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--- grundlagenhandbuch:scale-up [2026/04/10 10:48] – [Konstanter Wärmestrom] neelest
+++ grundlagenhandbuch:scale-up [2026/05/28 09:40] (aktuell) – [Konstanter Wärmestrom] deppe2
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 Ausgangspunkt für diesen Ansatz ist die Kennzahl $\Pi_5$ der Schmelzezone. Unter der Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur und mit den bereits genannten Voraussetzungen ergibt sich für das Viskositätsverhältnis zwischen Modell- und Hauptausführung:
-$$\frac{\eta}{\eta_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2\psi + \chi - 2 - \omega}$$
+$$\frac{\eta}{\eta_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2\psi + \chi - 2 - \omega} \tag{19}$$
 Des Weiteren lässt sich die Schergeschwindigkeit durch die Beziehung
-$$\frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi}$$
+$$\frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \tag{20}$$
 beschreiben. Logarithmiert man diese beiden Ausdrücke und eliminiert das Durchmesserverhältnis, so erhält man:
-$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = \frac{2\psi + \chi - 2 - \omega}{1 - \psi - \chi} \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0}$$
+$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = \frac{2\psi + \chi - 2 - \omega}{1 - \psi - \chi} \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} \tag{21}$$
 Nach Gleichung 1.13 gilt für die Viskositätsfunktion bei konstanter Temperatur auch:
-$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = (n - 1) \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0}$$
+$$\lg \frac{\eta}{\eta_0} = (n - 1) \lg \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_0} \tag{22}$$
 Damit ergibt sich der Drehzahlexponent für konstanten spezifischen Energieeintrag zu:
-$$\chi = \frac{n - n\psi + 1 + \omega - \psi}{n}$$
+$$\chi = \frac{n - n\psi + 1 + \omega - \psi}{n} \tag{23}$$
 Durch Einsetzen des Drehzahlexponenten erhält man den zugehörigen Durchsatz für diesen Betriebspunkt.
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 Für die Heizleistung erhält man aus der Energiebilanz der Schmelzezone
-$$\Pi_6 = \frac{\dot{q} L_{sz} \left(1 - \beta / \pi\right)}{h v \rho c_v \Delta T_{sz}}$$
+$$\Pi_6 = \frac{\dot{q} L_{sz} \left(1 - \beta / \pi\right)}{h v \rho c_v \Delta T_{sz}} \tag{24}$$
 Der Klammerausdruck kann näherungsweise als konstanter Wert angesehen werden [[grundlagenhandbuch:scale-up#literatur |[Pot81]]]
 . Geht man ferner von konstanten Stoffwerten aus und ersetzt die Geschwindigkeit, so ergibt sich für das Verhältnis der Wärmestromdichten von Modell- und Hauptausführung:
-$$\frac{\dot{q}}{\dot{q}_0} = \frac{L_{sz,0} h D N}{L_{sz} h_0 D_0 N_0} = \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}}$$
+$$\frac{\dot{q}}{\dot{q}_0} = \frac{L_{sz,0} h D N}{L_{sz} h_0 D_0 N_0} = \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{1-\psi-\chi} \frac{\Delta T_{sz}}{\Delta T_{sz,0}} \tag{25}$$
 Unter Annahme einer konstanten Schmelzeaustrittstemperatur für Modell- und Hauptausführung muss folglich
-$$\chi = \psi - \omega$$
+$$\chi = \psi - \omega \tag{26}$$
-gelten, um identische Wärmestromdichten zu erhalten. Der zu dosierende Massestrom ergibt sich, wie zuvor, durch Einsetzen des Exponenten in die Durchsatzgleichung.
+gelten, um identische Wärmestromdichten zu erhalten. Der zu dosierende Massestrom ergibt sich, wie zuvor, durch Einsetzen des Exponenten in die Durchsatzgleichung $\frac{\dot{m}}{\dot{m}_0} = \frac{\dot{V}}{\dot{V}_0} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{2+\psi-\chi}$.
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 Die mittlere Verweilzeit lässt sich als Quotient aus freiem Kanalvolumen und Volumenstrom darstellen.
-$$\bar{t} = \frac{V_{frei}}{\dot{V}}$$
+$$\bar{t} = \frac{V_{frei}}{\dot{V}} \tag{27}$$
 Die Substitution beider Größen durch
-$$\dot{V} \sim b h D N \text{ und } V_{frei} \sim b h L$$
+$$\dot{V} \sim b h D N \text{ und } V_{frei} \sim b h L \tag{28}$$
 und die Bildung des Quotienten für Modell- und Hauptausführung führen zu der Gleichung:
-$$\frac{\bar{t}}{\bar{t}_0} = \frac{L D_0 N_0}{L_0 D N} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{\psi + \chi}$$
+$$\frac{\bar{t}}{\bar{t}_0} = \frac{L D_0 N_0}{L_0 D N} = \left(\frac{D}{D_0}\right)^{\psi + \chi} \tag{29}$$
 Um die Forderung einer konstanten Verweildauer des Materials in Modell- und Hauptausführung einhalten zu können, muss
-$$\chi = -\omega$$
+$$\chi = -\omega \tag{30}$$
 gelten. Dies bedeutet, dass bei konstantem L/D-Verhältnis ($\omega = 0$) beide Maschinen mit identischer Drehzahl betrieben werden.