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grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/04/09 16:07] – neelestgrundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Kürzeste Verweilzeit] paal
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 ===== Kürzeste Verweilzeit ===== ===== Kürzeste Verweilzeit =====
  
-Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, Flanken- und Axialströmung) in einem rechteckigen Schneckenkanal wird deutlich, dass für alle Geschwindigkeitsprofile ein Ort existiert, bei dem keine Zirkulationsströmung vorhanden ist. Für newtonische Fluide ist dieses stets an der Stelle $y/h = 2/3$ der Fall. Schmelzeteilchen, die sich auf dieser Strömungsbahn bewegen, durchlaufen den Kanal in kürzester Verweilzeit. Auf der Grundlage dieser Betrachtungen und der Ergebnisse von D. Bigg und St. Middleman [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[MB74]]] wird von H. Potente und H. Lappe [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PL86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Lap85]]] vorgeschlagen, die kürzeste dimensionslose Verweilzeit für die Bedingung $\Theta_V > 0.5$ durch die einfache Approximationsfunktion:+Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, Flanken- und Axialströmung) in einem rechteckigen Schneckenkanal wird deutlich, dass für alle Geschwindigkeitsprofile ein Ort existiert, bei dem keine Zirkulationsströmung vorhanden ist. Für newtonische Fluide ist dies stets an der Stelle $y/h = 2/3$ der Fall. Schmelzeteilchen, die sich auf dieser Strömungsbahn bewegen, durchlaufen den Kanal in kürzester Verweilzeit. Auf der Grundlage dieser Betrachtungen und der Ergebnisse von D. Bigg und St. Middleman [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[MB74]]] wird von H. Potente und H. Lappe [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PL86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Lap85]]] vorgeschlagen, die kürzeste dimensionslose Verweilzeit für die Bedingung $\Theta_V > 0.5$ durch die einfache Approximationsfunktion:
  
-$$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}$$+$$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{1}$$
  
 zu berechnen, wobei $\Theta_1(=t_1/\bar{t})$ die kürzeste dimensionslose Verweilzeit, $\pi_\dot V$ der dimensionslose Durchsatz und $n$ der Exponent des Potenzfließgesetzes ist. Den Einfluss des Fließgesetzexponenten $n$ auf die kürzeste dimensionslose Verweilzeit $\Theta_1$ verdeutlicht das Bild: zu berechnen, wobei $\Theta_1(=t_1/\bar{t})$ die kürzeste dimensionslose Verweilzeit, $\pi_\dot V$ der dimensionslose Durchsatz und $n$ der Exponent des Potenzfließgesetzes ist. Den Einfluss des Fließgesetzexponenten $n$ auf die kürzeste dimensionslose Verweilzeit $\Theta_1$ verdeutlicht das Bild:
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 **Fall 1:** $f < 1$ **Fall 1:** $f < 1$
  
-$$\Theta_1 = \frac{1}{2}$$+$$\Theta_1 = \frac{1}{2}\tag{2}$$
  
 **Fall 2:** $f = 1$ **Fall 2:** $f = 1$
  
-$$\Theta_1 = 1$$+$$\Theta_1 = 1\tag{3}$$
  
   * **2. Schmelzeförderzone**   * **2. Schmelzeförderzone**
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 **Fall 1:** $f < 1$ **Fall 1:** $f < 1$
  
-$$\Theta_1 = \frac{1}{2}$$+$$\Theta_1 = \frac{1}{2}\tag{4}$$
  
 **Fall 2:** $f = 1$ **Fall 2:** $f = 1$
  
-$$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}$$+$$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{5}$$
  
 __**II. Rückförderelemente (linksgängige Schneckenelemente bzw. linksgängige Knetblöcke oder förderneutrale Knetblöcke):**__  __**II. Rückförderelemente (linksgängige Schneckenelemente bzw. linksgängige Knetblöcke oder förderneutrale Knetblöcke):**__ 
  
-$$\Theta_1 = 1$$+$$\Theta_1 = 1\tag{6}$$
  
 Die gesamte kürzeste Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie. Die gesamte kürzeste Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie.
  
-$$t_1 = \sum_i (t_1)$$+$$t_1 = \sum_i (t_1)\tag{7}$$
  
 ===== Mittlere Verweilzeit ===== ===== Mittlere Verweilzeit =====
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 Die mittlere Verweilzeit ist definiert als der Quotient: Die mittlere Verweilzeit ist definiert als der Quotient:
  
-$$\bar{t} = \frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}$$+$$\bar{t} = \frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\tag{8}$$
  
 Hierbei ist $A_{fr}L_{Be}\bar{f}$ das gefüllte Volumen eines Schneckenelementpaares und $\dot{V}$ der durch eine Dosierung aufgezwungene Volumenstrom. Bei konstanter Dichte gilt auch Hierbei ist $A_{fr}L_{Be}\bar{f}$ das gefüllte Volumen eines Schneckenelementpaares und $\dot{V}$ der durch eine Dosierung aufgezwungene Volumenstrom. Bei konstanter Dichte gilt auch
  
-$$\bar{t} = \frac{m}{\dot{m}}$$+$$\bar{t} = \frac{m}{\dot{m}}\tag{9}$$
  
 Die gesamte mittlere Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie: Die gesamte mittlere Verweilzeit ergibt sich aus der Summation der Verweilzeiten einzelner Bereiche konstanter Geometrie:
  
-$$\bar{t} = \sum_i \left(\frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\right)_i$$+$$\bar{t} = \sum_i \left(\frac{A_{fr}L_{Be}\bar{f}}{\dot{V}}\right)_i\tag{10}$$
  
 ===== Verweilzeitanalyse ===== ===== Verweilzeitanalyse =====
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 Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PL86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[HKP89]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PFK+86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Koc87]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Sch87]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Pot91]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Sch90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Kes91]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]]. Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PL86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[HKP89]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PFK+86]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Koc87]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Sch87]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Pot91]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Sch90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[Kes91]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]], [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PA90]]].
  
-$$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}$$+$$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}\tag{11}$$
  
 Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen. Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen.
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 Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$, Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$,
  
-$$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta$$+$$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta\tag{12}$$
  
 welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1. welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1.
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   * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen   * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen
  
-$$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}$$+$$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}\tag{13}$$
  
 berücksichtigen, berücksichtigen,
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   * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
  
-$$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta$$+$$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta\tag{14}$$
  
 muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen, muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen,
  
-  * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss aus physikalischen Gründen wegen der Feststoffanteile immer kleiner sein als die eines Schmelzeextruders. Der Schmelzeextruder wurde in [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur|[5]]] behandelt.+  * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss aus physikalischen Gründen wegen der Feststoffanteile immer kleiner sein als die eines Schmelzeextruders. Der Schmelzeextruder wurde in [[grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung#literatur |[PL85]]] behandelt.
  
 ===== Literatur ===== ===== Literatur =====