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| grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/05/21 21:51] – [Mittlere Verweilzeit] neelest | grundlagenhandbuch:verweilzeitberechnung [2026/08/14 15:12] (aktuell) – [Kürzeste Verweilzeit] paal | ||
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| ===== Kürzeste Verweilzeit ===== | ===== Kürzeste Verweilzeit ===== | ||
| - | Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, | + | Die kürzeste Verweilzeit $t_1$ ist definiert als Zeitspanne zwischen dem Eintreten des Materials in den Schneckenkanal und dem ersten Austreten des zugegebenen Materials oder eines Teils hiervon an den Schneckenspitzen. Bei der Betrachtung der verschiedenen Strömungen (Transversal-, |
| $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{1}$$ | $$\Theta_1 = \frac{3}{4}\pi_\dot V^{0.23(1-n)}\tag{1}$$ | ||
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| Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [[grundlagenhandbuch: | Die Verweilzeitverteilungsfunktion für alle Schneckenmaschinenkonzepte kann durch eine doppelte Weibullverteilung beschrieben werden [[grundlagenhandbuch: | ||
| - | $$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}$$ | + | $$F(\Theta) = \left\{1 - e^{-c_1\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_2}}\right\} \cdot \left\{1 - e^{-c_3\left(\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1}\right)^{c_4}}\right\}\tag{11}$$ |
| Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen. | Diese Funktion hängt von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ und den Parametern $c_1$ bis $c_4$ ab, die für Schmelze- und Plastifizierextruder unterschiedliche Werte annehmen. | ||
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| Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$, | Die doppelte Weibullverteilung ist damit eine Funktion der dimensionslosen Verweilzeit $\Theta = t / \bar{t}$ mit der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ als Parameter. Die Differentiation der doppelten Weibullverteilung $F(\Theta)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$. Umgekehrt ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(\Theta)$ in den Grenzen von $\Theta_1$ bis $\Theta$ die doppelte Weibullverteilung $F(\Theta)$, | ||
| - | $$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta$$ | + | $$F(\Theta) = \int_{\Theta_1}^{\Theta} f(\Theta) d\Theta\tag{12}$$ |
| welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1. | welche die Summe der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt $\Theta$ aus dem Schneckenkanal austretenden Tracermenge angibt. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1. | ||
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| * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen | * die Verteilungsfunktion muss die reine Blockströmung mit den Randbedingungen | ||
| - | $$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}$$ | + | $$F(\Theta) = \begin{cases} 0, & \text{für: } \Theta < 1 \\ 1, & \text{für: } \Theta \geq 1 \end{cases}\tag{13}$$ |
| berücksichtigen, | berücksichtigen, | ||
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| * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | * die Varianz $\sigma^2$ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | ||
| - | $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta$$ | + | $$\sigma^2 = \int_{\Theta_1}^{\infty} (\Theta - 1)^2 f(\Theta)d\Theta\tag{14}$$ |
| muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen, | muss in Abhängigkeit von der kürzesten dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1$ monoton fallen und für $\Theta_1 = 1$ den Wert 0 bzw. für $\Theta_1 = 0$ den Wert 1 annehmen, | ||