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| grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/02/03 20:41] – [Mittlere Verweilzeit] neelest | grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Kürzeste Verweilzeit] paal | ||
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| ===== Kürzeste Verweilzeit ===== | ===== Kürzeste Verweilzeit ===== | ||
| - | Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, | + | Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, |
| - | $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}$$ | + | $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{1}$$ |
| zu berechnen, wobei $\Theta_1(=t_1/ | zu berechnen, wobei $\Theta_1(=t_1/ | ||
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| - | **Abbildung: | + | **Abbildung: |
| $\Theta_1$ nimmt für konstante dimensionslose Durchsätze $\pi_\dot V < 1$ mit kleiner werdendem $n$ ab. Bei newtonischen Schmelzen ist das Verhältnis von kürzester zu mittlerer Verweilzeit stets 3/4, d.h. eine Beeinflussung ist für einen Füllgrad von $f = 1$ weder durch Änderung der Maschinen- noch der Verfahrensparameter möglich. | $\Theta_1$ nimmt für konstante dimensionslose Durchsätze $\pi_\dot V < 1$ mit kleiner werdendem $n$ ab. Bei newtonischen Schmelzen ist das Verhältnis von kürzester zu mittlerer Verweilzeit stets 3/4, d.h. eine Beeinflussung ist für einen Füllgrad von $f = 1$ weder durch Änderung der Maschinen- noch der Verfahrensparameter möglich. | ||
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| **Fall 1:** $f < 1$ | **Fall 1:** $f < 1$ | ||
| - | $$\Theta_1 = \frac{1}{2}$$ | + | $$\Theta_1 = \frac{1}{2}\tag{2}$$ |
| **Fall 2:** $f = 1$ | **Fall 2:** $f = 1$ | ||
| - | $$\Theta_1 = 1$$ | + | $$\Theta_1 = 1\tag{3}$$ |
| * **2. Schmelzeförderzone** | * **2. Schmelzeförderzone** | ||
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| **Fall 1:** $f < 1$ | **Fall 1:** $f < 1$ | ||
| - | $$\Theta_1 = \frac{1}{2}$$ | + | $$\Theta_1 = \frac{1}{2}\tag{4}$$ |
| **Fall 2:** $f = 1$ | **Fall 2:** $f = 1$ | ||
| - | $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}$$ | + | $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{5}$$ |
| __**II. Rückförderelemente (linksgängige Schneckenelemente bzw. linksgängige Knetblöcke oder förderneutrale Knetblöcke): | __**II. Rückförderelemente (linksgängige Schneckenelemente bzw. linksgängige Knetblöcke oder förderneutrale Knetblöcke): | ||
| - | $$\Theta_1 = 1$$ | + | $$\Theta_1 = 1\tag{6}$$ |
| Die gesamte kürzeste Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie. | Die gesamte kürzeste Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie. | ||
| - | $$t_1 = \sum_i (t_1)$$ | + | $$t_1 = \sum_i (t_1)\tag{7}$$ |
| ===== Mittlere Verweilzeit ===== | ===== Mittlere Verweilzeit ===== | ||
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| Die mittlere Verweilzeit ist definiert als der Quotient: | Die mittlere Verweilzeit ist definiert als der Quotient: | ||
| - | $$\bar{t} = \frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}$$ | + | $$\bar{t} = \frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\tag{8}$$ |
| Hierbei ist $A_{fr}L_{Be}\bar{f}$ das gefüllte Volumen eines Schneckenelementpaares und $\dot{V}$ der durch eine Dosierung aufgezwungene Volumenstrom. Bei konstanter Dichte gilt auch | Hierbei ist $A_{fr}L_{Be}\bar{f}$ das gefüllte Volumen eines Schneckenelementpaares und $\dot{V}$ der durch eine Dosierung aufgezwungene Volumenstrom. Bei konstanter Dichte gilt auch | ||
| - | $$\bar{t} = \frac{m}{\dot{m}}$$ | + | $$\bar{t} = \frac{m}{\dot{m}}\tag{9}$$ |
| Die gesamte mittlere Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie: | Die gesamte mittlere Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie: | ||
| - | $$\bar{t} = \sum_i \left(\frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\right)_i$$ | + | $$\bar{t} = \sum_i \left(\frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\right)_i\tag{10}$$ |
| ===== Verweilzeitanalyse ===== | ===== Verweilzeitanalyse ===== | ||
| - | Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 2, 14, 15]. | + | Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [[grundlagenhandbuch: |
| - | $$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}$$ | + | $$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}\tag{11}$$ |
| Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen. | Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen. | ||
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| Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$, | Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$, | ||
| - | $$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta$$ | + | $$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta\tag{12}$$ |
| welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1. | welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1. | ||
| - | Die Bestimmung der oben angesprochenen Parameter $c_1$ bis $c_4$ für Plastifizierextruder muss unter Einhaltung der folgenden Randbedingungen erfolgen [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 5, 15]: | + | Die Bestimmung der oben angesprochenen Parameter $c_1$ bis $c_4$ für Plastifizierextruder muss unter Einhaltung der folgenden Randbedingungen erfolgen [[grundlagenhandbuch: |
| * die kürzeste dimensionslose Verweilzeit $\Theta_1$ kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, | * die kürzeste dimensionslose Verweilzeit $\Theta_1$ kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, | ||
| * es gilt das Minimalwertkriterium $0 < \Theta_1 < 1$, | * es gilt das Minimalwertkriterium $0 < \Theta_1 < 1$, | ||
| * die mittlere dimensionslose Verweilzeit $\bar{\Theta}$ nimmt den Wert 1 an, | * die mittlere dimensionslose Verweilzeit $\bar{\Theta}$ nimmt den Wert 1 an, | ||
| - | * charakteristische Werte der berechneten Verteilungskurven müssen mit den experimentellen Werten übereinstimmen; | + | * charakteristische Werte der berechneten Verteilungskurven müssen mit den experimentellen Werten übereinstimmen; |
| * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen | * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen | ||
| - | $$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}$$ | + | $$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}\tag{13}$$ |
| berücksichtigen, | berücksichtigen, | ||
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| * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | ||
| - | $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta$$ | + | $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta\tag{14}$$ |
| muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen, | muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen, | ||
| - | * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss aus physikalischen Gründen wegen der Feststoffanteile immer kleiner sein als die eines Schmelzeextruders. Der Schmelzeextruder wurde in [5] behandelt. | + | * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss aus physikalischen Gründen wegen der Feststoffanteile immer kleiner sein als die eines Schmelzeextruders. Der Schmelzeextruder wurde in [[grundlagenhandbuch: |
| ===== Literatur ===== | ===== Literatur ===== | ||
| - | [1] Middleman, S.: Bigg, D.: Mixing in a Screw Extruder. A Model for Residence Time Distribution, | + | [Eng87] Engelhardt, M., et al.: Unveröffentlichte Studien- und Diplomarbeiten an der Universität Paderborn, KTP 1987-1991 |
| - | [2] Potente, H.: Lappe, H.: Analysis of the residence time distribution in conventioned plasticising extruders, Plastics and Rubber Processing and Application, 6(1986)2, 135-140 | + | [HKP89] Hensen, F.; Knappe, W.; Potente, H.: Handbuch der Kunststoff-Extrusionstechnik, Band 1, Hanser Publishers, München, Wien, 1989 |
| - | [3] Lappe, H.: Untersuchung | + | [Kes91] Kessler, H.: Modell |
| - | [4] Potente, H.: An Analysis of Residence Time Distribution in Plasticating Extruders, Advances in Polymer Technology, 4(1984)2, 147-154 | + | [Koc87] Koch, M.: Berechnung und Auslegung von Nutbuchsenextrudern, Dissertation Universität Paderborn, 1987 |
| - | [5] Potente, H.; Lappe, H.: Verweilzeit- und Längsmischgradgleichungen für Schmelzeextruder, Kunststoffe, | + | [Lap85] Lappe, H.: Untersuchung zum Verweilzeitverhalten von Schmelze- und konventionellen Plastifizierextrudern, 1985 |
| - | [6] Hensen, F.; Knappe, W.; Potente, H.: Handbuch der Kunststoff-Extrusionstechnik, Band 1, Hanser Publishers, München, Wien, 1989 | + | [MB74] Middleman, S.: Bigg, D.: Mixing in a Screw Extruder. A Model for Residence Time Distribution, Industrial Engineering Chemical Found, 13(1974)1 |
| - | [7] Potente, H.; Fornefeld, A.; Koch, M.; Schultheis, S.M.: Verfahrenstechnische Auslegung | + | [PA90] Potente, H.; Ansahl, J.: Optimierung |
| - | [8] Koch, M.: Berechnung und Auslegung | + | [PA90] Potente, H.; Ansahl, J.: Verweilzeitcharakteristik |
| - | [9] Schultheis, S.M.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von gegenläufigen Doppelschneckenextrudern, Dissertation Universität Paderborn, 1987 | + | [PA90] Potente, H.; Ansahl, J.: Residence Time Characteristics of Tightly Intermeshing Co-Rotating Twin Screw Extruders, Kunststoffe German Plastics, 80(1990)8, 29-32 |
| - | [10] Potente, H.: Rechnergestützte Extruderauslegung, Kunststofftechnisches Seminar, Paderborn, | + | [PFK+86] Potente, H.; Fornefeld, A.; Koch, M.; Schultheis, S.M.: Verfahrenstechnische Auslegung von Plastifizier- und Schmelzeaggregaten - Kunststofftechnisches Seminar, |
| - | [11] Schulte, H.: Grundlagen zur verfahrenstechnischen Auslegung von Spritzgießplastifiziereinheiten, Dissertation, Universität Paderborn, 1990 | + | [PL85] Potente, H.; Lappe, H.: Verweilzeit- und Längsmischgradgleichungen für Schmelzeextruder, Kunststoffe, 75(1985)11, 855-858 |
| - | [12] Kessler, H.: Modell zum stationären und instationären Mischen | + | [PL86] Potente, H.: Lappe, H.: Analysis of the residence time distribution |
| - | [13] Potente, H.; Ansahl, J.: Optimierung von Schneckenpaaren für die Aufbereitung und Verarbeitung von vorwiegend Polyolefinen auf gleichsinnig drehenden Zweischneckenmaschinen, DFG Forschungsvorhaben Po 171/ 16-1, 1990 | + | [Pot84] Potente, H.: An Analysis of Residence Time Distribution in Plasticating Extruders, Advances in Polymer Technology, 4(1984)2, 147-154 |
| - | [14] Potente, H.; Ansahl, J.: Verweilzeitcharakteristik von dichtkämmenden Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern, Kunststoffe, 80(1990)8, 926 - 932 | + | [Pot91] Potente, H.: Rechnergestützte Extruderauslegung, Kunststofftechnisches Seminar, Paderborn, 1991 |
| - | + | ||
| - | [15] Potente, H.; Ansahl, J.: Residence Time Characteristics of Tightly Intermeshing Co-Rotating Twin Screw Extruders, Kunststoffe German Plastics, 80(1990)8, 29-32 | + | |
| - | + | ||
| - | [16] Engelhardt, M., et al.: Unveröffentlichte Studien- und Diplomarbeiten an der Universität | + | |
| + | [Sch87] Schultheis, S.M.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von gegenläufigen Doppelschneckenextrudern, | ||
| + | [Sch90] Schulte, H.: Grundlagen zur verfahrenstechnischen Auslegung von Spritzgießplastifiziereinheiten, | ||