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grundlagenhandbuch:scale-up [2026/04/01 15:16] – admingrundlagenhandbuch:scale-up [2026/05/28 09:40] (aktuell) – [Konstanter Wärmestrom] deppe2
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 ===== Modelltheorie ===== ===== Modelltheorie =====
  
-Aus wirtschaftlichen Gründen erfolgt die Entwicklung neuer Rezepturen im Bereich der Polymerverarbeitung in der Regel auf Labormaschinen. Erst wenn eine angemessene Produktqualität erreicht ist, wird mit der Übertragung des Verfahrens auf die Produktionsmaschine begonnen. Aufgrund dieses zweistufigen Ansatzes kommt der Übertragung von Verfahren und Betriebspunkten in der Polymerverarbeitung eine zentrale Bedeutung zu. Um das Risiko von Qualitätsverlusten während des Scale-ups zu minimieren, erscheint die Anwendung von Modellgesetzen sinnvoll. Diese Modellgesetze basieren auf den Grundlagen der Ähnlichkeitstheorie [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[1]]].+Aus wirtschaftlichen Gründen erfolgt die Entwicklung neuer Rezepturen im Bereich der Polymerverarbeitung in der Regel auf Labormaschinen. Erst wenn eine angemessene Produktqualität erreicht ist, wird mit der Übertragung des Verfahrens auf die Produktionsmaschine begonnen. Aufgrund dieses zweistufigen Ansatzes kommt der Übertragung von Verfahren und Betriebspunkten in der Polymerverarbeitung eine zentrale Bedeutung zu. Um das Risiko von Qualitätsverlusten während des Scale-ups zu minimieren, erscheint die Anwendung von Modellgesetzen sinnvoll. Diese Modellgesetze basieren auf den Grundlagen der Ähnlichkeitstheorie [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Paw71]]].
  
 Ausgangspunkt dieses Ansatzes ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik für einen stationären Strömungsprozess. Ausgangspunkt dieses Ansatzes ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik für einen stationären Strömungsprozess.
  
-<figure center|fig_label> 
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-<caption>caption</caption> 
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 Mit den Gleichungen 3 bis 5 sind die grundlegenden Kennzahlen für die Aufstellung der Modellgesetze bestimmt. Mit den Gleichungen 3 bis 5 sind die grundlegenden Kennzahlen für die Aufstellung der Modellgesetze bestimmt.
  
-Für die Berechnung des Druck-Durchsatz-Verhaltens und der Maschinenleistung bei gleichsinnig drehenden Doppelschneckenextrudern ist darüber hinaus die Kenntnis des Geschwindigkeitsprofils der Polymerschmelze im Schneckenkanal von entscheidender Bedeutung. Um identische Strömungsverhältnisse in Modell- und Hauptausführung zu erhalten, liegt es daher nahe, die Invarianz des normierten Geschwindigkeitsprofils im Kanal zu postulieren. Dieses Postulat entspricht, wie Mayer [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[2]]] gezeigt hat, dem von Potente [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[3]]] formulierten Postulat eines konstanten dimensionslosen Druckgefälles für beide Maschinen. Wie Potente [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[3]]] weiterhin darlegt, kann ein konstantes dimensionsloses Druckgefälle nur unter der Bedingung eines konstanten Gangsteigungswinkels $\varphi_s$ realisiert werden.+Für die Berechnung des Druck-Durchsatz-Verhaltens und der Maschinenleistung bei gleichsinnig drehenden Doppelschneckenextrudern ist darüber hinaus die Kenntnis des Geschwindigkeitsprofils der Polymerschmelze im Schneckenkanal von entscheidender Bedeutung. Um identische Strömungsverhältnisse in Modell- und Hauptausführung zu erhalten, liegt es daher nahe, die Invarianz des normierten Geschwindigkeitsprofils im Kanal zu postulieren. Dieses Postulat entspricht, wie Mayer [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[May84]]] gezeigt hat, dem von Potente [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Pot81]]] 
 + formulierten Postulat eines konstanten dimensionslosen Druckgefälles für beide Maschinen. Wie Potente [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Pot81]]] 
 + weiterhin darlegt, kann ein konstantes dimensionsloses Druckgefälle nur unter der Bedingung eines konstanten Gangsteigungswinkels $\varphi_s$ realisiert werden.
  
 $$\frac{\varphi_s}{\varphi_{s,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^0 \tag{6}$$ $$\frac{\varphi_s}{\varphi_{s,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^0 \tag{6}$$
  
-Betrachtet man eine vollständig mit Schmelze gefüllte Dosierzone eines gleichsinnig drehenden Doppelschneckenextruders, so setzt sich der Gesamtvolumenstrom bei Vernachlässigung der Leckströmung aus einem Anteil infolge Schleppströmung und einem Anteil infolge Druckströmung zusammen [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[4]]]. Für Newtonsche Flüssigkeiten gilt dabei:+Betrachtet man eine vollständig mit Schmelze gefüllte Dosierzone eines gleichsinnig drehenden Doppelschneckenextruders, so setzt sich der Gesamtvolumenstrom bei Vernachlässigung der Leckströmung aus einem Anteil infolge Schleppströmung und einem Anteil infolge Druckströmung zusammen [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Erd69]]] 
 +. Für Newtonsche Flüssigkeiten gilt dabei:
  
 $$\dot{V} = \dot{V}_z - \dot{V}_p \tag{7}$$ $$\dot{V} = \dot{V}_z - \dot{V}_p \tag{7}$$
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 Um die verfügbaren Modellgesetze anwenden zu können, müssen die zugeordneten Exponenten miteinander verknüpft werden. Hierzu werden ausschließlich diejenigen Schneckenzonen betrachtet, in denen Schmelze vorliegt. Ausgehend von der Energiebilanz der Schmelzezone ergeben sich die in der Tabelle dargestellten dimensionslosen Kennzahlen. Energetische Ähnlichkeit liegt jeweils dann vor, wenn die Kennzahlen eines Kennzahlensatzes konstant sind. Um die verfügbaren Modellgesetze anwenden zu können, müssen die zugeordneten Exponenten miteinander verknüpft werden. Hierzu werden ausschließlich diejenigen Schneckenzonen betrachtet, in denen Schmelze vorliegt. Ausgehend von der Energiebilanz der Schmelzezone ergeben sich die in der Tabelle dargestellten dimensionslosen Kennzahlen. Energetische Ähnlichkeit liegt jeweils dann vor, wenn die Kennzahlen eines Kennzahlensatzes konstant sind.
  
-**Tabelle:** Kennzahlen und Annahmen für die Schmelzezone.+===Tabelle: Kennzahlen und Annahmen für die Schmelzezone.===
  
 ^ Satz ^ $\Pi_{\dot{Q}}$ ^ $\Pi_\kappa$ ^ $\Pi_7$ ^ $\Pi_{12}$ ^ $\Pi_{11}$ ^ Annahmen ^ ^ Satz ^ $\Pi_{\dot{Q}}$ ^ $\Pi_\kappa$ ^ $\Pi_7$ ^ $\Pi_{12}$ ^ $\Pi_{11}$ ^ Annahmen ^
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 Bei Polymerschmelzen ist die in den Kennzahlen auftretende Viskosität von der Temperatur und der Schergeschwindigkeit abhängig. Für den relevanten Verarbeitungsbereich genügt es, die Viskosität mittels einer Potenzfunktion zu beschreiben. Im allgemeinen Fall verschiebt sich bei einer Maßstabsvergrößerung der Maschine die Viskositätsfunktion in Richtung des in der Abbildung dargestellten Pfeils. Bei Polymerschmelzen ist die in den Kennzahlen auftretende Viskosität von der Temperatur und der Schergeschwindigkeit abhängig. Für den relevanten Verarbeitungsbereich genügt es, die Viskosität mittels einer Potenzfunktion zu beschreiben. Im allgemeinen Fall verschiebt sich bei einer Maßstabsvergrößerung der Maschine die Viskositätsfunktion in Richtung des in der Abbildung dargestellten Pfeils.
  
 +{{ :grundlagenhandbuch:scaleup_de002.png?nolink&800 |}}
 **Abbildung:** Viskosität als Funktion von Schergeschwindigkeit und Temperatur. **Abbildung:** Viskosität als Funktion von Schergeschwindigkeit und Temperatur.
  
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 $$h_{max} = D - a \tag{18}$$ $$h_{max} = D - a \tag{18}$$
  
-Aufgrund der Invarianz des Gangtiefenexponenten bei vorgegebener Geometrie lässt sich das Prinzip der vollständigen energetischen Ähnlichkeit für gleichsinnig drehende Doppelschneckenextruder im Allgemeinen nicht realisieren. Durch geeignete Wahl der Randbedingungen kann jedoch eine partielle energetische Ähnlichkeit erreicht werden. Nach Christiano [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[5]]] erscheint es zweckmäßig, dabei drei Fälle zu unterscheiden.+Aufgrund der Invarianz des Gangtiefenexponenten bei vorgegebener Geometrie lässt sich das Prinzip der vollständigen energetischen Ähnlichkeit für gleichsinnig drehende Doppelschneckenextruder im Allgemeinen nicht realisieren. Durch geeignete Wahl der Randbedingungen kann jedoch eine partielle energetische Ähnlichkeit erreicht werden. Nach Christiano [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Chr94]]] 
 + erscheint es zweckmäßig, dabei drei Fälle zu unterscheiden.
  
  
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 Ausgangspunkt für diesen Ansatz ist die Kennzahl $\Pi_5$ der Schmelzezone. Unter der Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur und mit den bereits genannten Voraussetzungen ergibt sich für das Viskositätsverhältnis zwischen Modell- und Hauptausführung: Ausgangspunkt für diesen Ansatz ist die Kennzahl $\Pi_5$ der Schmelzezone. Unter der Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur und mit den bereits genannten Voraussetzungen ergibt sich für das Viskositätsverhältnis zwischen Modell- und Hauptausführung:
  
-$$\frac{\eta}{\eta_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2\psi + \chi - 2 - \omega}$$+$$\frac{\eta}{\eta_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2\psi + \chi - 2 - \omega} \tag{19}$$
  
 Des Weiteren lässt sich die Schergeschwindigkeit durch die Beziehung Des Weiteren lässt sich die Schergeschwindigkeit durch die Beziehung
  
-$$\frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi}$$+$$\frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \tag{20}$$
  
 beschreiben. Logarithmiert man diese beiden Ausdrücke und eliminiert das Durchmesserverhältnis, so erhält man: beschreiben. Logarithmiert man diese beiden Ausdrücke und eliminiert das Durchmesserverhältnis, so erhält man:
  
-$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = \frac{2\psi + \chi - 2 - \omega}{1 - \psi - \chi} \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0}$$+$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = \frac{2\psi + \chi - 2 - \omega}{1 - \psi - \chi} \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} \tag{21}$$
  
 Nach Gleichung 1.13 gilt für die Viskositätsfunktion bei konstanter Temperatur auch: Nach Gleichung 1.13 gilt für die Viskositätsfunktion bei konstanter Temperatur auch:
  
-$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = (n - 1) \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0}$$+$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = (n - 1) \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} \tag{22}$$
  
 Damit ergibt sich der Drehzahlexponent für konstanten spezifischen Energieeintrag zu: Damit ergibt sich der Drehzahlexponent für konstanten spezifischen Energieeintrag zu:
  
-$$\chi = \frac{n - n\psi + 1 + \omega - \psi}{n}$$+$$\chi = \frac{n - n\psi + 1 + \omega - \psi}{n} \tag{23}$$
  
 Durch Einsetzen des Drehzahlexponenten erhält man den zugehörigen Durchsatz für diesen Betriebspunkt. Durch Einsetzen des Drehzahlexponenten erhält man den zugehörigen Durchsatz für diesen Betriebspunkt.
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 Für die Heizleistung erhält man aus der Energiebilanz der Schmelzezone Für die Heizleistung erhält man aus der Energiebilanz der Schmelzezone
  
-$$\Pi_6 = \frac{\dot{q} L_{sz} \left(1 - \beta / \pi\right)}{h v \rho c_v \Delta T_{sz}}$$+$$\Pi_6 = \frac{\dot{q} L_{sz} \left(1 - \beta / \pi\right)}{h v \rho c_v \Delta T_{sz}} \tag{24}$$
  
-Der Klammerausdruck kann näherungsweise als konstanter Wert angesehen werden [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur|[3]]]. Geht man ferner von konstanten Stoffwerten aus und ersetzt die Geschwindigkeit, so ergibt sich für das Verhältnis der Wärmestromdichten von Modell- und Hauptausführung:+Der Klammerausdruck kann näherungsweise als konstanter Wert angesehen werden [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Pot81]]] 
 +. Geht man ferner von konstanten Stoffwerten aus und ersetzt die Geschwindigkeit, so ergibt sich für das Verhältnis der Wärmestromdichten von Modell- und Hauptausführung:
  
-$$\frac{\dot{q}}{\dot{q}_0} = \frac{L_{sz,0} h D N}{L_{sz} h_0 D_0 N_0} = \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}}$$+$$\frac{\dot{q}}{\dot{q}_0} = \frac{L_{sz,0} h D N}{L_{sz} h_0 D_0 N_0} = \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} \tag{25}$$
  
 Unter Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur für Modell- und Hauptausführung muss folglich Unter Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur für Modell- und Hauptausführung muss folglich
  
-$$\chi = \psi - \omega$$+$$\chi = \psi - \omega \tag{26}$$
  
-gelten, um identische Wärmestromdichten zu erhalten. Der zu dosierende Massestrom ergibt sich, wie zuvor, durch Einsetzen des Exponenten in die Durchsatzgleichung.+gelten, um identische Wärmestromdichten zu erhalten. Der zu dosierende Massestrom ergibt sich, wie zuvor, durch Einsetzen des Exponenten in die Durchsatzgleichung $\frac{\dot{m}}{\dot{m}_0} = \frac{\dot{V}}{\dot{V}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2+\psi-\chi}$.
  
  
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 Die mittlere Verweilzeit lässt sich als Quotient aus freiem Kanalvolumen und Volumenstrom darstellen. Die mittlere Verweilzeit lässt sich als Quotient aus freiem Kanalvolumen und Volumenstrom darstellen.
  
-$$\bar{t} = \frac{V_{frei}}{\dot{V}}$$+$$\bar{t} = \frac{V_{frei}}{\dot{V}} \tag{27}$$
  
 Die Substitution beider Größen durch Die Substitution beider Größen durch
  
-$$\dot{V} \sim b h D N \text{ und } V_{frei} \sim b h L$$+$$\dot{V} \sim b h D N \text{ und } V_{frei} \sim b h L \tag{28}$$
  
 und die Bildung des Quotienten für Modell- und Hauptausführung führen zu der Gleichung: und die Bildung des Quotienten für Modell- und Hauptausführung führen zu der Gleichung:
  
-$$\frac{\bar{t}}{\bar{t}_0} = \frac{L D_0 N_0}{L_0 D N} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{\psi + \chi}$$+$$\frac{\bar{t}}{\bar{t}_0} = \frac{L D_0 N_0}{L_0 D N} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{\psi + \chi} \tag{29}$$
  
 Um die Forderung einer konstanten Verweildauer des Materials in Modell- und Hauptausführung einhalten zu können, muss Um die Forderung einer konstanten Verweildauer des Materials in Modell- und Hauptausführung einhalten zu können, muss
  
-$$\chi = -\omega$$+$$\chi = -\omega \tag{30}$$
  
 gelten. Dies bedeutet, dass bei konstantem L/D-Verhältnis ($\omega = 0$) beide Maschinen mit identischer Drehzahl betrieben werden. gelten. Dies bedeutet, dass bei konstantem L/D-Verhältnis ($\omega = 0$) beide Maschinen mit identischer Drehzahl betrieben werden.
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 ===== Literatur ===== ===== Literatur =====
  
-[1] Pawlowski, I.: Die Ähnlichkeitstheorie in der physikalisch-technischen Forschung, Springer-Verlag 1971+[Chr94] Christiano, J. P.: Scale-up study of co- rotating fully intermeshing twin screw extruders using 47mm, 69mm, and 96.5mm diameters, Antec (Tagung), S.239-247, 1994
  
-[2] Mayer, A.: Extruderbaureihen - Ein Beitrag zur Auslegung und Optimierung von Einschneckenextrudern, Dissertation RWTH Aachen 1984+[Erd69] Erdmenger, R.: Mehrwellenschnecken der Verfahrenstechnik, Chem.-Ing.-Techn. 36, S.175-185, 1969
  
-[3] Potente, H.: Auslegung von Schneckenmaschinen-Baureihen, Carl Hanser Verlag 1981+[May84] Mayer, A.: Extruderbaureihen - Ein Beitrag zur Auslegung und Optimierung von Einschneckenextrudern, Dissertation RWTH Aachen 1984
  
-[4] Erdmenger, R.: Mehrwellenschnecken der Verfahrenstechnik, Chem.-Ing.-Techn. 36, S.175-185, 1969+[Paw71] Pawlowski, I.: Die Ähnlichkeitstheorie in der physikalisch-technischen Forschung, Springer-Verlag 1971
  
-[5] Christiano, J. P.: Scale-up study of co- rotating fully intermeshing twin screw extruders using 47mm, 69mm, and 96.5mm diameters, Antec (Tagung), S.239-247, 1994+[Pot81] Potente, H.: Auslegung von Schneckenmaschinen-Baureihen, Carl Hanser Verlag 1981