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-====== Verweilzeitanalyse ======
-===== Verweilzeitanalyse =====
-Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 2, 14, 15].
-$$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}$$
-Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen.
-Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$,
-$$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta$$
-welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1.
-Die Bestimmung der oben angesprochenen Parameter $c_1$ bis $c_4$ für Plastifizierextruder muss unter Einhaltung der folgenden Randbedingungen erfolgen [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 5, 15]:
- * die kürzeste dimensionslose Verweilzeit $\Theta_1$ kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen,
- * es gilt das Minimalwertkriterium $0 < \Theta_1 < 1$,
- * die mittlere dimensionslose Verweilzeit $\bar{\Theta}$ nimmt den Wert 1 an,
- * charakteristische Werte der berechneten Verteilungskurven müssen mit den experimentellen Werten übereinstimmen; z.B. muss der Funktionswert für $\Theta = 1$ den experimentellen Wert gut approximieren, und die Lage des Maximums der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss dem experimentellen Wert entsprechen [14, 15, 16],
- * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen
-$$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}$$
-berücksichtigen,
- * Bei der reinen Blockströmung gilt ferner: $\bar{\Theta} = \Theta_1 = 1$,
- * die Verteilungsfunktion muss den Grenzfall des sogenannten idealen Mischers mit $\Theta_1 = 0$ durch $c_1 = c_2 = 1$ beschreiben,
- * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
-$$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta$$
-muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen,
- * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss aus physikalischen Gründen wegen der Feststoffanteile immer kleiner sein als die eines Schmelzeextruders. Der Schmelzeextruder wurde in [5] behandelt.