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-====== Bestimmung des Temperaturfeldes ======
-===== Bestimmung des Temperaturfeldes =====
-Zur Bestimmung zeitlich veränderlicher Temperaturfelder innerhalb eines Körpers wird die Fourier-Differential-Gleichung betrachtet (hier in Zylinderkoordinaten): [VDI06]
-$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = -\lambda \left[\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial T}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right] \pm \dot{q}_s$$ **Gleichung 3**
-Für das betrachtete Problem (d. h. keine externe Wärmequelle, kein Temperaturgradient in Winkelrichtung) vereinfacht sich der Ausdruck folgendermaßen:
-$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p} \cdot \left[\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r}\right]$$ **Gleichung 4**
-Für exakte Lösungen müssen die partiellen Ableitungen bestimmt werden. Die Finite-Differenzen-Methode liefert eine Näherungslösung, wobei der eingebrachte Fehler durch einen steigenden Diskretisierungsgrad minimiert werden kann. Allerdings erhöht sich hiermit auch der Rechenaufwand.
-Zur Approximation der partiellen Ableitungen wird eine Taylorreihenentwicklung durchgeführt: Die Entwicklung der Temperatur ergibt für einen kleinen Zeitschritt: [BK97]
-$$T_{t+\Delta t,r} = T_{t,r} + \frac{\partial T}{\partial t} \Delta t + \cdots$$ **Gleichung 5**
-Diese wird nach dem ersten Glied abgebrochen, sodass sich
-$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T_{t+\Delta t,r} - T_{t,r}}{\Delta t}$$ **Gleichung 6**
-ergibt. Mit
-$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T_{t+\Delta t,r} - T_{t,r}}{\Delta t} = \frac{T_{i+1,j} - T_{i,j}}{\Delta t}$$ **Gleichung 7**
-wird die erste der drei partiellen Ableitungen angenähert. Eine Taylorreihenentwicklung der Temperatur in radiale Richtung mit Abbruch nach dem zweiten Glied liefert: [BK97]
-$$T_{i,j+1} = T_{i,j} + \frac{\partial T}{\partial r} \Delta r + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} \Delta r^2 + \cdots$$ **Gleichung 8**
-$$T_{i,j-1} = T_{i,j} - \frac{\partial T}{\partial r} \Delta r + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} \Delta r^2 + \cdots$$ **Gleichung 9**
-Diese beiden Gleichungen werden addiert:
-$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta r^2}$$ **Gleichung 10**
-Durch Einsetzen von Gleichung 10 in Gleichung 8 oder Gleichung 9 ergibt sich:
-$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{\Delta r}$$ **Gleichung 11**
-Hiermit sind alle partiellen Ableitungen näherungsweise bestimmt. Einsetzen in Gleichung 4 liefert:
-$$\frac{T_{i+1,j} - T_{i,j}}{\Delta t} = a \left[\frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta r^2} + \frac{1}{r} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{\Delta r}\right]$$ **Gleichung 12**
-Nach einigen Vereinfachungen ergibt sich folgender Ausdruck:
-$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta t \cdot a}{R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right]$$ **Gleichung 13**
-Zusätzlich kann der Zeitunterschied t durch das Verhältnis der Länge zur Abzugsgeschwindigkeit beschrieben werden:
-$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right]$$ **Gleichung 14**
-Es wird ersichtlich, dass sich die Temperatur anhand von drei Temperaturen, die sich im vorhergehenden Längensegment i befinden, bestimmen lässt. Soll die Temperatur im letzten Radialsegment bei j=N bestimmt werden, existiert keine vorhergehende Temperatur mit dem Index j+1, analog existiert in Strangmitte keine vorhergehende Temperatur mit j-1. Demnach müssen für diese Grenzfälle Randbedingungen definiert werden, um Hilfstemperaturen zu berechnen.