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--- grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:regressionsansatz:druck-durchsatzmodell_fuer_gewindeelemente [2026/02/05 15:45] – pka
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-====== Druck-Durchsatzmodell für Gewindeelemente ======
-===== Druck-Durchsatzmodell für Gewindeelemente =====
-Bei der Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Gewindeelementen sind zwei Zonen zu unterscheiden, in denen verschiedene Mechanismen zur Förderung der Schmelze führen:
-  * eine Förderung aufgrund von Schleppmechanismen im Kanalbereich und
-  * eine Zwangsförderung im Eingriffsbereich.
-In den Schneckenkanälen sind geringe, teilweise sogar negative, Axialgeschwindigkeiten zu finden, während im Eingriff der Schnecken relativ große Axialgeschwindigkeiten berechnet werden. Hieraus folgt, dass die Förderung im Gewindeelement, zumindest bei geringen Durchsätzen, von der Strömung im Eingriffsbereich dominiert wird. Im Schneckenkanal findet bei diesen Betriebspunkten eine Rückströmung statt.
-Um diesen Effekt abbilden zu können, werden die Strömung im Eingriffsbereich und die Strömung in den Schneckenkanälen zunächst getrennt voneinander modelliert und erst anschließend gekoppelt.
-$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Kanal,GE} + \dot{V}_{Eingriff,GE}$$
-==== Kanalbereich ====
-Zur Beschreibung der Strömung im Kanalbereich wird ein Rinnenmodell verwendet. Hierbei werden Schnecke und Zylinder entlang der Zylinderwand abgewickelt. Zusätzlich wird eine kinematische Umkehr vorgenommen, d.h. die drehende Schnecke wird durch stillstehende, parallele Kanäle abgebildet über die sich der abgewickelte Zylinder bewegt.
-{{ :grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:regressionsansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_schmelzefoerderung_039.png?nolink |}}
-**Abbildung:** Rinnenmodell für zweigängige fördernde Gewindeelemente [[grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:literatur|[6]]].
-Die Geschwindigkeit $v_0$ des abgewickelten Zylinders ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit am Außendurchmesser der sich mit der Drehzahl $n_0$ drehenden Schnecke.
-$$v_0 = \pi \cdot D_s \cdot n_0$$
-Die Modellierung des Förderverhaltens erfolgt nun auf der Basis einer Volumenstrombilanz an den Kontrollräumen ABC im Bild.
-$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \dot{V}_{z,GE} + \dot{V}_{x,GE}$$
-**Strömung in der Rinne**
-Zur Beschreibung der Rinnenströmung $\dot{V}_z$ wird der vorgestellte Ansatz verwendet.
-$$\dot{V}_{z,GE} = \pi_{V,z,GE} \cdot (\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0)$$
-Es ist zu berücksichtigen, dass die Berechnung von $\pi_{V,z}$ abschnittsweise erfolgt:
-$$\pi_{V,z,GE} = \begin{cases}
-\left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \pi_{V,z} < 0 \\
-\\
-\left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,z} \leq \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \\
-\\
-\left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_{p,z}^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_{p,z}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \leq \pi_{V,z}
-\end{cases}$$
-mit
-$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$
-Für die nachfolgenden Schritte ist es deshalb zweckmäßig die Gleichung in allgemeiner Form:
-$$\pi_{V,z,GE} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5$$
-zu schreiben.
-**Strömung im Radialspalt**
-Zur Beschreibung der Leckströmung wird der vorgestellte Ansatz für Rechteckkanäle verwendet.
-$$\dot{V}_{x,GE} = \pi_{V,x} \cdot (s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0)$$
-Es ist zu berücksichtigen, dass auch die Berechnung von $\pi_{V,x}$ abschnittsweise erfolgt:
-$$\pi_{V,x,GE} = \begin{cases}
-\left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,I,3} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \pi_{V,x} < 0 \\
-\\
-\left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,II,2} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,x} \leq \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \\
-\\
-\left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,III,2} \cdot \pi_{p,x}^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_{p,x}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \leq \pi_{V,x}
-\end{cases}$$
-mit
-$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{e_{max}} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$
-Auch hier wird aus Gründen der Übersichtlichkeit eine allgemeine Schreibweise gewählt:
-$$\pi_{V,x} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5$$
-**Kopplung der Volumenströme**
-Löst man die Gleichungen nach den dimensionsbehafteten Volumenströmen auf und setzt diese dann wieder ein, erhält man:
-$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$
-$$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$
-$$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$
-Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:
-$$\pi_{V,GE} = \frac{\dot{V}_{Kanal,GE}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$
-$$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$
-$$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$
-Im nächsten Schritt ist eine Kopplung der Druckgradienten in Kanalrichtung und über den Schneckensteg notwendig. Hierfür wird auf die von Ansahl [[grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:literatur|[6]]] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Nach Ansahl gilt:
-$$\Delta p_x = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\tan(\varphi_s)} $$
-Durch Einsetzen folgt:
-$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max} \cdot s_R^{1+n}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s) \cdot K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z} $$
-mit
-$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\overline{h}}\right)^{1+n} $$
-Aus den erhält man die Gleichung zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens des Kanalbereichs von Gewindeelementen für Doppelschneckenextruder:
-$$\pi_{V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0}\right)$$
-$$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$
-$$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$
-$$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$
-$$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5$$
-mit
-$$\pi_1 = \frac{s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}$$
-==== Eingriffsbereich ====
-In der Literatur wurden verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Strömung im Eingriffsbereich entwickelt. Im Folgenden wird der Ansatz von Booy [14] verwendet.
-$$\dot{V}_{Eingriff,GE} = A_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0$$
-Bakalis [[grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:literatur|[15]]] zeigte anhand von Messungen und Strömungssimulationen, dass die berechneten Volumenströme gut mit den Messungen und Simulationsergebnissen übereinstimmten
-==== Druck-Durchsatzmodell ====
-Im letzten Schritt ist dem Volumenstrom im Rinnenmodell der Volumenstrom im Eingriffsbereich zu überlagern:
-$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \dot{V}_{Kanal,GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \pi_{V,Kanal,GE} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$$
-Die theoretischen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für fördernde und rückfördernde Gewindeelemente dargestellt.
-{{ :grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:regressionsansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_schmelzefoerderung_040.png?nolink |}}
-**Abbildung:** Druck-Durchsatzverhalten von fördernden und rückfördernden Gewindeelementen.
-Im Bild ist ein Vergleich der Modellvorhersagen zu experimentellen Ergebnissen zu sehen. Die Versuche wurden an einem Modellextruder unter Verwendung von Silikonöl als Schmelze durchgeführt.
-{{ :grundlagenhandbuch:schmelzefoerderung:regressionsansatz:de_sigma150_dlg_grundlagenhandbuch_schmelzefoerderung_041.png?nolink |}}
-**Abbildung:** Vergleich berechneter und gemessener Druckgradienten in Gewindeelementen.
-Man erkennt, dass das Modell die gemessenen Druckgradienten gut beschreiben kann.