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grundlagenhandbuch:strangabkuehlung [2026/05/28 00:12] – deppe2grundlagenhandbuch:strangabkuehlung [2026/09/04 13:43] (aktuell) – [Konvergenzkriterium] paal
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 Ab der SIGMA-Version 11.1 gibt es erstmals die Möglichkeit, eine Wasserbad-Strangabkühlung zu modellieren. Hiermit kann die Temperaturverteilung innerhalb eines Polymerstrangs zu bestimmten Zeitpunkten ermittelt werden. Somit lassen sich Rückschlüsse auf die notwendigen Kühlzeiten bzw. Wasserbadlängen ziehen, sodass die Dimensionierung einer derartigen Kühlstrecke maßgeblich vereinfacht wird. Ab der SIGMA-Version 11.1 gibt es erstmals die Möglichkeit, eine Wasserbad-Strangabkühlung zu modellieren. Hiermit kann die Temperaturverteilung innerhalb eines Polymerstrangs zu bestimmten Zeitpunkten ermittelt werden. Somit lassen sich Rückschlüsse auf die notwendigen Kühlzeiten bzw. Wasserbadlängen ziehen, sodass die Dimensionierung einer derartigen Kühlstrecke maßgeblich vereinfacht wird.
  
-Die Temperaturverteilung wird mit Hilfe der Finiten-Differenzen-Methode (FDM) numerisch ermittelt. Komplexe Wärmeleitvorgänge können mit Hilfe der Fourier-Differential-Gleichung (vgl. Gleichung 3) dargestellt werden. Hierbei handelt es sich um partielle Differentialgleichungen, d. h. Funktionen mit Ableitungen von zwei oder mehr Variablen, die nicht ohne weiteres analytisch gelöst werden können. Bei der FDM werden die partiellen Ableitungen vereinfachend als Differenzenquotienten approximiert, sodass eine Näherungslösung des Problems berechnet werden kann [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[FP08]]], [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[Mar11]]].+Die Temperaturverteilung wird mit Hilfe der Finiten-Differenzen-Methode (FDM) numerisch ermittelt. Komplexe Wärmeleitvorgänge können mit Hilfe der Fourier-Differential-Gleichung (vgl. Gleichung 3) dargestellt werden. Hierbei handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung, d. h. eine Funktion mit Ableitungen von zwei oder mehr Variablen, die nicht ohne weiteres analytisch gelöst werden kann. Bei der FDM werden partielle Ableitungen vereinfachend als Differenzenquotienten approximiert, sodass eine Näherungslösung des Problems berechnet werden kann [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[FP08]]], [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[Mar11]]].
  
 Die vorliegende Geometrie wird diskretisiert, d. h. dass eine endliche (finite) Anzahl an Stützstellen (oder auch Knotenpunkten) über die Geometrie gelegt wird. Für diese Stützstellen werden dann jeweils Temperaturen berechnet. Es wird ersichtlich, dass mit steigendem Diskretisierungsgrad, d. h. mit höherer Knotenpunktanzahl eine feinere Auflösung der Temperaturverteilung erreicht und damit genauere Berechnungsergebnisse erzielt werden können [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[FP08]]], [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[Mar11]]]. Die vorliegende Geometrie wird diskretisiert, d. h. dass eine endliche (finite) Anzahl an Stützstellen (oder auch Knotenpunkten) über die Geometrie gelegt wird. Für diese Stützstellen werden dann jeweils Temperaturen berechnet. Es wird ersichtlich, dass mit steigendem Diskretisierungsgrad, d. h. mit höherer Knotenpunktanzahl eine feinere Auflösung der Temperaturverteilung erreicht und damit genauere Berechnungsergebnisse erzielt werden können [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[FP08]]], [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[Mar11]]].
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 Nach einigen Vereinfachungen ergibt sich folgender Ausdruck: Nach einigen Vereinfachungen ergibt sich folgender Ausdruck:
  
-$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta t \cdot a}{R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right] \tag{13}$$ +$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta t \cdot a}{R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N^2}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right] \tag{13}$$ 
  
 Zusätzlich kann der Zeitunterschied t durch das Verhältnis der Länge zur Abzugsgeschwindigkeit beschrieben werden: Zusätzlich kann der Zeitunterschied t durch das Verhältnis der Länge zur Abzugsgeschwindigkeit beschrieben werden:
  
-$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N^2 T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{j \cdot 2}\right] \tag{14}$$+$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N^2}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right] \tag{14}$$
  
 $$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a \cdot N^2}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) + \frac{1}{j} \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right] \tag{14.1}$$ $$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a \cdot N^2}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) + \frac{1}{j} \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right] \tag{14.1}$$
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 In Anlehnung an das Binder-Schmidt-Verfahren (siehe [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[BK97]]]) wird für den Faktor (Fourier-Zahl) aus Gleichung 13 bzw. Gleichung 14 die folgende Grenze definiert: In Anlehnung an das Binder-Schmidt-Verfahren (siehe [[grundlagenhandbuch:strangabkuehlung#literatur |[BK97]]]) wird für den Faktor (Fourier-Zahl) aus Gleichung 13 bzw. Gleichung 14 die folgende Grenze definiert:
  
-$$\frac{\Delta t \cdot a}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2} \tag{18}$$ +$$\frac{\Delta t \cdot a}{\Delta r^2} \leq \frac{1}{2} \tag{18}$$ 
  
 Für die radiale sowie axiale Segmentanzahl werden folgende Mindestwerte festgelegt: Für die radiale sowie axiale Segmentanzahl werden folgende Mindestwerte festgelegt: