Das zudosierte Material wird von den Schneckenelementen unterhalb der Trichteröffnung eingezogen und in den Schnecken als Feststoff in Richtung der Schneckenspitzen transportiert.

Durch den Kontakt mit der beheizten Zylinderwand beginnen die zylinderwandnahen Granulatschichten anzusintern und anzuschmelzen, bis sich schließlich ein weitestgehend zusammenhängender Schmelzefilm über dem Feststoffrückstau im Eingriffsbereich bildet. Unterstützt wird dieser Vorgang durch die in der Praxis üblicherweise durchgeführte Reduzierung der Gangsteigung der Schneckenelemente vor der geometrischen Plastifizierzone, wodurch eine zusätzliche Kompression des Feststoffs und somit ein besserer Kontakt mit der beheizten Zylinderwand erreicht wird. Gleichzeitig werden die unterhalb dieser Schicht liegenden Granulatpartikel durch Konvektion erwärmt.

Durch die Bildung des Schmelzefilms ändern sich die Reibverhältnisse im Eingriffsbereich und im Feststoffrückstau hinter dem Eingriffsbereich. Hierdurch bricht die Zwangsförderung von Feststoff im Einzugsbereich zusammen, und Material wird durch den Zwickelbereich gefördert. Aufgrund des dreidimensionalen Geschwindigkeitsprofils im Eingriffsbereich kommt es zu einer intensiven Durchmischung des Materials. Ist der Anteil an bereits aufgeschmolzenem Material ausreichend, so bildet sich eine Dispersion aus den in fester Phase vorliegenden Granulatkörnern und der in zähflüssiger Phase vorliegenden Polymerschmelze.

Ist der Schmelzeanteil für eine vollständige Dispersionsbildung noch nicht ausreichend, so findet eine Agglomeration von Granulatkörnern statt. Diese Agglomerate werden dann durch Dissipation der bereits vorliegenden Schmelze und durch Wärmeleitung von den umgebenden Wänden sowie Konvektion während ihres Transports weiter aufgeschmolzen und durch das Passieren weiterer Zwickelbereiche schließlich in den bereits beschriebenen Zustand einer Dispersion überführt.

Das weitere Aufschmelzen der noch unaufgeschmolzenen Polymerpartikel kann nach Erreichen dieses Zustands nur durch Wärmeleitung von der heißen Schmelze zu den Granulatkörnern erfolgen, da die Granulatkörner keinen direkten Kontakt mehr mit der beheizten Zylinderwand bzw. mit den heißen Schneckenoberflächen besitzen.

Bedingung für das beschriebene Aufschmelzverhalten ist eine ausreichend lange Feststoffförderzone. In der Praxis eingesetzte Schneckenanordnungen weisen aber nach einer kurzen Förderzone Kombinationen von Knetelementen mit anschließenden Abstauelementen auf, woraus eine partielle Vollfüllung im Plastifizierbereich resultiert.

Reicht die vorhandene Feststoffförderlänge zu einer Schmelzefilmbildung über dem Feststoffrückstau nicht aus, so bleibt die Zwangsförderung des Feststoffs bis zum Ort der ersten Vollfüllung mit Schmelze bestehen. Erst wenn der Feststoff, der eine wesentlich größere Geschwindigkeitskomponente in Axialrichtung besitzt als die Schmelze, den schmelzegefüllten Bereich erreicht, und Schmelze in die Hohlräume der Granulatansammlung eindringen kann, bricht die Zwangsförderung zusammen. Vor dem Ort der ersten Vollfüllung mit Schmelze entsteht hierdurch bei genügend großem Massedurchsatz ein mit Granulat vollgefüllter Schneckenbereich, in dem das Granulat um die Schnecken rotiert.

Abbildung: Aufschmelzverhalten in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern

Die Geschwindigkeitskomponente in Axialrichtung ist in diesem Bereich wesentlich geringer als im Bereich der Feststoffzwangsförderung. Zwischen der in dem vollgefüllten Feststoffbereich auftretenden Reibkraft und der aus der Verdrängungsströmung resultierenden Druckkraft stellt sich ein Gleichgewicht ein.

Der für die Benetzung der Partikel erforderliche Druck kann mit

$$p = \frac{2K(T_m)d_p}{a_f - d_p}\left(\frac{2\bar{v}(1 + 2n)}{n(a_f - d_p)}\right)^n\tag{1}$$

berechnet werden, wenn von quadratischen Spaltflächen ausgegangen wird. $\bar{v}$ ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Schmelze, die man durch Auswertung der Kontinuitätsgleichung erhält.

$$\bar{v} = \frac{\dot{m}}{A_{Kanal}}\left(\frac{1}{\rho_s} - \frac{1}{F_0\rho_m + (1 - F_0)\rho_m}\right)\tag{2}$$

Mit den genannten Gleichungen lässt sich die Länge des Feststoffrückstaus berechnen.

In dem mit Feststoff gefüllten Bereich kann es durch die beheizte Zylinderwand sowie die heißen Schnecken ebenfalls zu einer Schmelzefilmbildung kommen. Ein merkliches Aufschmelzen setzt jedoch erst ein, wenn die Feststoffpartikel den schmelzegefüllten Bereich erreichen und sich wieder der Zustand der Dispersion ausbildet. Das weitere Aufschmelzen erfolgt dann wiederum durch Wärmeleitung von der heißen Schmelze zu den Feststoffpartikeln, wobei die Partikel in ihrem Durchmesser reduziert werden.

Die Verteilung der unaufgeschmolzenen Feststoffpartikel in der Polymerschmelze nach Erreichen dieses Zustandes zeigt ebenfalls obenstehende Abbildung, in der Darstellung dünngeschnittener Proben. Die Schnittrichtung verläuft parallel zur Schneckenachse.

Am Ort der ersten Vollfüllung mit Schmelze beträgt der Feststoffanteil etwas mehr als 50%. In diesem Bereich sind noch geringfügige Lufteinschlüsse erkennbar, was darauf hindeutet, dass an diesem Ort noch nicht alle Hohlräume vollständig mit Schmelze ausgefüllt sind. Im weiteren Verlauf des Aufschmelzens verschwinden diese Lufteinschlüsse. Gleichzeitig werden die Feststoffpartikel in ihrer Größe reduziert, bis schließlich keine Feststoffpartikel mehr vorhanden sind. Eine bevorzugte Verteilung der Feststoffpartikel in der Polymerschmelze während des Aufschmelzvorgangs ist nicht zu erkennen.

Für eine globale Beurteilung des Extrusionsprozesses ist die Kenntnis des Aufschmelzverlaufs von großer Bedeutung. Zur Berechnung der Aufschmelzlänge und des Feststoffbettprofils wird von einem modifizierten TADMOR-Modell ausgegangen, das die ortsabhängige Schmelzefilmdicke an der Zylinderwand unter Einbeziehung der Radialspaltleckströme berücksichtigt. Die Lösung des Aufschmelzverlaufs in Kanalrichtung ergibt sich aus der Energiebilanz im Schmelzefilm oberhalb des Feststoffbettes und der Massebilanz zwischen Schmelzewirbel und Schmelzefilm.

Abbildung: Modifiziertes TADMOR-Modell mit ortsabhängiger Schmelzefilmdicke.

Die Gleichungen zur Berechnung des Aufschmelzverlaufs in Kanalrichtung sind nachstehend aufgeführt.

Dimensionslose Feststoffbettbreite aus der Energiebilanz im Schmelzefilm:

$$y = \frac{X}{b} = \frac{\frac{k_1 \rho_s v_{0z} \Delta h}{\lambda_z(T_z - T_{Fl})b}\left(\frac{\delta}{1 + c}\right)^2}{2 + \frac{k_2 K(T_{Fl})v_{rel}^{1+n}}{\lambda_z(T_z - T_{Fl})}\left(\frac{\delta}{1 + c}\right)^{1-n}}\left(1 - \frac{s_R}{\delta}\right)\tag{3}$$

Dimensionslose Schmelzefilmdicke:

$$\psi = \frac{\delta}{\delta_0} = \psi^* = \frac{\psi - \psi_S}{1 - \psi_S} = y^c\tag{4}$$

Steigungskonstante für den Aufschmelzverlauf:

$$c = \frac{\lg\left(\frac{\psi_1 - \psi_S}{\psi_2 - \psi_S}\right)}{\lg\left(\frac{y_1}{y_2}\right)}\tag{5}$$

Funktion der ortsabhängigen Schmelzefilmdicke:

$$\delta_0 = (\delta_1 - s_R)y_1^{-c} + s_R\tag{6}$$

Konstanten für die Aufschmelzberechnung:

$$k_1 = 2\left(\frac{1}{1 - e^A} + \frac{1}{A}\right) k_2 = \frac{2}{A^2}\left(\frac{A}{e^A - 1}\right)^{1+n}(e^A - A - 1)\tag{7}$$

$$A = \frac{\beta}{\nu}(T_Z - T_{Fl})\tag{8}$$

Funktion zur Berechnung der dimensionslosen Feststoffbettbreite in Kanalrichtung:

$$y = \frac{X}{b} = [1 - (1 - c)(1 - \psi_S)\pi_1\xi]^{\frac{1}{1-c}}\tag{9}$$

$$\pi_1 = \frac{\rho_s k_1 \delta_0 v_0 D_S}{2\dot{m}}\zeta = \frac{z}{D_S} = \frac{L}{D_S \sin(\varphi_S)}\tag{10}$$

Die Berechnung des dispersen Schmelzverhaltens ergibt sich aus der Bestimmung des Ortes des ersten Schmelzens und der Berechnung des Schmelzprofils zusammen. Der Ort des ersten Schmelzens kann vereinfacht zum Ort des PFF werden. Die durchgeführten Experimente validieren die Berechtigung dieser Vereinfachung. Die physikalische, mathematische Beschreibung dieses Schmelzprozesses wird durch die folgenden Anforderungen angenommen:

• Die festen Partikel werden als ideale, nicht verformbare Kugeln angenommen, die gleichmäßig in der Polymerschmelze dispergiert sind.
• Die Partikel werden als Einzelpartikel betrachtet. Wechselwirkungen zwischen benachbarten Partikeln werden ignoriert, d. h. die Umgebung eines Partikels stimmt sich auf ein ungestörtes Temperaturfeld ab.
• Die Richtung des Partikels im Schneckenkanal kann durch die zentrale, kubisch-flächige Kugelhülle beschrieben werden.
• Die Bestimmung des Temperaturanstiegs im festen Bereich wird durch die erzwungene Konvektion der Einzelpartikel angenommen. Temperaturanstieg durch Wärmestrahlung und -leitung wird vernachlässigt.
• Der Schmelzprozess beginnt an dem Ort, an dem die festen Partikel von der Schmelze benetzt werden. Schmelzbildung vor diesem Ort wird ignoriert.

Für die Bildung einer dispersen Partikelverteilung am Ort der ersten Füllung ist ein minimaler Anteil der bereits vorhandenen Schmelze S0 notwendig. Dies wird dargestellt durch: $$S_0 = 1−F_0 \tag{11}$$ Wobei $F_0$ den Feststoffanteil darstellt. Dieser Feststoffanteil ist identisch mit der Schüttdichte und kann unter der Annahme einer zentralen, kubisch-flächigen Partikelbildung berechnet werden.

Während des Transports innerhalb der Feststoffförderzone findet eine Temperaturerhöhung der Feststoffpartikel statt. Bei langen Feststoffförderzonen kann die Vernachlässigung der Enthalpiezunahme in diesem Bereich zu Fehlern bei der Berechnung der Aufschmelzlänge führen. Die mittlere kalorische Partikeltemperatur am Ort des Aufschmelzbeginns ist somit eine Eingangsgröße für die Berechnung des Aufschmelzverlaufs.

Betrachtet man die Temperaturerhöhung ausgehend von einem bewegten Koordinatensystem (innerhalb eines Partikels), so stellt die Temperaturerhöhung einen instationären Vorgang dar. Die wesentlichen Wärmeübertragungsmechanismen sind Wärmeleitung und Konvektion.

Abbildung: Schematische Darstellung des Temperaturverlaufs im Innern eines kugelförmigen Partikels

Auf dem Gebiet der instationären Wärmeübertragung wird die Temperaturerhöhung ausgehend von Einzelpartikeln [Mar84], [NN88] oder durchströmten Festbetten [NN88], [TM87], [Sch84] betrachtet. Da nach Voraussetzung 2 für das Aufschmelzen von Einzelpartikeln ausgegangen werden soll, ist es sinnvoll, auch im Feststoffförderbereich von Einzelpartikeln auszugehen. Das Bild zeigt schematisch den Temperaturverlauf im Innern eines Partikels in Kugelform. $\bar{T}$ ist die gesuchte mittlere kalorische Temperatur der Partikel.

Die Kopplung von Energiesatz und Kinetik liefert die zu lösende Differentialgleichung für das kugelsymmetrische Temperaturfeld,

$$\frac{\partial\theta}{\partial\tau} = \frac{1}{\xi^2}\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\xi^2\frac{\partial\theta}{\partial\xi}\right)\tag{12}$$

wobei die Normierungen

$$\theta = \frac{T - T_U}{T_0 - T_U}; \tau = \frac{at}{r_0^2}; \xi = \frac{r}{r_0}\tag{13}$$

eingeführt wurden. Für den Fall einer einmaligen sprunghaften Temperaturänderung von der Anfangstemperatur $T_0$ auf die Umgebungstemperatur $T_U$ ist in [NN88] die Lösung der Dgl. angegeben. Für hinreichend lange Zeiten $\tau$ im Innern der Partikel endlicher Ausdehnung sind die Temperaturprofile einander ähnlich. Sie lassen sich dann durch eine Ortsfunktion $f(\xi)$ beschreiben, die mit zunehmender Zeit maßstäblich verkleinert wird [NN88]:

$$\theta = g(\tau) \cdot f(\xi)\tag{14}$$

Führt man diesen Produktansatz in die Differentialgleichung ein, so erhält man mit der Anfangsbedingung

$$\theta(\xi,0) = 1\tag{15}$$

und der Randbedingung

$$\left(\frac{1\ \partial\theta}{\partial i\ \partial\xi} + \theta\right)_{\xi=1} = \begin{cases} 1 & \text{für } \tau \leq 0 \\ 0 & \text{für } \tau > 0 \end{cases}\tag{16}$$

als Lösung die kalorisch mittlere Temperatur der Partikel

$$\bar{\theta} = \sum_{i=1}^{\infty} c_i(m_i)D_i(m_i)e^{-m_i^2\tau}\tag{17}$$

mit

$$m_i = \left(1 - \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\right)\frac{\cos(m_i)}{\sin(m_i)}\tag{18}$$

$$c_i(m_i) = 2\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i - \sin(m_i) \cos(m_i)}\tag{19}$$

$$D_i(m_i) = 3\frac{\sin(m_i) - m_i \cos(m_i)}{m_i^3}\tag{20}$$

Für praxisgerechte Berechnungen ist es ausreichend, die ersten vier Glieder der Summenfunktion zu berücksichtigen. Die Konstanten $m_i$ sind die Nullstellen der in der ersten Gleichung angegebenen transzendenten Funktion. Mit der dimensionslosen Biot-Kennzahl

$$Bi = \frac{\alpha_L \cdot r_0}{\lambda}\tag{21}$$

können die ersten vier Nullstellen durch folgende Approximationsgleichungen beschrieben werden:

$$m_i = \frac{a}{\left(1 + \frac{b}{Bi}\right)^c}\tag{22}$$

$$m_{2-4} = a \cdot \tanh\left(\frac{\ln Bi}{\ln b} - c\right) + d\tag{23}$$

Die Konstanten a-d sind in der Tabelle angegeben.

Tabelle: Konstanten zur Bestimmung der Temperaturfunktion

Folgendes Bild zeigt die Werte der ersten 4 Nullstellen aus [NN88] und die mit obenstehenden Gleichungen approximierten Werte.

Abbildung: Nullstellen zur Berechnung der mittleren kalorischen Partikeltemperatur

Die dimensionslose Biot-Zahl ist abhängig vom äußeren Wärmeübergangskoeffizienten $\alpha_L$, der sich mit Hilfe der dimensionslosen Nusselt-Zahl berechnen lässt.

$$Nu = \frac{\alpha_L \cdot \pi r_0}{\lambda_L}\tag{24}$$

Die Nusselt-Zahl setzt sich zusammen aus einem laminaren und einem turbulenten Anteil. Für kugelförmige Einzelpartikel gilt:

$$Nu = 2 + \sqrt{Nu_{lam}^2 + Nu_{tur}^2}\tag{25}$$

mit

$$Nu_{lam} = 0,664\sqrt{Re}\sqrt[3]{Pr}\tag{26}$$

$$Nu_{tur} = \frac{0,037Re^{0.8}Pr}{1 + 2,443Re^{-0.1}(Pr^{0.66} - 1)}\tag{27}$$

Die dimensionslose Reynolds-Zahl berücksichtigt die Luftströmung im Schneckenkanal.

$$Re = \frac{w\pi r_0}{\nu}\tag{28}$$

Betrachtet man die Luftgeschwindigkeit ausgehend von einem bewegten Koordinatensystem in einem Partikel, so bewegt sich die als ruhend im Schneckenkanal angenommene Luft relativ zum Partikel.

Es ergibt sich die Luftgeschwindigkeit proportional der Fördergeschwindigkeit des Granulates,

$$w = \frac{n_0 t}{F_0}\tag{29}$$

wobei $n_0$ die Schneckenantriebsdrehzahl und t die Gangsteigung der Schnecken ist. Die Feststoffansammlung im Schneckenkanal reduziert den strömungswirksamen Kanalquerschnitt. Hieraus resultiert eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit entsprechend des Feststoffanteils $F_0$.

Die in den Gleichungen 24 und 25 enthaltene Prandtl-Zahl Pr ist ein Stoffwert-Verhältnis. Bei der hier durchgeführten Betrachtung mit Luft als umströmendes Medium kann die Prandtl-Zahl bei Vernachlässigung der Druckabhängigkeit mit

$$Pr(T)3,545 \cdot 10^{-7}T^2 - 1,309 \cdot 10^{-4}T + 0,7169\tag{30}$$

approximiert werden, wobei die Temperatur in Grad Celsius einzusetzen ist.

Abbildung: Mittlere kalorische Partikeltemperatur als Funktion der Verweilzeit

Das Bild zeigt beispielhaft für das Material PE 1810 D und einem angenommenen Partikeldurchmesser von 3 mm die Erhöhung der mittleren kalorischen Partikeltemperatur ausgehend von der Zugabetemperatur ($T_0$=20°C). Für höhere Umgebungstemperaturen werden höhere mittlere Temperaturen ermittelt. Legt man typische Verweilzeiten in der Feststoffförderzone von 1.0 bis 1.5 Sekunden zugrunde, so erkennt man, dass die Temperaturerhöhung nicht vernachlässigt werden darf.

Nach der Benetzung der Feststoffpartikel mit Schmelze können diese nur durch Wärmeleitung von der heißen Schmelze aufgeschmolzen werden. Der vorhandenen Schmelze wird Energie durch Dissipation und Wärmeleitung zugeführt.

Die dispergierten Feststoffpartikel erhöhen die eingebrachte Dissipationsenergie, da im Bereich der Partikel bei vernachlässigter Partikelrotation der Schergradient zu Null wird. Zur Berücksichtigung dieses Effekts wird gemäß der Abbildung die disperse Phase als kontinuierliche Phase am Schneckengrund aufgefasst.

Abbildung: Modell zur Berücksichtigung der Scherüberhöhung

Die strömungswirksame Kanaltiefe ist somit eine Funktion des dimensionslosen Feststoffgehalts:

$$h(x,F) = (1 - F)h(x)\tag{31}$$

Für die Berechnung der Schmelzetemperaturentwicklung soll von folgenden Vereinfachungen ausgegangen werden:

• Der Schneckenkanal wird zunächst als Flachkanal betrachtet. Die durch die Schneckenkanalgeometrie bedingte Änderung in der Schererwärmung der Schmelze gegenüber dem Flachkanal wird durch einen nachträglich eingeführten Korrekturfaktor berücksichtigt.
• Die Schmelze ist wandhaftend.
• Die Strömung ist stationär, inkompressibel und laminar schleichend ($c$ = $c_p$ = $c_v$).
• Das Fließverhalten der Schmelze folgt dem Potenzgesetz. Die Temperaturabhängigkeit des Fließgesetzkoeffizienten wird mit dem Arrheniusansatz beschrieben: $\tau = K_{0T}e^{-\beta T}\dot{\gamma}^n$
• Alle Stoffwerte außer der Viskosität werden als temperaturinvariant betrachtet.
• Die dissipierte Leistung pro Volumeneinheit wird über den Kanalquerschnitt gemittelt und auf eine Bezugstemperatur $T_j$ normiert.

Mit diesen Annahmen reduziert sich die allgemeine Energiegleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes:

$$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho_m c_p \bar{v}_z} \frac{\partial q_y}{\partial y} + \frac{(\tau\dot{\gamma})_j}{\rho_m c_p \bar{v}_z} e^{-\beta(T-T_j)}\tag{32}$$

Für den Wärmestrom gilt das Fourier'sche Wärmeleitgesetz:

$$q_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial z}\tag{33}$$

Die beschreibenden Dgl. lässt sich mit den in der Tabelle angegebenen Kennzahlen in eine dimensionslosen Darstellung überführen.

Tabelle: Dimensionslose Kenngrößen für die Berechnung der Schmelzetemperatur

Die Gleichung ist aufgrund der Exponentialfunktion nicht ohne weitere Vereinfachungen lösbar. Um das Problem lösbar zu machen, ist die Exponentialfunktion von Potente [Pot90] durch ein Polygonzug angenähert worden:

$$e^{-\beta(T-T_0)} \approx C_1 - T_2\beta(T - T_0)\tag{34}$$

Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ sind für bestimmte Bereiche von $\beta \cdot \Delta T$ fest vorgegeben.

Abbildung: Annäherung der Exponentialfunktion durch einen Polygonzug

In Anlehnung an Potente werden die Konstanten hier neu angepasst, um einen größeren Wertebereich von $\beta \cdot \Delta T$ zulassen zu können. Das Bild zeigt die Annäherung der Exponentialfunktion durch die Gleichung, nachstehende Tabelle enthält die Konstanten $C_1$ und $C_2$ und deren Gültigkeitsbereich.

Tabelle: Konstanten zur Anpassung der Exponentialfunktion

Für die weitere Analyse soll davon ausgegangen werden, dass die Temperaturberechnung abschnittsweise erfolgt und die Temperaturdifferenzen innerhalb des betrachteten Intervalls $\Delta z$ klein sind. Hieraus lässt sich folgern, dass die zu erwartenden Temperaturausgleichsvorgänge ebenfalls klein sind. Es ist daher ausreichend, wenn die Änderung des Wärmestroms in Kanaltiefenrichtung anhand des Anfangstemperaturprofils abgeschätzt wird und als invariant gegenüber der z-Koordinate angesehen wird. Für jedes neue Intervall findet eine neue Festlegung statt, weil sich eine neue Anfangstemperaturverteilung ergibt.

Das Anfangstemperaturprofil soll dabei folgenden Bedingungen genügen:

Es erfolgt kein Wärmeübergang zur Schnecke:

$$\frac{\partial\theta_0}{\partial\xi} = 0\tag{35}$$ für $\xi = 0$

An der Zylinderwand liegt eine vorgegebene Temperatur $T_Z$ vor:

$$\theta_0(\xi = 0) = \theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}\tag{36}$$

Die mittlere Massetemperatur der Schmelze zu Beginn des Berechnungsabschnittes ist bekannt:

$$\int_0^1 \theta_0(\xi)d\xi = \theta_s = \frac{T_s - T_0}{T_z}\tag{37}$$

Ein Extremum soll zugelassen sein. Dies ist bei großer Dissipation im Schneckenkanal z. B. in der Aufschmelzzone denkbar.

Eine mögliche Funktion, die diesen Bedingungen genügt, ist die Überlagerung einer Exponentialfunktion mit einen Polynom 2. Grades.

$$\theta_0(\xi) = 0.0154\theta_z(1 - e^{1-\xi})^8 - 0.1232\theta_z(\xi - 1)^2 - 0.04704\theta_z\tag{38}$$

Folgendes Bild zeigt beispielhaft die Anfangstemperaturverteilung gemäß der Gleichung für verschiedene dimensionslose Zylinderwandtemperaturen.

Abbildung: Dimensionslose Anfangstemperaturverteilung für verschiedene dimensionslose Zylinderwandtemperaturen

Mit diesem Anfangstemperaturprofil sowie der Annahme, dass die Änderung des Wärmestroms in Kanaltiefenrichtung anhand des Anfangstemperaturprofils abgeschätzt werden kann,

$$\frac{\partial^2\theta}{\partial\xi^2} \approx \frac{\partial^2\theta_0}{\partial\xi^2}\tag{39}$$

erhält man die in der Tabelle angegebene Lösung der Dgl.

$$\theta(\xi,\zeta) = \frac{C_1}{C_2\beta T_z} - 0,2464\varepsilon - 0,1232\varepsilon e^{1-\xi} + 1,7248\varepsilon e^{2(1-\xi)} - 7,7616\varepsilon e^{3(1-\xi)} + 17,2479\varepsilon e^{4(1-\xi)}$$

$$-21,5599\varepsilon e^{5(1-\xi)} + 15,5231\varepsilon e^{6(1-\xi)} - 6,0368\varepsilon e^{7(1-\xi)} + 0,9856\varepsilon e^{8(1-\xi)}$$

$$-e^{\frac{BrC_2\beta T_z\zeta}{Gz}}\left(\frac{C_1}{C_2\beta T_z} - 0,2464\varepsilon - 0,1232\varepsilon e^{1-\xi} + 1,7248\varepsilon e^{2(1-\xi)} - 7,7616\varepsilon e^{3(1-\xi)}\right.$$

$$+ 17,2479\varepsilon e^{4(1-\xi)} - 21,5599\varepsilon e^{5(1-\xi)} + 15,5231\varepsilon e^{6(1-\xi)} - 6,0368\varepsilon e^{7(1-\xi)}$$

$$+ 0,9856\varepsilon e^{8(1-\xi)} + 0,1548\theta_z + 0,1232\theta_z e^{1-\xi} - 0,4312\theta_z\left(e^{1-\xi}\right)^2$$

$$+ 0,8624\theta_z e^{3(1-\xi)} - 1,0780\theta_z e^{4(1-\xi)} + 0,8624\theta_z e^{5(1-\xi)} - 0,4312\theta_z e^{6(1-\xi)}$$

$$\left.+ 0,1232\theta_z e^{7(1-\xi)} - 0,0154\theta_z e^{8(1-\xi)} + 0,1232\theta_z\xi^2 - 0,2464\theta_z\xi\right)\tag{40}$$

mit

$$\varepsilon = \frac{\theta_s}{BrC_2\beta T_z}\tag{41}$$

Da in der Regel nur eine über die Kanalhöhe gemittelte Massetemperatur von Interesse ist, kann diese mit

$$\bar{\theta} = \frac{\bar{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \theta(\xi,\zeta)d\xi\tag{42}$$

bestimmt werden.

Nachstehendes Bild zeigt einen Vergleich der in der Tabelle dokumentierten Lösung mit den von Potente [Pot90] und Ansahl [Ans93] publizierten Ansätzen. Für kleine Graetz-Zahlen strebt die von Ansahl publizierte Lösung ins Unendliche, während die beiden anderen Kurven auf unterschiedliche Grenzwerte zulaufen, bei denen die durch Scherung zugeführte Energie gleich der durch Wärmeleitung abgeführten Energie ist. Für große Graetz-Zahlen nehmen die Abweichungen in der dimensionslosen Temperatur zwischen den Lösungen ab.

Abbildung: Dimensionslose Massetemperatur als Funktion der Graetz-Zahl

Die Vernachlässigung der realen Kanalgeometrie ermöglicht die analytische Lösung der reduzierten Energiegleichung. Aufgrund der Selbstreinigung von Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern weicht jedoch die Kanalgeometrie stark von dem Flachkanal ab. Durch diese Vereinfachung kann es zu größeren Fehlern bei der Bestimmung der gemittelten dissipierten Leistung pro Volumeneinheit $\overline{(\tau\dot{\gamma})_j}$ kommen, die zudem noch eine ausgeprägte Abhängigkeit vom örtlichen Füllgrad besitzt.

Für den flächengleichen Rechteckkanal kann die gemittelte dissipierten Leistung mit $$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{41}$$

abgeschätzt werden. Die durch die reale Kanalgeometrie bedingte Änderung der gemittelten dissipierten Leistung gegenüber dem Flachkanal soll durch einen zusätzlich eingeführten Korrekturfaktor $C_K$ Berücksichtigung finden.

$$\overline{(\tau\dot{\gamma})_j} = C_K \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{\bar{h}^{1+n}}\tag{42}$$

Zur Ermittlung des Korrekturfaktors nähert man die reale Kanalgeometrie durch eine Treppenfunktion an. Jedes Intervall i der Treppenfunktion möge wie der Flachkanal eine lineare Geschwindigkeitsverteilung besitzen. Lässt man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich und damit die Intervallbreite gegen Null streben, so ergibt sich für die gemittelte dissipierte Leistung:

$$(\overline{\tau\dot{\gamma}})_j = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \frac{K(T_j)v_0^{1+n}}{h(x)^{1+n}} dx\tag{43}$$

$x_f$ ist dabei die Position der Fließfront in teilgefüllten Kanalabschnitten, wobei von einer idealisierten senkrechten Fließfront ausgegangen wird. Mit der mittleren wirksamen Kanaltiefe

$$\bar{h}(x_f) = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} h(x)dx\tag{44}$$

erhält man für $C_K$:

$$C_K = \frac{1}{x_f + \frac{b_{max}}{2}} \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{x_f} \left(\frac{\bar{h}(x_f)}{h(x)}\right)^{1+n} dx\tag{45}$$

Damit in der Gleichung eine Nulldivision für den Ort x=-$b_{max}$/2 vermieden wird, muss auch hier analog zur Leistungsberechnung das praktische Kanalprofil verwendet werden. Die Ermittlung des Integrals erweist sich aufgrund der abschnittsweisen Definition des Kanalprofils als schwierig, weshalb die Integration numerisch durchgeführt wurde. Die Gleichung beschreibt die füllgradabhängige mittlere wirksame Kanaltiefe, die für das ebene Rinnenmodell zu verwenden ist.

Für die physikalisch mathematische Beschreibung des Aufschmelzens von Einzelpartikeln in einer Polymerschmelze sollen gemäß Voraussetzung 2 Wechselwirkungen zwischen benachbarten Partikeln vernachlässigt werden. Die Energiegleichung in Kugelkoordinaten reduziert sich bei Betrachtung stationärer Verhältnisse und reiner Wärmeleitung bei konstanten Stoffdaten:

$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{46}$$

Zur Beschreibung der Wärmeleitung verwendet man die Fourier'sche Differentialgleichung

$$\dot{q}_r = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r}\tag{47}$$

Setzt man die Gleichungen ineinander ein, so erhält man unter der Annahme konstanter Stoffwerte:

$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{r^2}\left(2r\frac{\partial T}{\partial r} + r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right)\tag{48}$$

Abbildung: Kugelkoordinaten am Feststoffpartikel

Aus der Massebilanz an der Kugeloberfläche ergibt sich, dass die Änderung der Masse der Kugel pro Zeiteinheit gleich der Änderung der Masse der Schmelze pro Zeiteinheit ist.

Feststoff: $$\frac{\partial m_f}{\partial t} = -4\pi r_G^2 \rho_f \frac{\partial r_G}{\partial t}\tag{49}$$

Schmelze: $$\frac{\partial m_s}{\partial t} = -4\pi r^2 \rho_s \frac{\partial r}{\partial t}\tag{50}$$

Durch Gleichsetzen erhält man: $$\frac{\partial r}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial t} = -\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \frac{\partial r_G}{\partial_z} \frac{\partial_z}{\partial t}\tag{51}$$

Löst man die Gleichung nach $\partial t$ auf und führt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal mit $\bar{v} = \frac{\partial z}{\partial t}$ ein, so erhält man:

$$\partial t = \left(-\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z}\right)^{-1} \partial r\tag{52}$$

durch Einsetzen erhält man:

$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{1}{a_s}\left(\frac{r_G}{r}\right)^2 \frac{\rho_f}{\rho_s} \bar{v} \frac{\partial r_G}{\partial z} + \frac{2}{r}\right] \frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{53}$$

mit $$a_s = \frac{\lambda_s}{\rho_s c_p}\tag{54}$$

Mit der Definition der Konstanten:

$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{55}$$

erhält man:

$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \left[\frac{A}{r^2} + \frac{2}{r}\right]\frac{\partial T}{\partial r} = 0\tag{56}$$

Die zweimalige Integration führt zu Gleichung:

$$T(r) = \frac{C_1}{A}e^{-\frac{A}{r}} + C_2\tag{57}$$

wobei $C_1$ und $C_2$ die Integrationskonstanten sind. Mit den Randbedingungen:

$$T(r = \infty) = T_m\tag{58}$$ $$T(r = r_G) = T_{fl}\tag{59}$$

ergeben sich die Integrationskonstanten zu:

$$C_1 = A \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{60}$$

$$C_2 = T_m + \frac{T_m - T_{fl}}{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right) - 1}\tag{61}$$

Die Lösung der Differentialgleichung lautet:

$$\frac{T_m - T(r)}{T_m - T_{fl}} = \frac{1 - \exp\left(\frac{A}{r}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{62}$$

An der Grenzfläche der Kugel muss zu jeder Zeit $t \geq t_0$ gelten:

$$\dot{q}_f|_{r_G} = \dot{q}_s|_{r_G}\tag{63}$$

wobei $\dot{q}_s$ der Wärmestrom schmelzeseitig an der Grenzfläche und $\dot{q}_f$ der Wärmestrom in der Kugel an der Grenzfläche ist.

Für den Wärmestrom an der Grenzfläche in der Schmelze ergibt sich:

$$\dot{q}_s = -\lambda \frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\left(-\frac{A}{r^2}\exp\left(\frac{A}{r}\right)\right)\tag{64}$$

An der Stelle r = $r_G$ ergibt sich damit für den Wärmestrom:

$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{\exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}{1 - \exp\left(\frac{A}{r_G}\right)}\tag{65}$$

Erweitert man mit $\frac{\exp\left(-A/r_G\right)}{\exp\left(-A/r_G\right)}$, so erhält man für den Wärmestrom:

$$\dot{q}_s|_{r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)\frac{A}{r_G^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{-A}{r_G}\right) - 1}\tag{66}$$

Ersetzt man nun die Konstante A

$$A = \frac{1}{a_s}r_G^2\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{67}$$

durch die Konstante A':

$$A' = \frac{1}{a_s}\frac{\rho_f}{\rho_s}\bar{v}\tag{68}$$

so ergibt sich für den Wärmestrom an der Grenzfläche schmelzeseitig:

$$\dot{q}_{s|r_G} = \lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'\frac{\partial r_G}{\partial z}\frac{1}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{69}$$

Für den Wärmestrom im Feststoff an der Grenzfläche gilt:

$$\dot{q}_{f|r=r_G} = \rho_f\bar{v}\Delta h\frac{\partial r_G}{\partial z}\tag{70}$$

Durch Einsetzen erhält man:

$$\rho_f\bar{v}\Delta h = \frac{\lambda\left(T_m - T_{fl}\right)A'}{\exp\left(-A'r_G\frac{\partial r_G}{\partial z}\right) - 1}\tag{71}$$

Löst man diese Gleichung nach $\frac{\partial r_G}{\partial z}$ auf, so erhält man:

$$r_G\frac{\partial r_G}{\partial z} = -\frac{1}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A'\left(T_m - T_{fl}\right)}{\rho_f\bar{v}\Delta h}\right]\tag{72}$$

Durch Integration erhält man für die Änderung des Radius' $r_0$ auf einer Länge $\Delta z$:

$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2}{A'}\ln\left[1 + \frac{\lambda A''\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{73}$$

Setzt man in Gleichung 73 A' ein, so ergibt sich:

$$r_{G,i+1} = \sqrt{r_{G,i}^2 - \frac{2\lambda}{\rho_f\bar{v}c_s}\ln\left[1 + \frac{c_s\left(T_m - T_{fl}\right)}{\Delta h}\right]\Delta z}\tag{74}$$

$r_{0,i}$ ist hierbei der Radius am Anfang des betrachteten Kanalabschnittes. Gleichung 74 ermöglicht somit die Berechnung des Partikelradius' entlang der Schneckenanordnung. Der Feststoffanteil ergibt sich zu:

$$F(r_G) = \frac{N_{p,ges} \frac{4}{3}\pi r_0^3}{\Delta z A_{Kanal}}\tag{75}$$

Abbildung: Vergleich berechneter und gemessener Aufschmelzverläufe

Das Bild zeigt beispielhaft den Vergleich zwischen experimentellen (Symbole) und theoretisch ermittelten (durchgezogene Linie) Feststoffanteilen. Das prinzipielle Verhalten wird durch das Modell richtig wiedergegeben. Der Feststoffanteil am Ort des Aufschmelzbeginns stimmt gut mit dem Experiment überein. Auch die berechneten Aufschmelzlängen werden gut wiedergegeben.

Das in [Thü08] vorgestellte modifizierte Aufschmelzmodell baut im Wesentlichen auf die theoretischen Ausführungen des dispersen Aufschmelzens nach Melisch [Mel98], [PM96] auf. Hier wird Bezug genommen auf die vorgestellten Vorüberlegungen aus dem Kapitel Feststofftemperatur am Ort des Aufschmelzbeginns.

Im Folgenden werden die dargestellten Annahmen und Randbedingungen für eine detailliertere Lösungsfindung herangezogen.

Der Einfluss der endlichen Kanalausdehnung ist vor allem in Kanalhöhenrichtung ausgeprägt. Daher wird eine Korrektur in Abhängigkeit vom Partikeldurchmesser-Kanalhöhenverhältnis (dP/h) vorgenommen. Ausgangspunkt für diese Korrektur sind unter anderem CFD-Simulationen, die das Temperaturprofil eines Partikels bei unterschiedlichen dP/h-Verhältnissen aufzeigen. Es ist erkennbar, dass sich allenfalls bei Partikeln, die ein kleines dP/h-Verhältnis aufweisen, ein ungestörtes Temperaturprofil ausbildet.

Der Wärmestrom, der bei reiner Wärmeleitung an der Grenzfläche Partikel/Schmelze vorliegt, wird mit einem Wärmeleitungskorrekturfaktor $f_{lh}$ korrigiert.

$$f_{lh,sim} = 1,30525 + 1,98091 \cdot \frac{d}{h}\tag{76}$$

Der Korrekturfaktor besitzt im Bereich 0,2 < d/h <0,9 Gültigkeit und basiert auf einer Approximation des dimensionslosen Temperaturfeldes. Diese weist eine gute Übereinstimmungen mit den CFD-Ergebnissen auf, und stellt den mittleren Temperaturgradienten an der Partikeloberfläche bei endlicher Kanalhöhe zu dem bei unendlicher Ausdehnung ins Verhältnis.

Eine analytische Lösung der energetischen Differentialgleichung ist in diesem Fall nur schwer herzuleiten [Pap06].

Der Faktor $f_{lh}$ schließt eine Betrachtung der Ausdehnung in Kanalbreitenrichtung nicht mit ein. In diesem Fall wird ebenfalls auf die Numerik zurückgegriffen, da eine analytische Herleitung nicht möglich scheint. Die Simulationen zeigen, dass der Einfluss der Kanalbreite nur bei kleinen Gangsteigungs-Schneckendurchmesser-Verhältnissen auftritt, welche in der Realität kaum Anwendung finden. Eine Korrektur für den Wärmestrom bezogen auf die endliche Kanalbreite wird deshalb vernachlässigt.

Der Einfluss der Konvektion auf den Aufschmelzprozess in Doppelschneckenextrudern wurde bisher außer Acht gelassen, weshalb im modifizierten Aufschmelzmodell zur Berücksichtigung des konvektiven Wärmeübergangs ein Faktor $f_k$ eingeführt wird. Diesem Faktor liegen ebenfalls CFD-Simulationen zugrunde. Ausgehend von einem einzelnen, mit Schmelze umgebenen, rotierenden Partikel in einem abgewickelten Doppelschneckenkanal, wurde sowohl das Verhältnis des Granulatdurchmessers zur Kanalhöhe $d_p/h$ als auch die Péclet-Zahl variiert. Letztere bilanziert das Verhältnis von Konvektion und Wärmeleitung und beschreibt den Anteil der auftretenden Konvektion in der Strömung.

$$Pe = \frac{\rho_m \cdot c_{pm} \cdot v_{0z} \cdot d_p}{\lambda_m}\tag{77}$$

Die Simulationsergebnisse zeigen, dass für hohe konvektive Anteile ein deutlich schnelleres Aufschmelzen zu erwarten ist.

Mathematisch lässt sich der Korrekturfaktor beschreiben durch:

$$f_k = 1 + \frac{(b_1 \cdot \kappa + b_2 \cdot \kappa^2 + b_3 \cdot \kappa^3 + b_4 \cdot \kappa^4) \cdot Pe}{(b_5 \cdot \kappa + b_6 \cdot \kappa^2 + b_7 \cdot \kappa^3 + b_8 \cdot \kappa^4) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{Pe} + b_9\right)}\tag{78}$$

mit: $\kappa = 1 - e^{-\frac{dp}{h}}$

und setzt den Wärmestrom aus der analytischen Berechnung ohne Berücksichtigung der Konvektion mit dem Wärmestrom aus den Simulationen ins Verhältnis, so dass gilt:

$$\dot{q}_r = \left(-\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r}\right) \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{79}$$

Die Regressionskonstanten $b_1$ bis $b_9$ können folgender Tabelle entnommen werden.

Tabelle: Regressionskonstanten

Der Aufschmelzprozess kann nicht losgelöst vom Gesamtprozess betrachtet werden. Wechselwirkungen zwischen einzelnen Partikeln als auch die Partikeldimension haben einen Einfluss auf die Viskosität des Schmelze-Feststoffgemisches.

Nach Potente und Melisch [Mel98], [PM96] werden die Wechselwirkungen über die Verwendung einer vom Feststoffanteil abhängigen wirksamen Kanalhöhe und –breite berücksichtigt. Wie in der unteren Abbildung zu erkennen, wird das Schmelze-Feststoffgemisch getrennt voneinander betrachtet, so dass die Strömung durch die sich über der Feststoffschicht befindlichen Schmelze modelliert werden kann.

Abbildung: Berücksichtigung des Feststoffpartikelanteils im ursprünglichen dispersen Aufschmelzmodell [Thü08]

Im modifizierten Aufschmelzmodell wird die Strömung im Schmelze-Feststoffgemisch über eine Anpassung der Viskosität vorgenommen. Dazu wird die Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz durch den Faktor $f_\Phi$ eingeführt.

$$K_{sm} = K \cdot f_\phi\tag{80}$$

$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s}\tag{81}$$

Der Korrekturfaktor $f_\Phi$ ist abhängig vom Volumenanteil des Feststoffs $\Phi_{V,s}$ und setzt die Viskosität des Fluid-Feststoffgemisches $\eta_{sm}$ mit der Viskosität des reinen Fluids $\eta_0$ ins Verhältnis. Diese Korrektur geht zurück auf Einstein, liefert für große Feststoffanteile jedoch eine zu starke Abweichung der berechneten Viskositäten. Eine Weiterentwicklung nach Guth und Simah liefert bessere Ergebnisse, so dass für den Korrekturfaktor gilt:

$$f_\phi = \frac{\eta_{sm}}{\eta_0} = 1 + \frac{5}{2} \cdot \phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \phi_{V,s}\tag{82}$$

Eine Umrechnung des Volumenanteils auf den Masseanteil liefert:

$$f_\Phi = 1 + \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)\phi_{V,s} + \frac{141}{10} \cdot \left(\frac{\Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s} + \frac{\rho_s}{\rho_m}(1 - \Phi_{M,s})}\right)^2\tag{83}$$

Geht das $d_p/h$-Verhältnis gegen 1 entspricht der betrachtete Partikeldurchmesser annähernd der Kanalhöhe und der Einfluss der Partikelgröße auf die Strömung muss betrachtet werden. Anlehnend an Pape [Pap06] wird daher eine weitere Korrektur der Potenzgesetzkonsistenz eingeführt.

$$K_{sm} = K \cdot f_\phi \cdot f_{dh}\tag{84}$$

$$f_{dh} = 1 + \frac{\frac{d_p}{h} \cdot \left(1 + \left(\frac{d_p}{h}\right)^2\right)}{\left(\frac{\rho_s}{\rho_m} - \frac{1 - \Phi_{M,s}}{\Phi_{M,s}}\right) \cdot \left[\left(\frac{d_p}{h}\right)^2 + \frac{d_p}{h} + 4\right] \cdot \left(1 - \frac{d_p}{h}\right)}\tag{85}$$

Ausgehend von einem Feststoffpartikel in einer Newton'schen Schmelze werden für die Bestimmung der Korrektur die Strömungsverhältnisse um diesen Partikel betrachtet und eine Viskositätsbestimmung für die Strömung eines äquivalenten Volumenstroms reiner Schmelze durchgeführt. Das Verhältnis der Viskosität dieser Betrachtung und der Viskosität des Feststoff-Schmelze-Gemisches führt zur Korrektur mit dem Faktor $f_{dh}$.

Die physikalisch-mathematische Beschreibung des modifizierten dispersen Aufschmelzverhaltens stützt sich im Wesentlichen auf die Annahmen des vorausgegangenen Aufschmelzmodells für dispers verteilte Füllstoffe. Hierbei wird auf folgende, zusätzliche Aspekte Bezug genommen:

• der Einfluss der Partikeldimension auf die Strömung durch $f_{dh}$,
• der Einfluss der Partikelwechselwirkungen auf die Strömung durch $f_\Phi$,
• der Einfluss der endlichen Ausdehnung des Kanals in Höhenrichtung auf den Wärmestrom in Radialrichtung durch $f_{lh}$ und
• den Einfluss der Konvektion auf den Wärmestrom in Radialrichtung durch $f_k$.

Basis der Berechnung bildet die allgemeine Energiegleichung, die sich durch die getroffenen Annahmen reduziert zu:

$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dot{q}_r\right)\tag{86}$$

Mit dem Einfluss der Korrekturfaktoren $f_{lh}$ und $f_k$ ergibt sich der Wärmestrom in Radialrichtung entsprechend Gleichung (vgl.: Berechnung_der_Feststoffbettabnahme_entlang_des_Aufschmelzweges):

$$\dot{q}_r = -\lambda_m \frac{\partial T}{\partial r} \cdot f_k \cdot f_{lh}\tag{87}$$

Diese Faktoren vollziehen den gesamten Berechnungsablauf, der im vorherigen Kapitel vorgestellt wurde, so dass für die Änderung des Partikelradius im betrachteten Intervall gilt:

$$r_{i+1} = \sqrt{r_i^2 - \frac{2 \cdot \lambda_m \cdot f_{lh} \cdot f_k}{c_m \cdot \rho_s \cdot \bar{v}} \cdot \ln\left(1 + \frac{c_m \cdot \left(T_m - T_{flow}\right)}{\Delta h \cdot f_{lh} \cdot f_k}\right) \cdot \Delta z}\tag{88}$$

Die Faktoren $f_{dh}$ und $f_\Phi$, die den Einfluss der Partikeln auf die Strömung widerspiegeln, liegen in der Berechnung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit $\bar{v}$ verankert.

Ab der SIGMA-Version 11.1 ist ein neues Aufschmelzmodell verfügbar – das 2D disperse Aufschmelzmodell. Die Namensgebung erfolgt angelehnt an die zweidimensionale Partikeltemperaturbetrachtung – ab der Zugabe der Partikel bis in die Aufschmelzzone werden die Temperaturen der Partikel über die Partikelradien und über die Schneckenlänge berechnet.

Die bisherigen Aufschmelzmodelle bleiben bestehen und können weiterhin ausgewählt werden. Die empfohlene Berechnungseinstellung ist allerdings die Wahl des 2D dispersen Aufschmelzmodells, wenn Kunststoffpartikel mit einem Durchmesser größer 2 mm verarbeitet werden.

Das neue Modell ergänzt das modifiziert disperse Aufschmelzmodell (MDA) aus dem Jahr 2008. Eine der Erweiterungen des MDA ist die analytische Berechnung der Partikeltemperaturentwicklung ab der Zugabe der Feststoffpartikel durch den Haupteinzug. In früheren Betrachtungen hatte hier nur eine Erwärmung durch umgebende Luft einen Einfluss auf die Temperatur der Feststoffpartikel, wobei die Berechnung der Lufttemperatur eine einfache Mittelwertbildung darstellt. In dem aktuellen 2D dispersen Aufschmelzmodell werden Konvektion aus umgebender Luft, Kontakt zur beheizten Zylinderwand und Friktionserwärmung durch Reibung zwischen Granulat und Granulat, und Granulat und Stahl berücksichtigt. Hierzu werden diese Komponenten als Wärmeströme in der Partikel betrachtet. Die Lufttemperatur wird nach VDI-Wärmeatlas als Erwärmung im Ringspalt berechnet und über die Schneckenlänge gemittelt.

In verschiedensten Literaturquellen wird die Erwärmung durch eine plastische Deformation in den Knetscheiben als entscheidende Einflussgröße auf das Aufschmelzen in Doppelschneckenextrudern herausgestellt. Diese Erkenntnisse werden durch geeignete Versuchsdurchführungen bestätigt. Aus dieser Motivation heraus wurde das bestehende Aufschmelzmodell so erweitert, dass diese Deformationen und das resultierende Anschmelzen berücksichtigt werden konnte. Hierfür ist ein teilanalytisches Modell aufgestellt worden, welches in den ersten Knetscheiben einer Aufschmelzzone jenen Partikelanteil berechnet, der im Zwickelbereich der Achterbohrung deformiert wird. Dieser Anteil erfährt in Abhängigkeit von Material, Menge, Eingangstemperatur, Drehzahl und Durchsatz einen zuvor empirisch ermittelten Energieeintrag und somit eine Temperaturerhöhung.

Um aus den Informationen der Temperaturentwicklung in der Feststoff- und Aufschmelzzone Aussagen zum Aufschmelzgrad machen zu können, wird mithilfe der Finiten Differenzen Methode und unter Verwendung der ermittelten Wärmeströme in den Partikeln ein Schalenmodell gebildet: Die Kunststoffpartikel, deren Eingangstemperatur und –durchmesser bekannt sind, werden in eine festgelegte Anzahl an Schalen eingeteilt, sodass jeder Schale eine Temperatur in Abhängigkeit der Anfangstemperatur, der herrschenden Wärmeströme und der Erwärmungszeit berechnet werden kann. Somit ergibt sich über die Feststoffförder- und Aufschmelzlänge ein Schalentemperaturverlauf. Überschreitet die Schalentemperatur die zu den Materialcharakteristika gehörenden Glasübergangs- bzw. Kristallitschmelztemperaturen, so gilt das sich in dieser Schale befindliche Material als aufgeschmolzen. Mithilfe einer Volumenanteilberechnung kann somit ermittelt werden, wie viel Prozent der Kugel schon in den schmelzeförmigen Zustand übergegangen ist – der Aufschmelzgrad und der verbleibende Feststoffanteil werden somit festgehalten und zur Ergebnisausgabe übergeben. Innerhalb jener Zone, in welcher durch Deformationen Energie in den Partikel eingebracht wird, werden die Schalentemperaturen um den durch das Deformationsmodell berechneten Temperaturanstieg erhöht. Die Addition eines Temperaturvektors auf jede Schale ist dadurch begründet, dass kein von außen einfließender Wärmestrom wirkt, sondern der vollständige Partikel durch Deformation erwärmt wird. Die Vorgehensweise zur Ermittlung des Aufschmelzgrades kann wie beschrieben erfolgen.

Der Energieeintrag durch Deformation sinkt, je höher die Temperatur des Materials unmittelbar vor der Deformation ist. Außerdem dominiert bei steigendem Schmelzeanteil und damit einhergehender Erhöhung des Füllgrades die Wärmeleitung aus der Schmelze in den Partikel. Sie ist nicht mehr zu vernachlässigen. Das Abschmelzen der kugelförmigen Granulatpartikel in umgebender Schmelze wird vom modifiziert dispersen Aufschmelzmodell gut abgebildet. Daher wird an dieses Modell angeknüpft, nachdem der Energieeintrag durch Deformation vernachlässigbar gering wird.

Der Füllgrad der Anteile der verschiedenen Phasen (Schmelze und Feststoff) ist ausschlaggebendes Kriterium, um in die Berechnung des modifiziert dispersen Aufschmelzmodells einzusteigen. In der Modellvorstellung liegen die kugelförmigen Partikel im Schneckenkanal nach der „Deformations-Zone„ annähernd dicht gepackt vor. Es wird angenommen, dass das disperse Aufschmelzen starten, wenn die Hohlräume zwischen den Kugeln mit Schmelze ausgefüllt sind. Die Packungsdichte einer dichtesten Kugelpackung beträgt

$$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048 = 74,048 \tag{89}$$

was bedeutet, dass das freie Volumen einen Anteil von 25,952 % einnimmt. Sobald der Aufschmelzgrad den Schmelzeanteil von 25,952 % überschreitet, wird das nachfolgende Abschmelzen durch das modifiziert disperse Aufschmelzmodell berechnet. Diese Modellierung berücksichtigt das Abschmelzen durch eine sukzessive Radiusreduktion aufgrund von konvektiver Erwärmung in einer endlichen Kanalgeometrie.

[Ans93] Ansahl, J.: Grundlagen für die Auslegung dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder, Dissertation Universität Paderborn, 1993

[Mar84] Martin, H.: Wärmeübertragung in Feststoffpartikeln, Technische Mitteilungen, (1984)12

[Mel98] Melisch, U.: „Grundlagen zur Simulation des Förder- und Plastifizierprozesses dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder“; Dissertation; Universität Paderborn; 1998

[NN88] VDI - Wärmeatlas, VDI-Verlag GmbH, Düsseldorf, 1988

[Pap06] Pape, J.: „Grundlagen der Prozesssimulation von Einschneckenkonzepten zur Hochleistungsplastifizierung„; Dissertation; Universität Paderborn; 2006

[PM96] Potente, H.; Melisch, U.: „Theoretical and Experimental Investigations of the Melting of Pellets in Co-Rotating Twin-Screw Extruders“; International Polymer Processing; Volume 11; 1996; S.101-108

[Pot90] Potente, H.; Mitarbeiter: Rechnergestützte Extruderauslegung - Kunststofftechnisches Seminar an der UNI-PB, 1990

[Sch84] Schlünder, E.H.: Heat transfer to packed and stirred beds from the surface to immersed bodies, Chem. Eng. Process, 18(1984)

[Thü08] Thümen, A.: „Untersuchung und Beschreibung des dispersen Aufschmelzens in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern„; Dissertation; Universität Paderborn; 2008

[TM87] Tsotsas, E.; Martin, H.: Thermal Conductivity of a Packed Beds, a Review, Chem. Eng. Process, 22(1987)