 + 
 +Man erkennt, dass Flüssigkeitsbrücken und van-der-Waals Kräfte den größten Einfluss auf die Haftkraft haben. Elektrostatische Bindungskräfte haben eine größere Reichweite, so dass sie hauptsächlich für Anlagerungsvorgänge von Bedeutung sind. Man erkennt außerdem, dass der Schwerkrafteinfluss erst bei großen Partikeldurchmessern (1,6 mm) überwiegt. Zu beachten ist hierbei, dass dieser Wert für ideal glatte Kugel berechnet wurde. Für reale Systeme dürfte dieser Wert weit niedriger liegen. 
 + 
 + 
 +===== Messung von Zugfestigkeiten ===== 
 + 
 +Hierbei werden die zu untersuchenden Agglomerate in die runde Probenaufnahme gegeben, komprimiert und dann noch getwistet. Unter Twisten versteht man das vom Jenike - Schergerät bekannte Verdrehen des Komprimierungsstabes in der Probenaufnahme, so dass Umlagerungs- und Umorientierungsvorgänge stattfinden können. Nachdem die Probenaufnahme gefüllt ist, werden die beiden Hälften der Probenaufnahme auseinander gezogen und die Kraft, die dazu nötig ist, wird gemessen. Die Zugfestigkeit kann dann aus dem Verhältnis der beim Auseinanderbrechen der Hälften wirkenden Kraft zur Querschnittsfläche des Gerätes berechnet werden. 
 + 
 +Nachfolgend ist exemplarisch die Zugfestigkeit von Talkum in Abhängigkeit der Porosität aufgetragen. 
 + 
 +{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_030.svg?500%nolink |}} 
 + 
 + 
 +Die Messungen dieser Werte fanden auf einem Gerät statt.  
 + 
 +===== Porosität ===== 
 + 
 +Die Porosität ist definiert als das Verhältnis von Hohlraumvolumen zu Gesamtvolumen. 
 + 
 +$$\psi = \frac{V_H}{V_{ges}}$$ 
 + 
 +mit: 
 +  * $\psi$ = Porosität, 
 +  * $V_H$ = Hohlraumvolumen, 
 +  * $V_{ges}$ = Gesamtvolumen. 
 + 
 +Die Porosität kann sehr unterschiedlicher Art sein, ohne dass man diesen Unterschied einem Agglomerat äußerlich ansehen muss. Im folgenden Bild sind verschiedene Porenarten am Modell eines Einzelpartikels dargestellt. 
 + 
 +Es werden geschlossene und zugängliche Poren, Poren mit stetig gleichem Durchmesser, Poren, die sich stetig verjüngen und nur über eine enge Kapillare zugänglich sind, sowie durchströmbare Poren unterschieden. Oberflächenrauhigkeiten sind ebenfalls zu berücksichtigen. 
 + 
 +Poren bedingen bei Einzelpartikeln die Porosität $\psi_p$. Agglomeriert man derartige Partikel, erhält man die Agglomeratporosität $\psi_a$. Sie ist das Verhältnis vom Hohlraumvolumen zwischen den Partikeln zum Agglomeratvolumen. Problematisch bei dieser Definition ist die Angabe des Agglomeratvolumens in Hinblick auf die Randzonen. 
 + 
 +Wird ein Haufwerk aus Agglomeraten gebildet, so stellt sich zusätzlich die Schüttgutporosität $\psi_b$ ein, die das Verhältnis vom Hohlraumvolumen zwischen den Agglomeraten zum Gesamtvolumen des Haufwerks ist. Die Gesamtporosität $\psi$ setzt sich aus den einzelnen Porositäten zusammen. Es gilt: 
 + 
 +$$(1 - \psi) = (1 - \psi_p)(1 - \psi_a)(1 - \psi_b)$$ 
 + 
 +{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_031.svg?800%nolink |}} 
 + 
 +**Abbildung:** Schematische Darstellung von Porositäten a) Einzelpartikel, b) Schüttgut 
 + 
 +Im Allgemeinen kann bei einer Messung nicht getrennt werden, welcher Anteil der Primärpartikelporosität $\psi_p$, welcher der Agglomeratporosität $\psi_a$ und welcher Anteil der Schüttgutporosität $\psi_b$ zuzurechnen ist. Gemessen werden meist Dichten. Ein poröser Stoff hat eine geringere Dichte als die Feststoffdichte $\rho_f$. Die Dichte der Einzelpartikel $\rho_p$ ist mit der Porosität wie folgt verknüpft: 
 + 
 +$$\rho_p = (1 - \psi_p) \cdot \rho_f$$ 
 + 
 +Die Agglomeratdichte ist 
 + 
 +$$\rho_a = (1 - \psi_p) \cdot (1 - \psi_a) \cdot \rho_f$$ 
 + 
 +Entsprechend gilt für die Schüttgutdichte $\rho_b$ 
 + 
 +$$\rho_b = (1 - \psi_p) \cdot (1 - \psi_a) \cdot (1 - \psi_b) \cdot \rho_f$$ 
 + 
 +Neben den verschiedenen Porenarten sind auch verschiedene Porengrößen zu berücksichtigen. Nachfolgend ist die Verteilungsdichtekurve der Porenradien für ein Schüttgut, bestehend aus Agglomeraten, dargestellt. Im allgemeinen unterscheiden sich die Porengrößen in den drei Systemen – Einzelpartikel, Agglomerat und Haufwerk – deutlich. Im Idealfall ergeben sich verschiedene Maxima der Verteilungsdichte (multimodal). 
 + 
 +{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:gefuellte_polymere:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_032.svg?600%nolink |}} 
 + 
 + 
 +Für die Ermittlung der Porosität von Agglomeraten oder Einzelpartikeln stehen eine Reihe von Messmethoden zur Verfügung. Erwähnt seinen hier nur die Bildanalyse und das Quecksilberporosimeter. 
 + 
 + 
 +===== Messung der Porosität ===== 
 + 
 +==== Bildanalyse ==== 
 + 
 +Bei der Bildanalyse werden von einem Agglomerat ein oder mehrere Schnitte angefertigt und der Flächenanteil des Hohlraums sowie der Feststoffanteil der Primärpartikel ermittelt. Mit Hilfe von Serienschnitten kann zwischen offenen und geschlossenen Poren unterschieden werden. Außerdem können die Größenverteilung und der Formfaktor ermittelt werden. Aus einem einzigen Schnittbild kann nur für kugelförmige Poren die Größenverteilung errechnet werden. Die mittlere Flächenporosität stimmt jedoch für beliebige Poren gut mit der Gesamtporosität überein. 
 + 
 +==== Quecksilber-Penetrationsmethode ==== 
 + 
 +Diese von Washburn 1921 vorgeschlagene Methode eignet sich zur Bestimmung des Porenvolumens und der Porenradienverteilung. Quecksilber benetzt sehr schlecht und umhüllt die Agglomerate. Das von dem Agglomerat verdrängte Quecksilbervolumen wird von einem Quecksilber Porosimeter gemessen. 
 + 
 +Bei bekannter Feststoffdichte ergibt sich die Agglomeratdichte entsprechend DIN 53193 oder DIN 51057 aus dem verdrängten Volumen und der Massendifferenz. In Abhängigkeit vom aufgewendeten Druck dringt Quecksilber entsprechend der Gauß-Laplace Gleichung 
 + 
 +$$p = \frac{2\sigma \cos(\Theta)}{r}$$ 
 + 
 +mit: 
 +  * $p$ = aufgewendeter Druck, 
 +  * $\sigma$ = Oberflächenspannung des Quecksilbers, 
 +  * $\Theta$ = Randwinkel von Quecksilber, 
 +  * $r$ = Porenradius 
 + 
 +in kleine Poren ein. Mit dieser Gleichung lässt sich die Porenradienverteilung berechnen. Bei höheren Drücken muss die Kompressibilität des Quecksilbers berücksichtigt werden.