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--- grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:linearer_druckansatz_und_polynomansatz:zahnmischelemente [2026/01/28 21:52] – neelest
+++ grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:linearer_druckansatz_und_polynomansatz:zahnmischelemente [2026/04/01 23:32] (aktuell) – gelöscht deppe2
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-====== Zahnmischelemente ======
-Für die Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens in Zahnmischelementen sind ebenfalls einige Modellannahmen notwendig:
-  * Die Spalte im Eingriffsbereich der Zahnmischelemente sind konstant ($s_{F1} \approx s_{F2}$).
-  * Die Strömung in den Nuten kann hinreichend genau durch eine Strömung in Rechteckkanälen beschrieben werden.
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-**Abbildung:** Reale Zahnscheibengeometrie und geometrisches Ersatzmodell
-==== Strömung in den Nuten ====
-Die bisher veröffentlichten Gleichungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Rechteckkanälen stammen aus der Einschneckentheorie. Hier treten hauptsächlich fördernde Kanäle auf. Weiter ist das Verhältnis von Kanalbreite $b$ zu Kanalhöhe $h$ sehr groß ($b/h > 10$). Gangsteigungen größer als $2 \cdot \text{Schneckendurchmesser}$ findet man in Einschneckenmaschinen kaum. Betrachtet man nun die Nuten in Zahnmischelementen, so ist zum einen festzustellen, dass das Verhältnis von Kanalbreite zu Kanalhöhe deutlich kleiner 10 ist, zum anderen, dass je nach Hersteller dieser Elemente, die Nuten fördernd, förderneutral oder rückfördernd ausgeführt werden. Außerdem werden diese Nuten häufig in großen Gangsteigungen ausgeführt $t > 5 \cdot D_s$.
-Aus diesem Grund wurden Finite-Element Rechnungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Geometrien mit geringen $b/h$-Verhältnissen durchgeführt. Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:
-  * $b/h$: $0.05 \leq b/h \leq 40$ (nur fördernd und rückfördernd)
-  * $t/d$: $0.5 \leq t/d \leq 10$
-  * $n$: $0.2 \leq n \leq 1$
-  * $\pi_V$: $0 \leq \pi_V \leq 10$
-Das Druck-Durchsatzverhalten der drei Fälle kann durch Polynome dritter Ordnung beschrieben werden,
-$$\pi_V = A_{R,0}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) + A_{R,1}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P + A_{R,2}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^2 + A_{R,3}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^3$$
-wobei zu bemerken ist, dass der Parameter $A_0$ für förderneutrale Rechteckkanäle 0 ist. In den nachfolgenden Bildern sind die Verläufe des dimensionslosen Druckgradienten in Abhängigkeit des dimensionslosen Volumenstroms für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt.
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Rechteckkanäle
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Rechteckkanäle
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Rechteckkanäle
-==== Überlagerung der Volumenströme ====
-Das Druck-Durchsatzverhalten eines Zahnmischelementes ergibt sich aus der Überlagerung der Volumenströme einer vergleichbaren Blisterscheibe und der Volumenströme in den Rechteckkanälen:
-$$\dot{V}_{zahnmisch} = \dot{V}_{scheibe} + i \cdot \dot{V}_{rechteck}$$
-Hieraus ergibt sich folgende Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Zahnmischelementen:
-$$\pi_V = Y_0 + Y_1 \cdot \pi_P + Y_2 \cdot \pi_P^2 + Y_3 \cdot \pi_P^3$$
-mit:
-$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot n_0 \cdot A_{frei} \cdot D_a}$$
-$$\pi_P = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{s}_F}{6 \cdot K \cdot n_0^n}$$
-und
-$$Y_0 = A_{R,0} \cdot i \cdot \pi_{geo,V}$$
-$$Y_1 = A_{B,1} + A_{R,1} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}$$
-$$Y_2 = A_{B,2} + A_{R,2} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^2$$
-$$Y_3 = A_{R,3} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^3$$
-Die beiden Faktoren $\pi_{geo,V}$ und $\pi_{geo,p}$ werden zur Kopplung der beiden Volumenströme benötigt. Sie sind definiert als:
-$$\pi_{geo,V} = \frac{1/2 \cdot h \cdot b \cdot v_{0z}}{1/2 \cdot A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}$$
-und:
-$$\pi_{geo,p} = \frac{h^{1+n}}{6 \cdot (\pi \cdot D_a \cdot \cos(\varphi_s))^n}$$
-Aus der Überlagerung der Volumenströme ergibt sich je nach Förderart ein unterschiedliches Druck-Durchsatzverhalten (Bild 5.26 - Bild 5.28).
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Zahnmischelemente
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Zahnmischelemente
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-**Abbildung:** Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Zahnmischelemente
-Der Vergleich der durch das Modell vorhergesagten Druckgradienten mit den experimentell ermittelten zeigt eine befriedigende Übereinstimmung.
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-**Abbildung:** Vergleich experimenteller und approximierter Druckgradienten in fördernden Zahnmischelementen