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--- grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends [2026/01/27 12:23] – neelest
+++ grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends [2026/01/27 12:53] (aktuell) – [Dichten von Mehrstoffsystemen] neelest
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 die Materialdaten der einzelnen Komponenten auf folgende Weise verwenden:
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Mischungsregeln für Polymerblends: Rheologische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen]]
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Mischungsregeln für Polymerblends:Thermodynamische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen]]
+===== Rheologische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen =====
-  *[[Grundlagenhandbuch:Materialkenngrößen:Mischungsregeln für Polymerblends:Dichten von Mehrstoffsystemen]]
+Für die Berechnung der Viskosität von zweiphasigen Polymerblends gibt es in der Literatur, je nach Anspruch an die Genauigkeit, einfachere oder mathematisch kompliziertere Mischungsregeln. In der Simulationssoftware SIGMA werden folgende allgemeine Mischungsregeln verwendet: Zum einen die einfachste und weitverbreitetste logarithmische Mischungsregel von Arrhenius:
+$$\log \eta_{MIX} = w_1 \cdot \log \eta_1 + w_2 \cdot \log \eta_2$$
+zum anderen die Mischungsregel nach Mantford:
+$$\eta_{MIX}^{1/3.4} = w_1 \cdot \eta_1^{1/3.4} + w_2 \cdot \eta_2^{1/3.4}$$
+Die Bestimmung der Mischungsviskosität aus den Viskositäten der Einzelkomponenten $\eta$ und den Gewichtsanteilen $w_i$ mit SIGMA ist nachstehend dargestellt.
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_016.svg?700%nolink |}}
+Um die Viskosität $\eta_{MIX}$ bei gegebener Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ für eine Polymermischung berechnen zu können, werden zunächst die Mischungsviskositäten $\eta_{MIX\,1}$ und $\eta_{MIX\,2}$ für die definierten Schergeschwindigkeiten $\dot{\gamma}_1 = 0,9 \cdot \dot{\gamma}$ und $\dot{\gamma}_2 = 1,1 \cdot \dot{\gamma}$ bestimmt.
+Für den Ansatz nach Mantford gilt:
+$$\eta_{MIX\,1}^{1/3.4} = w_1 \cdot \eta_{1.1}^{1/3.4} + w_2 \cdot \eta_{2.1}^{1/3.4}$$
+$$\eta_{MIX\,2}^{1/3.4} = w_1 \cdot \eta_{1.2}^{1/3.4} + w_2 \cdot \eta_{2.2}^{1/3.4}$$
+Analog dazu ergibt sich für die logarithmische Mischungsregel (Arrhenius):
+$$\log \eta_{MIX\,2} = w_1 \cdot \log \eta_{1.1} + w_2 \cdot \log \eta_{2.1}$$
+$$\log \eta_{MIX\,2} = w_1 \cdot \log \eta_{1.2} + w_2 \cdot \log \eta_{2.2}$$
+Sind diese Größen bekannt, folgt für den Fließexponenten n und die Konsistenz K des approximierten Blendsegments zwischen $\dot{\gamma}_1 = \dot{\gamma}_{MIX\,1}$ und $\dot{\gamma}_2 = \dot{\gamma}_{MIX\,2}$:
+$$n = 1 + \frac{\log\left(\frac{\eta_{MIX\,1}}{\eta_{MIX\,2}}\right)}{\log\left(\frac{\dot{\gamma}_{MIX\,1}}{\dot{\gamma}_{MIX\,2}}\right)}$$
+$$K = \frac{\eta_{MIX\,1}}{\dot{\gamma}_{MIX\,1}^{n-1}}$$
+Die gesuchte Viskosität $\eta_{MIX}$ ergibt sich schließlich durch:
+$$\eta_{MIX} = K \cdot \dot{\gamma}_{MIX}^{n-1}$$
+Liegt die dispergierte Phase in fester oder hochviskoser Form vor, kann man von gefüllten Systemen sprechen. Für die Simulation muss bei einem gefüllten Polymer zuerst das Basispolymer und dessen Partikeldurchmesser definiert werden. Anschließend wird der Füllstoff definiert. Hierzu sind eine Reihe von Materialdaten nötig: Der Partikeldurchmesser d, der Massenanteil w, die Feststoffdichte $\rho$, die Schüttdichte $\rho_S$, die Wärmeleitfähigkeit des Feststoffs $\lambda_0$ sowie die spezifische Wärmekapazität $c_0$. Ähnlich dem Polymerblend stehen bei gefüllten Polymeren auch zwei Mischungsgleichungen zur Verfügung. Zum einen der einfache Ansatz nach Einstein:
+$$\eta_{MIX} = \eta_1 \cdot (1 + 2,5 \cdot \phi_2)$$
+und schließlich der nach Hashin:
+$$\eta_{MIX} = \eta_1 \cdot \left[1 + 2 \cdot \frac{\phi_2}{1 - \phi_2}\right]$$
+In diesen Gleichungen bedeutet $\eta_1$ die Viskosität des Basispolymers und $\phi_2$ der Volumenanteil der zugesetzten Komponente.
+===== Thermodynamische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen =====
+Experimentell bestimmte Kristallitschmelztemperaturen sowohl für Polymerblends als auch für gefüllte Systeme (Compounds) sind in der Abbildung dargestellt. Für Polymerblends wird mit SIGMA die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ aus den Gewichtsanteilen $w_i$ und den Kristallitschmelztemperaturen $T_{K.i}$ wie folgt berechnet:
+$$T_{K.MIX} = w_1 \cdot T_{K.1} + w_2 \cdot T_{K.2}$$
+während für Compounds gilt:
+$$T_{K.MIX} = T_{K.1}$$
+Die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ eines gefüllten Polymers (Compound) wird somit gleich der Kristallitschmelztemperatur des Basispolymers angenommen.
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_017.svg?700%nolink |}}
+**Abbildung:** Kristallitschmelztemperatur von Mehrstoffsystemen: Polymerblends (links) und Compounds (rechts)
+Zur Beschreibung der spezifischen Wärmekapazität c von Mehrstoffsystemen geht man sowohl bei Polymerblends als auch bei gefüllten Systemen von einer einheitlichen Mischungsregel aus. Für die spezifische Wärmekapazität der Mischung gilt:
+$$c_{MIX} = w_1 \cdot c_1 + w_2 \cdot c_2$$
+wobei den Gewichtsanteilen und den spezifischen Wärmekapazitäten der Einzel- bzw. zugesetzten Komponenten entspricht.
+Der spezifische Wärmekapazitätswert $c_{0.MIX}$ der Mischung ergibt sich somit zu:
+$$c_{0.MIX} = w_1 \cdot c_{0.1} + w_2 \cdot c_{0.2}$$
+Im ersten Bild ist der Verlauf der spezifischen Wärmekapazität $c_0$ für Polymerblends und gefüllte Systeme dargestellt. Auch die Steigung des Wärmekapazitätsverlaufes $c_{m.MIX}$ der Mischung wird für beide Systeme bestimmt:
+$$c_{m.MIX} = w_1 \cdot c_{m.1} + w_2 \cdot c_{m.2}$$
+Der Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität $c_m$ und den Gewichtsanteilen für Polymerblends und gefüllte Systeme ist im zweiten Bild beispielhaft dargestellt:
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_018.svg?700%nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_019.svg?700%nolink |}}
+**Abbildung:** Wärmekapazität von Mehrstoffsystemen: Polymerblends (links) und gefüllte Systeme (rechts)
+Die spezifische Enthalpie ergibt sich zu:
+$$\Delta h = w_1 \cdot \Delta h_1 + w_2 \cdot \Delta h_2 = w_1 \cdot (\Delta h_F + \Delta h_A)_1 + w_2 \cdot (\Delta h_F + \Delta h_A)_2$$
+Index "r;1" bezieht sich auf das Polymer 1 und Index "r;2" auf das Polymer 2. Zur Beschreibung der spezifischen Enthalpie $\Delta h$ von gefüllten Systemen (Compounds) wird hingegen folgender Ansatz gewählt:
+$$\Delta h = w_1 \cdot (\Delta h_F + \Delta h_A)_1 + w_2 \cdot c_2 \cdot \Delta T$$
+Index "r;1" bezieht sich hier auf das Polymer, Index "r;2" kennzeichnet nun den Füllstoff.
+Die Feststoff- $\Delta h_F$ und Aufschmelzenthalpie $\Delta h_A$ bei Polymerblends können wie folgt über die Enthalpiegrößen der Einzelkomponenten bestimmt werden. Für die Feststoff- $\Delta h_{F.MIX}$ bzw. Aufschmelzenthalpie der Mischung $\Delta h_{A.MIX}$ gilt dann:
+$$\Delta h_{F.MIX} = w_1 \cdot \Delta h_{F.1} + w_2 \cdot \Delta h_{F.2}$$
+$$\Delta h_{A.MIX} = w_1 \cdot \Delta h_{A.1} + w_2 \cdot \Delta h_{A.2}$$
+Analog berechnen sich bei Compounds (gefüllten Systemen) die Feststoff- $\Delta h_{F.MIX}$ und Aufschmelzenthalpien $\Delta h_{A.MIX}$ der Mischung folgendermaßen:
+$$\Delta h_{F.MIX} = w_1 \cdot \Delta h_{F.1}$$
+$$\Delta h_{A.MIX} = w_1 \cdot \Delta h_{A.1} + w_2 \cdot c_2 \cdot \Delta T$$
+Die Bilder zeigen exemplarisch Ergebnisse experimenteller Untersuchungen der spezifischen Feststoff- $\Delta h_F$ und spezifischen Aufschmelzenthalpie $\Delta h_A$ von Mehrstoffsystemen.
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_020.svg?700%nolink |}}
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_021.svg?700%nolink |}}
+**Abbildung:** Spezifische Aufschmelzenthalpie $\Delta h_A$ von Mehrstoffsystemen: Polymerblends (links) und gefüllte Systeme (rechts)
+Im Simulationsprogramm SIGMA werden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit $\lambda_{MIX}$ für Mehrstoffsysteme aus den Werten der Einzelpolymere $(w_i, \lambda_i)$ folgende Gleichungen zu Grunde gelegt. Für Polymerblends gilt:
+$$\lambda_{MIX} = w_1 \cdot \lambda_1 + w_2 \cdot \lambda_2$$
+Für gefüllte Polymere (Compounds) wird folgende Beziehung zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit angenommen:
+$$\lambda_{MIX} = \lambda_2 \cdot \frac{\lambda_1 + 2 \cdot \lambda_2 - 2 \cdot \phi_1 \cdot (\lambda_2 - \lambda_1)}{\lambda_1 + 2 \cdot \lambda_2 + \phi_1 \cdot (\lambda_2 - \lambda_1)}$$
+Während die Indizes "r;1" und "r;2" bei Polymerblends den gemischten Einzelpolymeren 1 und 2 entsprechen, gilt bei gefüllten Systemen für das Basispolymer Index "r;1" und für den zugesetzten Füllstoff Index "r;2". Für jede Komponente gilt die lineare Annäherung:
+$$\lambda_i = \lambda_{0i} + \lambda_{mi} \cdot T$$
+Hierin ist $\lambda_{0i}$ der Wert der linearen Approximationsfunktion für die Wärmeleitfähigkeit einer Komponente bei der Temperatur T = 0°C, während $\lambda_{m,i}$ der Steigung des approximierten Wärmeleitfähigkeitsverlaufs der Komponente für Temperaturen oberhalb der Schmelztemperatur entspricht. Bei Polymerblends ergibt sich die Wärmeleitfähigkeit der Mischung $\lambda_{0,MIX}$ zu:
+$$\lambda_{0.MIX} = w_1 \cdot \lambda_{0,1} + w_2 \cdot \lambda_{0,2}$$
+Die Steigung der Wärmeleitfähigkeitsfunktion der Mischung $\lambda_{m,MIX}$ berechnet sich mit:
+$$\lambda_{m.MIX} = w_1 \cdot \lambda_{m,1} + w_2 \cdot \lambda_{m,2}$$
+Für gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $\lambda_{0,MIX}$ und $\lambda_{m,MIX}$ folgende Mischungsgleichungen:
+$$\lambda_{0.MIX} = \lambda_{0.2} \cdot \frac{\lambda_{0,1} + 2 \cdot \lambda_{0,2} - 2 \cdot \phi_1 \cdot (\lambda_{0,2} - \lambda_{0,1})}{\lambda_{0.1} + 2 \cdot \lambda_{0.2} + \phi_1 \cdot (\lambda_{0.2} - \lambda_{0.1})}$$
+und
+$$\lambda_{m.MIX} = \lambda_{m.2} \cdot \frac{\lambda_{m.1} + 2 \cdot \lambda_{m.2} - 2 \cdot \phi_1 \cdot (\lambda_{m.2} - \lambda_{m.1})}{\lambda_{m.1} + 2 \cdot \lambda_{m.2} + \phi_1 \cdot (\lambda_{m.2} - \lambda_{m.1})}$$
+===== Dichten von Mehrstoffsystemen =====
+Die Berechnung der Feststoffdichte und Schmelzedichte $\rho_{MIX}$ von Polymerblends und Compounds aus den Dichten $\rho_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes folgt über die identische Gleichung:
+$$\frac{1}{\rho_{MIX}} = \frac{w_1}{\rho_1} + \frac{w_2}{\rho_2}$$
+Die Berechnung des spezifischen Volumens v von Polymerblends und Compounds aus den spezifischen Volumina $v_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes erfolgt über die Gleichung:
+$$v_{MIX} = w_1 \cdot v_1 + w_2 \cdot v_2$$
+Für Polymerblends und gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $v_{0MIX}$ und $v_{mMIX}$ folgende Mischungsgleichungen:
+$$v_{0.MIX} = w_1 \cdot v_{0.1} + w_2 \cdot v_{0.2}$$
+und
+$$v_{m.MIX} = w_1 \cdot v_{m.1} + w_2 \cdot v_{m.2}$$
+Zur Ermittlung der Schüttdichte $\rho_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen wie Polymerblends und Compounds mit den Granulatdurchmessern $d_1$ und $d_2$ (wobei $d_1 < d_2$ gelten soll) der Einzelkomponenten bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes müssen zunächst einige Betrachtungen angestellt werden. Im folgenden Bild ist die Schüttdichte $\rho_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen dargestellt.
+{{ :grundlagenhandbuch:materialkenngroessen:mischungsregeln_fuer_polymerblends:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_materialkenngroessen_022.svg?700%nolink |}}
+Dabei soll sowohl für das Polymerblend als auch für das gefüllte System (Compound) gelten, dass der Granulatdurchmesser der kleineren Kornfraktion sehr viel kleiner als der der größeren Fraktion ist ($d_1 << d_2$). Trägt man die Schüttdichte $\rho_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen über dem Gewichtsanteil der kleineren Fraktion $w_1$ auf, so hat jeder Verlauf unabhängig vom Lückenanteil $\varepsilon$ ein Maximum bei der Sättigungskonzentration $w_1 = w_{Sät}$. Die Sättigungskonzentration ergibt sich zu:
+$$w_{Sät} = \frac{\rho_2 \cdot (1 - \rho_\infty) \cdot (1 - \varepsilon)}{\rho_1 + \rho_2 \cdot (1 - \rho_\infty) \cdot (1 - \varepsilon)}$$
+mit dem Grenzausfüllgrad für eine kubisch-flächenzentrierte Packung:
+$$\rho_\infty = \frac{V_{Kugel}}{V_{gesamt}} = \frac{\pi}{3 \cdot \sqrt{2}} \approx 0,74$$
+Hier ist $V_{Kugel}$ das Volumen, welches die größere Materialkomponente bezogen auf das Gesamtvolumen $V_{gesamt}$ maximal einnehmen kann. Der Lückenanteil, der zu eng ist, als dass die kleine Materialkomponente (Mat. 1) hineinpassen würde, wird $\varepsilon = 0,25$ gesetzt. Daraus ergibt sich für die Sättigungsschüttdichte (Schüttdichte des Mischbereiches):
+$$\rho_{Sät} = \rho_1 + (1 - \rho_\infty) \cdot (1 - \varepsilon) \cdot \rho_2$$
+Zur Bestimmung der Schüttdichte $\rho_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen bei Polymerblends und Compounds mit $d_1 < d_2$ werden nun drei Fälle unterschieden. Die Vorgehensweise der drei Berechnungsarten ist nachfolgend dargestellt. Als Unterteilungskriterium gilt bei allen Berechnungsarten das Verhältnis der Kornfraktionen $d_1/d_2$. So geht man zunächst von nur zwei verschiedenen Berechnungsansätzen aus ($d_1 < 0,25d_2$ bzw. $d_1 > 0,75d_2$), während sich der dritte Berechnungsansatz aus der linearen Mittelung der beiden anderen im Übergangsbereich berechnet ($0,25d_2 < d_1 < 0,75d_2$).
+**Schüttdichte von Mehrstoffsystemen**
+**(Polymerblends und Compounds mit $d_1 < d_2$)**
+**Berechnungsart I**
+**(falls $d_1 << d_2$ d. h. $d_1 < 0,25 d_2$)**
+  * falls $w < w_{Sät}$
+$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{w_1}{w_{Sät}}\right)\rho_1 + \frac{w_1}{w_{Sät}} \rho_{Sät}$$
+  * falls $w \geq w_{Sät}$
+$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}}\right)\rho_2 + \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}} \rho_{Sät}$$
+**Berechnungsart II**
+**(falls $d_1 > 0,75 d_2$)**
+$$\frac{1}{\rho_{Mix}} = \frac{w_1}{\rho_1} + \frac{w_2}{\rho_2}$$
+**Berechnungsart III**
+**(falls $0,25 d_2 < d_1 < 0,75 d_2$)**
+$$\rho_{Mix} = (\rho_{Mix I} + \rho_{Mix II}) / 2$$
+= Lineare Mittelung von
+Berechnungsart I und II