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--- grundlagenhandbuch:zylinderwaermestroeme [2026/02/07 14:32] – deppe2
+++ grundlagenhandbuch:zylinderwaermestroeme [2026/05/28 00:08] (aktuell) – deppe2
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 Die Bilanz der Wärmeströme lautet in Höhenrichtung
-$$\dot{Q}_{Zyl,y} - \dot{Q}_{\xi} = \dot{Q}_{Kühl,y}$$
+$$\dot{Q}_{Zyl,y} - \dot{Q}_{\xi} = \dot{Q}_{Kühl,y} \tag{1}$$
 Nach Einführung der dimensionslosen Höhenkoordinate
-$$\xi = \frac{y'}{s_y}$$
+$$\xi = \frac{y'}{s_y} \tag{2}$$
 mit $y'$ als Laufkoordinate ergibt sich aus obiger Gleichung
-$$\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} \cdot \frac{dT}{d\xi} - \left(\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} - 1\right) \cdot \xi \cdot \frac{dT}{d\xi} = \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}}$$
+$$\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} \cdot \frac{dT}{d\xi} - \left(\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} - 1\right) \cdot \xi \cdot \frac{dT}{d\xi} = \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \tag{3}$$
 wobei $A_{Quad,y}$ die Fläche des die Achtbohrung ersetzenden Quaders in der xz-Ebene
-$$A_{Quad,y} = y \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n}$$
+$$A_{Quad,y} = y \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n} \tag{4}$$
 und $A_{Kühl,y}$
-$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y}$$
+$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y} \tag{5}$$
 entsprechend die untere Hälfte der Kühlkanaloberfläche in der xz-Ebene sind.
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 An der Kühlkanaloberfläche liege die Temperatur $T_{Kühl}$, an der Zylinderoberfläche in der xz-Ebene die Temperatur $T_{Z,y}$ vor. Nach Integration und Durchführung weiterer Umformungen resultiert
-$$T_{Z,y} = T_{Kühl} - \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}}$$
+$$T_{Z,y} = T_{Kühl} - \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}} \tag{6}$$
 Analog kann die Temperatur $T_{Z,x}$ an der Zylinderoberfläche in der zy-Ebene ermittelt werden.
-$$T_{Z,x} = T_{Kühl} - \frac{s_x^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,x}}{A_{Quad,x}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,x}}{A_{Kühl,x}}}$$
+$$T_{Z,x} = T_{Kühl} - \frac{s_x^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,x}}{A_{Quad,x}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,x}}{A_{Kühl,x}}} \tag{7}$$
 Mit den Flächen
-$$A_{Quad,x} = x \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n}$$
+$$A_{Quad,x} = x \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n} \tag{8}$$
 und
-$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y}$$
+$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y} \tag{9}$$
 Da für die weiteren Berechnungen eine uneinheitlich angenommene Temperatur an der Zylinderbohrungsfläche nicht praktikabel ist, wird die mittlere Zylindertemperatur $T_Z$ wie folgt bestimmt:
-$$T_Z = \frac{A_{Quad,x}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,x} + \frac{A_{Quad,y}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,y}$$
+$$T_Z = \frac{A_{Quad,x}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,x} + \frac{A_{Quad,y}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,y} \tag{10}$$
-Mit der Abnahme des Wärmeübergangskoeffizienten ist eine Abnahme der Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche verbunden. Die Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche kann nach Reiners [Rein87] aus dem Produkt von Wärmeübergangskoeffizienten des Kühlmediums $\alpha_{Med}$ und der Temperaturdifferenz zwischen Kühlmedium und Kühlkanaloberfläche/Kühlmedium-Grenzfläche $(T_{Kühl} - T_{Med})$ bestimmt werden.
+Mit der Abnahme des Wärmeübergangskoeffizienten ist eine Abnahme der Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche verbunden. Die Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche kann nach Reiners [[grundlagenhandbuch:zylinderwaermestroeme#literatur |[Rei87]]] aus dem Produkt von Wärmeübergangskoeffizienten des Kühlmediums $\alpha_{Med}$ und der Temperaturdifferenz zwischen Kühlmedium und Kühlkanaloberfläche/Kühlmedium-Grenzfläche $(T_{Kühl} - T_{Med})$ bestimmt werden.
-$$\dot{q}_{Kühl} = \alpha_{Med}(T_{Kühl} - T_{Med})$$
+$$\dot{q}_{Kühl} = \alpha_{Med}(T_{Kühl} - T_{Med}) \tag{11}$$
 Durch Einsetzen von $T_{Kühl}$ in die letztgenannte Gleichung ergibt sich:
-$$\dot{q}_{Kühl} = \frac{\alpha_{Med}(T_{Z,y} - T_{Med})}{1 - \frac{B i_y}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}} \cdot \ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)}$$
+$$\dot{q}_{Kühl} = \frac{\alpha_{Med}(T_{Z,y} - T_{Med})}{1 - \frac{B i_y}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}} \cdot \ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)} \tag{12}$$
 Eine andere weit verbreitete Anordnung der Kühlkanäle ist in folgender Abbildung dargestellt. In diesem Fall sind die Kühlkanalbohrungen parallel zur Extrusionsrichtung angeordnet.
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 Die Achtbohrung wird in diesem Fall nicht durch einen oberflächengleichen Quader, sondern durch ein oberflächengleiches Rohr ersetzt.
-$$\frac{O_{Acht}}{O_{Rohr}} = 1$$
+$$\frac{O_{Acht}}{O_{Rohr}} = 1 \tag{13}$$
 Daraus ergibt sich der Durchmesser des Rohrs $r_i$:
-$$r_i = -\frac{L_{Zyl}}{2} + \sqrt{\left(\frac{L_{Zyl}}{2}\right)^2 + U}$$
+$$r_i = -\frac{L_{Zyl}}{2} + \sqrt{\left(\frac{L_{Zyl}}{2}\right)^2 + U} \tag{14}$$
 wobei
-$$U = \frac{\frac{1}{2}(2\pi - \Omega) \cdot D_z^2 + a \cdot D_z \cdot \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right) + (2\pi - \Omega) \cdot D_z \cdot L_{Zyl}}{2\pi}$$
+$$U = \frac{\frac{1}{2}(2\pi - \Omega) \cdot D_z^2 + a \cdot D_z \cdot \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right) + (2\pi - \Omega) \cdot D_z \cdot L_{Zyl}}{2\pi} \tag{15}$$
 Die Ersatzanordnung wird zerlegt in eine Anzahl Teilelemente, die der Kühlkanalbohrungsanzahl entspricht.
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 Der Abstand errechnet sich dann aus
-$$s_r = r_a - r_i$$
+$$s_r = r_a - r_i \tag{16}$$
 Nach Einführung der dimensionslosen Radialkoordinate
-$$\zeta = \frac{r'}{s_r}$$
+$$\zeta = \frac{r'}{s_r} \tag{17}$$
 mit $r'$ als Laufkoordinate lautet die Wärmestrombilanz in Radialrichtung
-$$\dot{Q}_{Zyl,r} - \dot{Q}_{\zeta} = \dot{Q}_{Kühl,r}$$
+$$\dot{Q}_{Zyl,r} - \dot{Q}_{\zeta} = \dot{Q}_{Kühl,r} \tag{18}$$
 Nach Einsetzen und Umformen ergibt sich daraus folgende beschreibende Gleichung
-$$\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} \cdot \frac{dT}{d\zeta} - \left(\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} - 1\right) \cdot \zeta \cdot \frac{dT}{d\zeta} = \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}}$$
+$$\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} \cdot \frac{dT}{d\zeta} - \left(\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} - 1\right) \cdot \zeta \cdot \frac{dT}{d\zeta} = \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}} \tag{19}$$
 mit der Fläche des Teilstück des Ersatzrohres
-$$A_{Rohr} = \frac{2\pi \cdot r_i \cdot L_{Zyl}}{i_{Kühl}}$$
+$$A_{Rohr} = \frac{2\pi \cdot r_i \cdot L_{Zyl}}{i_{Kühl}} \tag{20}$$
 und der Kühlkanalfläche
-$$A_{Kühl,r} = \frac{\pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Zyl}}{2}$$
+$$A_{Kühl,r} = \frac{\pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Zyl}}{2} \tag{21}$$
 Dabei wird davon ausgegangen, dass die Länge des Kühlkanals in z-Richtung $L_{Kühl,z}$ der Länge des Zylinderelementes $L_{Zyl}$ entspricht.
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 Somit ergibt sich schließlich die Temperatur $T_r$ an der Zylinderoberfläche
-$$T_{Zyl,r} = T_{Kühl} - \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}} \left(\frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,r}}{A_{Rohr}}\right)}{1 - \frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}}}\right)$$
+$$T_{Zyl,r} = T_{Kühl} - \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}} \left(\frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,r}}{A_{Rohr}}\right)}{1 - \frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}}}\right) \tag{22}$$
 ===== Literatur =====
-[Thüm08]
+[Rei87] U. Reiners: „Wärmeübertragung durch Spritzwasserkühlung heißer Oberflächen im Bereich stabiler Filmverdampfung", Dissertation, TU Clausthal, 1987
-A. Thümen: „Untersuchung und Beschreibung des dispersen Aufschmelzens in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern", Dissertation, Universität Paderborn, 2008
+[Thü08] A. Thümen: „Untersuchung und Beschreibung des dispersen Aufschmelzens in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern", Dissertation, Universität Paderborn, 2008
-[Rein87]
-U. Reiners: „Wärmeübertragung durch Spritzwasserkühlung heißer Oberflächen im Bereich stabiler Filmverdampfung", Dissertation, TU Clausthal, 1987