Das in [Thüm08] vorgestellte modifizierte Aufschmelzmodell baut im Wesentlichen auf die theoretischen Ausführungen des dispersen Aufschmelzens nach Melisch [Meli98, Pote96] auf. Hier wird Bezug genommen auf die vorgestellten Vorüberlegungen aus dem Kapitel Feststofftemperatur am Ort des Aufschmelzbeginns.

Im Folgenden werden die dargestellten Annahmen und Randbedingungen für eine detailliertere Lösungsfindung herangezogen.

Der Einfluss der endlichen Kanalausdehnung ist vor allem in Kanalhöhenrichtung ausgeprägt. Daher wird eine Korrektur in Abhängigkeit vom Partikeldurchmesser-Kanalhöhenverhältnis (dP/h) vorgenommen. Ausgangspunkt für diese Korrektur sind unter anderem CFD-Simulationen, die das Temperaturprofil eines Partikels bei unterschiedlichen dP/h-Verhältnissen aufzeigen. Es ist erkennbar, dass sich allenfalls bei Partikeln, die ein kleines dP/h-Verhältnis aufweisen, ein ungestörtes Temperaturprofil ausbildet.

Der Wärmestrom, der bei reiner Wärmeleitung an der Grenzfläche Partikel/Schmelze vorliegt, wird mit einem Wärmeleitungskorrekturfaktor $f_{lh}$ korrigiert.

$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}$$

Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.

Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [Pape06].

Der Faktor $f_{lh}$ schließt eine Betrachtung der Ausdehnung in Kanalbreitenrichtung nicht mit ein. In diesem Fall wird ebenfalls auf die Numerik zurückgegriffen, da eine analytische Herleitung nicht möglich scheint. Die Simulationen zeigen, dass der Einfluss der Kanalbreite nur bei kleinen Gangsteigungs-Schneckendurchmesser-Verhältnissen auftritt, welche in der Realität kaum Anwendung finden. Eine Korrektur für den Wärmestrom bezogen auf die endliche Kanalbreite wird deshalb vernachlässigt.

Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung.

$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}$$

Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist.

Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch:

$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}$$

mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$

und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt:

$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}$$

Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden.

Tabelle: Regressionskonstanten

Der Aufschmelzprozess kann nicht losgelöst vom Gesamtprozess betrachtet werden. Wechselwirkungen zwischen einzelnen Partikeln als auch die Partikeldimension haben einen Einfluss auf die Viskosität des Schmelze-Feststoffgemisches.

Nach Potente und Melisch [Meli98, Pote96] werden die Wechselwirkungen über die Verwendung einer vom Feststoffanteil abhängigen wirksamen Kanalhöhe und –breite berücksichtigt. Wie in der unteren Abbildung zu erkennen, wird das Schmelze-Feststoffgemisch getrennt voneinander betrachtet, so dass die Strömung durch die sich über der Feststoffschicht befindlichen Schmelze modelliert werden kann.

Abbildung: Berücksichtigung des Feststoffpartikelanteils im ursprünglichen dispersen Aufschmelzmodell [Thüm08]

Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.

$$K_{sm} = K \cdot f_\phi$$

$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}$$

Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:

$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}$$

Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:

$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2$$

Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [Pap06] wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.

$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}$$

$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}$$

Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.

Die physikalisch-mathematische Beschreibung des modifizierten dispersen Aufschmelzverhaltens stützt sich im Wesentlichen auf die Annahmen des vorausgegangenen Aufschmelzmodells für dispers verteilte Füllstoffe. Hierbei wird auf folgende, zusätzliche Aspekte Bezug genommen:

• der Einfluss der Partikeldimension auf die Strömung durch $f_{dh}$,
• der Einfluss der Partikelwechselwirkungen auf die Strömung durch $f_\Phi$,
• der Einfluss der endlichen Ausdehnung des Kanals in Höhenrichtung auf den Wärmestrom in Radialrichtung durch $f_{lh}$ und
• den Einfluss der Konvektion auf den Wärmestrom in Radialrichtung durch $f_k$.

Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:

$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)$$

Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: Berechnung der Feststoffbettabnahme):

$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}$$

Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:

$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}$$

Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.