Die Entwicklung einer physikalisch-mathematischen Beschreibung des Dispergierprozesses sollte auf Grundlage der vorliegenden Erkenntnisse nicht nur in der Lage sein, den Desagglomerationsprozess (Erosion und Bruch) zu beschreiben, sondern auch die Clusterbildung primärer Agglomerate. Um dies zu erreichen, wurden die Prozesse zunächst unabhängig voneinander modelliert. Anschließend wurde eine Überlagerung vorgenommen, um zu einer umfassenden Lösung zu gelangen.

Um ein Agglomerat aufzubrechen, muss die von der umgebenden Flüssigkeit auf das Agglomerat übertragene Leistung eine bestimmte Mindestleistung überschreiten, die zum Bruch des Agglomerats erforderlich ist. Bei der Beschreibung der auf das Agglomerat übertragenen Leistung nehmen wir an, dass das Agglomerat kugelförmig ist. Nach Raasch [3] rotiert das Partikel mit einer Winkelgeschwindigkeit von:

$$\omega = \frac{1}{2} \dot{\gamma} \tag{1}$$

und ist damit einer zyklischen Beanspruchung ausgesetzt, die später dargestellt wird.

Um die von der umgebenden Flüssigkeit auf das Agglomerat übertragene Leistung zu beschreiben, führen wir ein Kugelkoordinatensystem ein. Dieses ist in der Abbildung dargestellt.

Abbildung: Einfache Scherströmung um eine Kugel

Die auf das Agglomerat übertragene Leistung kann in Kugelkoordinaten wie folgt beschrieben werden:

$$P = \int_{A_{agr}} [\sigma_r \cdot v_r + \tau_{r\varphi} \cdot v_{r\varphi} + \tau_{r\vartheta} \cdot v_{r\vartheta}] \cdot dA \tag{2}$$

mit

$$dA = r_0^2 \cdot \cos(\vartheta) \cdot d\vartheta \cdot d\varphi \tag{3}$$

Die Zugspannungen $\tau_{r\varphi}$; $\tau_{r\omega}$ and $\sigma_r$ die aus der Rotation des Agglomerates um die z-Achse entstehen, können wie folgt beschrieben werden:

$$\tau_{r\varphi} = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta \tag{4}$$

$$\sigma_r = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta \tag{5}$$

$$\tau_{r\vartheta} = -\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \sin \vartheta \cos \vartheta \tag{6}$$

Weiterhin benötigen wir die Umfangsgeschwindigkeit, woraus sich ergibt:

$$v_r = \frac{\dot{\gamma}}{4} \left(2r - 5\frac{r_0^3}{r^2} + 3\frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta \tag{7}$$

$$v_\varphi = \frac{\dot{\gamma}}{2} \left[\left(1 - \frac{r_0^2}{r^2}\right) \cos 2\varphi - r\right] \cos \vartheta \tag{8}$$

$$V_\vartheta = -\frac{\dot{\gamma}}{4} \left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos 2\vartheta \tag{9}$$

Mit Gl. (3)–(9) und (2) erhalten wir eine Beschreibung der an der Oberfläche eines Agglomerats (r = r₀) aufgebrachten Leistung:

$$P = \int_{A_{Surface}} \left[\frac{5}{2} \cdot \eta \cdot \dot{\gamma} \cdot \cos(2\varphi) \cdot \cos(\vartheta)\right] \left[-\frac{\dot{\gamma}}{2} \cdot r_0 \cdot \cos \vartheta \cdot r_0^2 \cdot \cos \vartheta \cdot d\vartheta \cdot d\varphi\right] \tag{10}$$

Dies zeigt das Profil der normierten Leistung an der Oberfläche eines kugelförmigen Agglomerats.

Figure: Leistungsprofil an der Oberfläche eines kugelförmigen Agglomerats.

Die maximalen Zugspannugen, die in einem einfachen Scherströmungsfeld entstehen können:

$$\tau_{max} = \frac{5}{2} \eta_{Fluid} \dot{\gamma} \tag{11}$$

mit der Umfangsgeschwindigkeit:

$$V_\varphi = r_0 \omega = r_0 \frac{\dot{\gamma}}{2} \tag{12}$$

Und aus Gl. (2) und (9) erhalten wir einen Ausdruck für die maximale Leistung bei der maximalen (kritischen) Bruchspannung eines kugelförmigen Agglomerats:

$$P_{max} = \frac{5}{32} \tau_{Fluid} \cdot \dot{\gamma} \cdot \pi \cdot \bar{d}^3 \tag{13}$$

Bei den folgenden Betrachtungen wird analog zu Bolen und Colwell [1] davon ausgegangen, dass die Agglomeratzerteilung ein Vorgang ist, bei dem ein betrachtetes Agglomerat unter der Einwirkung von aufgeprägten Kräften spontan in zwei gleich große Teile zerfällt. Für den Vorgang der Zerteilung, bei dem zwei Teile mit neuer Oberfläche gemäß der Abbildung entstehen, muss die Arbeit zur Vergrößerung der entstehenden Oberfläche Polymer/Agglomerat aufgebracht werden.

Abbildung: Schematische Darstellung der Agglomeratzerteilung

Für die Arbeit zur Vergrößerung der Oberfläche gilt für diesen Zerteilvorgang unter der Annahme eines isothermen Vorgangs und eines spröden Körpers [1] mit der Oberflächenenergie $\sigma$:

$$\sigma_M = \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z}$$

Mit der zeitlichen Änderung der Oberfläche:

$$\overline{\sigma_M} = \frac{\sum_i(\sigma_M L_{Ele})_i}{\sum_i(L_{Ele})_i}$$

erhält man für die Zerteilungsleistung in zwei Kugelpartikel:

$$P = \frac{\partial W}{\partial t} = 2\sigma\pi d \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Nach Rumpf [2] gilt für die Oberflächenenergie:

$$\sigma = \sum_{n=1}^{n_p} \sum_{k=1}^{k} \frac{F_H}{d} = n_p k \frac{\overline{F_H}}{d}$$

Hierbei sind $F_H$ die wirkenden Haftkräfte, $n_p$ die Anzahl der Primärteilchen und $k$ die Anzahl der Kontaktstellen der Primärteilchen in der Trennebene, die zu berücksichtigen sind.

Für die minimal notwendige Leistung für einen Zerteilvorgang erhält man:

$$P_{min} = \pi n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Neben der Leistung werden im nächsten Schritt die Beanspruchungen, der eine Kugel in einer Scherströmung ausgesetzt ist, analog zu [3, 4] im Hinblick auf den Energieeintrag betrachtet. Der Partikel rotiert in der Scherströmung und wird hierdurch einer Zug-Druck Wechselbeanspruchung ausgesetzt. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ergibt sich nach Raasch [3] aus der herrschenden Schergeschwindigkeit der umgebenden Strömung:

$$\omega = \frac{\dot{\gamma}}{2}$$

Die Leistung an der Kugeloberfläche gemäß Bild 10.2 wird nach Raasch [3] bei der Betrachtung einer reinen Scherströmung wie folgt formuliert:

$$P = \int_{A_{ober}} \left[\sigma_r v_r + \tau_{r\varphi} V_\varphi + \tau_{r\vartheta} V_\vartheta\right] dA$$

Für das Oberflächendifferential gilt:

$$dA = r^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi$$

Abbildung: Geradlinige Scherströmung um eine Kugel [3]

Die Spannungen, die sich bei der dargestellten Rotation um die z-Achse an der Kugeloberfläche ergeben, sind (vgl. [3, 5]):

$$\sigma_r = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta$$

$$\tau_{r\varphi} = \frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta$$

$$\tau_{r\vartheta} = -\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \sin 2\varphi \sin \vartheta \cos \vartheta$$

Für die Geschwindigkeiten gilt hierbei:

$$v_r = \frac{\dot{\gamma}}{4} \left(2r - 5\frac{r_0^3}{r^2} + 3\frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos^2 \vartheta$$

$$V_\varphi = \frac{\dot{\gamma}}{4}\left[\left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \cos 2\varphi - r\right] \cos \vartheta$$

$$V_\vartheta = -\frac{\dot{\gamma}}{4} \left(r - \frac{r_0^5}{r^4}\right) \sin 2\varphi \cos 2\vartheta$$

Für die Berechnung der Leistung, die sich für den Zerteilvorgang ergibt, wird nun der Grenzwert an der Kugeloberfläche für $r = r_0$ betrachtet. Die Gleichung lautet dann:

$$P = \int_{A_{ober}} \left[\frac{5}{2} \eta \dot{\gamma} \cos 2\varphi \cos \vartheta\right] \left[-\frac{\dot{\gamma}}{2} r_0 \cos \vartheta\right] r_0^2 \cos \vartheta \, d\vartheta d\varphi$$

Das Bild zeigt die Leistungsverteilung auf der Kugeloberfläche.

Abbildung: Leistungsverteilung auf der Kugeloberfläche

Für den Vorgang des spontanen Zerfalls ist die Schubspannung und der Maximalwert des Leistungseintrags gemäß Bild 10.3, unter der Randbedingung, dass $\tau_{r\varphi} = \tau_{krit}$ (kritische Schubspannung, die beim Überschreiten der Kohäsionskräfte zur Zerteilung führt [4]) ist, von Interesse. Das Agglomerat wird hierbei als isotroper Körper betrachtet, so dass unabhängig von der Oberflächenkoordinate das Überschreiten der kritischen Schubspannung einen spontanen Zerfall zur Folge hat.

Die maximal mögliche Schubspannung, die an der Kugeloberfläche auftreten kann, ist nach Gl. (10.16):

$$\tau_{max} = \frac{5}{2} \eta_{Fluid} \dot{\gamma}$$

Die Umfangsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Gleichung:

$$V_\varphi = r_0 \omega = r_0 \frac{\dot{\gamma}}{2}$$

Als Ergebnis dieser Betrachtungen erhält man für eine Kugel (Agglomerat) mit dem Durchmesser $\bar{d}$ für die maximal auftretende Leistung:

$$P_{max} = \frac{5}{4} \eta_{Fluid} \dot{\gamma}^2 \pi r_0^3 = \frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3$$

Durch Gleichsetzen der beiden Leistungsansätze ergibt sich die folgende Differentialgleichung:

$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = 2\pi \cdot n_p k \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Betrachtet man die Trennebene des Agglomerates, so ist die Anzahl der Partikel in dieser Trennebene abhängig von der Flächenporosität. Die Flächenporosität $\psi_F$ berechnet sich nach [5] als das Verhältnis der Fläche $A_H$, die nicht vom Feststoff eingenommen wird, zu der Gesamtfläche $A$:

$$\psi_F = \frac{A_H}{A} = 1 - \frac{n_p A_p}{A}$$

Aus der Gleichung ist die Formulierung einer Beziehung zur Berechnung der Anzahl der Partikel in der Trennebene in Abhängigkeit von der Flächenporosität und des mittleren Agglomeratdurchmessers möglich:

$$n_p = (1 - \psi_F) \frac{A}{A_p} = (1 - \psi_F) \frac{\bar{d}^2}{d_p^2}$$

Durch Einsetzen erhält man die Gleichung:

$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d} = 2(1 - \psi_F) \frac{1}{d_p^2} k \pi \overline{F_H} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Die bisherigen Überlegungen gelten für Trennbrüche in einer reinen Scherströmung. Diese tritt jedoch in Extrudern nicht auf, vielmehr liegt in vollgefüllten Schneckenabschnitten immer eine Überlagerung von Druck- und Schleppströmung vor. Hierbei ergibt sich aus der Überlagerung eines Druckgradienten in einem Schneckenkanal eine Verschiebung des Spannungszustandes, wie in Bild 10.4 (Mohr'scher Spannungskreis) dargestellt. Dementsprechend kann bei genügend hohen Drücken unter Zug keine Zerteilung mehr stattfinden. Da gerade in druckbeaufschlagten Zonen Experimente einen Agglomeratzerfall gezeigt haben, sind somit Schubspannungen für die Zerteilvorgänge verantwortlich. Auch in teilgefüllten Schneckenabschnitten hat man es mit einer mehrdimensionalen Strömung zu tun.

Die Zugfestigkeit als Werkstoffkenngröße darf nur bei reinen Trennbrüchen eingesetzt werden. Für einen Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung gilt die Normalspannungshypothese. Diese kann jedoch nicht angewendet werden, da in der Regel in der Schmelze deutlich höhere Drücke als die Agglomeratfestigkeit auftreten. Sinnvoll ist hier die erweiterte Schubspannungshypothese. Sie geht von verschiedenen Grenzschubspannungen aus. Die Einhüllende der zugehörigen Mohr'schen Spannungskreise ist dann die Grenzfestigkeit $\tau = f(\sigma)$ [7]. Diese stellt eine umfassende Werkstoffcharakteristik dar. Hierbei wird aufgrund nicht vollständiger Werkstoffkennwerte die Einhüllende durch drei Geraden ersetzt (Bild 10.4).

Abbildung: Grenzfestigkeit nach Mohr [7]

Aufgrund der hohen Drücke in schmelzegefüllten Schneckenabschnitten dürften bei der Agglomeratzerteilung somit Gleitbrüche wahrscheinlich sein. Hier gilt:

$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_V = \sigma_3 - \sigma_1$$

wobei $\sigma_1$ und $\sigma_3$ die Hauptnormalspannungen sind. In ersten Näherung ist somit die Scherfestigkeit eines Agglomerats durch Einsetzen der nach Rumpf [2] definierten Zugfestigkeit für den einfachsten Fall einer monodispersen Kugelschüttung:

$$\tau_{Sch} = \frac{1}{2} \sigma_Z = \frac{(1 - \psi_F)}{2\pi} k \frac{\overline{F_H}}{d_p^2}$$

Als Ergebnis erhält man somit für den Agglomeratzerfall folgende Differentialgleichung:

$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{128 \tau_{Sch} \pi} \bar{d}$$

Damit sich Primärteilchen aus dem Agglomerat herauslösen (erodieren) können, müssen die wirkenden Schubspannungen die Haftkräfte der Primärteilchen überwinden, die an der Oberfläche eines Agglomerats gebunden sind.

Abbildung: Schematische Darstellung der Erosion

Die Leistung, die notwendig ist, um einzelne Partikel aus einem Agglomerat zu lösen, ergibt sich hier analog zur Zerteilung aus der Schaffung neuer Oberflächen. Die Leistung für den betrachteten Erosionsvorgang kann gemäß der Abbildung wie folgt angeschrieben werden:

$$P = \sigma \frac{\partial A}{\partial t}$$

Die Oberfläche eines Agglomerates bestehend aus Primärpartikel mit dem Durchmesser $d_P$ ist näherungsweise:

$$A = n_0 \pi \frac{d_p^2}{2}$$

Zur Berechnung der Anzahl der Primärteilchen $n_0$ auf der Oberfläche der Agglomerate wird angenommen, dass die Primärteilchen im gesamten Agglomerat gleich verteilt sind und somit die Porosität an der Oberfläche die gleiche ist wie die Porosität in einer beliebigen Trennebene:

$$n_0 \pi \frac{d_p^2}{2} \cong (1 - \psi_F) \pi \bar{d}^2$$

$$n_0 = \frac{2(1 - \psi_F) \bar{d}^2}{d_p^2}$$

Es folgt für die zeitliche Änderung der Oberfläche eines Agglomerats, bei dem aus der äußeren Schale Partikel herausgelöst werden:

$$\frac{\partial A}{\partial t} = \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Als notwendige Leistung für die Erosion ergibt sich somit:

$$P_{min} = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Auch hier wird die Leistung mit der durch das Fluid maximal eingebrachten momentanen Leistung gleichgesetzt:

$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \pi \bar{d}^3 = \sigma \pi (1 - \psi_F) \bar{d} \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Setzt man nun analog zur Zerteilung die Gleichung für die Oberflächenenergie in die Gleichung ein, so ergibt sich:

$$\frac{5}{32} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2n_0 k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Mit der Anzahl der Primärpartikel auf der Oberfläche eines Agglomerates (kugelförmiger Gestalt) erhält man:

$$\frac{5}{64} \tau_{Fluid} \dot{\gamma} \bar{d} = 2 \frac{(1 - \psi_F)}{\bar d_p^2} k \overline{F_H} (1 - \psi_F) \frac{\partial \bar{d}}{\partial t}$$

Setzt man auch hier die oben definierte Scherfestigkeit ein, ergibt sich für den Erosionsvorgang:

$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{5 \tau_{Fluid} \dot{\gamma}}{256 \pi (1 - \psi_F) \tau_{Sch}} \bar{d}$$

Wie oben beschrieben, soll neben den Zerteilvorgängen auch die Clusterbildung bzw. Zusammenballung einzelner Agglomerate betrachtet werden. Der wesentliche Vorgang bei der Clusterbildung ist das Zusammenstoßen von Partikeln. Hierzu müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1. Die Partikel müssen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen.
2. Der Abstand der beiden Partikel muss - unter der Annahme, dass alle Partikel annähernd eine kugelförmige Gestalt besitzen - kleiner oder gleich der Summe ihrer Radien sein.

Die folgenden Betrachtungen zur Clusterbildung beziehen sich auf ein differentielles Volumenelement $V$, in dem sich $n_A$ Agglomerate befinden.

Abbildung: Differentielles Volumenelement

Unter der Annahme, dass die Agglomerate zu gleichen Zeiten ähnliche mittlere Durchmesser kugeliger Gestalt besitzen, kann für den Vorgang der Zusammenballung ein Überwachungsquerschnitt, in dem ein Zusammentreffen von Agglomeraten möglich wird, definiert werden:

$$S_{üb} = \frac{\pi}{4} (d_M + d)^2$$

Abbildung: Definition des Überwachungsquerschnitts

Überträgt man nun diese Betrachtung auf eine Scheibe des Volumenelements mit der Länge $\partial z$ und der Querschnittfläche $S_D$, so befinden sich in dieser Scheibe $\partial n_A$ Agglomerate:

$$\partial n_A = n_A \frac{S_D \partial z}{V}$$

Bezogen auf den Überwachungsquerschnitt ergibt sich hieraus eine differentielle Anzahl an Agglomeraten $n_M$, die einen Stoß erfahren können:

$$\partial n_M = \frac{\partial n_A S_{üb}}{S_D}$$

Setzt man nun die Gleichungen ein, erhält man:

$$\partial n_M = n_A \frac{\pi (d_M + d)^2}{4 V} \partial z$$

Durch Einsetzen der Feststoffkonzentration

$$c_F = \frac{V_F}{V}$$

und des Feststoffvolumens

$$V_F = n_{A0} V_{A0}$$

erhält man eine Beschreibung für die zeitliche Änderung der Stoßanzahl im Volumenelement:

$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{n_A \pi \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2}{n_{A0} 4 V_{A0}} c_F \partial z\right)$$

Die Anzahl $n_a$ der Partikel, die an der Zusammenballung teilnehmen, ergibt sich aus dem Verhältnis des Partikelvolumens zur Zeit $t > t_0$ zum Partikelvolumen zur Zeit $t = t_0$:

$$n_a = \frac{\bar{V}_A}{\bar{V}_{A0}} = \frac{\pi \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0}}$$

Da der wesentliche Vorgang bei der Zusammenballung von Partikeln eine Stoßübertragung ist, muss die Änderung der Anzahl der Partikel, die einen Stoß erfahren, gleich der Änderung der Anzahl der Partikel sein, die an der Zusammenballung teilnehmen. Daraus ergibt sich:

$$\frac{\partial n_M}{\partial t} = \frac{\partial n_a}{\partial t}$$

Durch Einsetzen von

$$\frac{\partial n_a}{\partial t} = \frac{\pi 1 \partial \bar{d}^3}{6 \bar{V}_{A0} \partial t}$$

ergibt sich:

$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{3 n_A}{2 n_{A0}} c_F \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2 \frac{\partial z}{\partial t}$$

Da sich bei der Zusammenballung der Agglomerate die Feststoffmasse im Volumenelement mit der Zeit nicht verändert, kann das Verhältnis der Anzahl der Partikel aus einer Massebilanz berechnet werden:

$$\frac{n_A}{n_{A0}} = \frac{\bar{d}^3}{\bar{d}_0^3}$$

Damit sich zwei Agglomerate treffen können, muss weiterhin gewährleistet sein, dass eine Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Teilchen vorhanden ist:

$$\bar{v}_{z,rel} = \frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \frac{1}{2} (v_2 - v_1)$$

Stellt man nun eine Beziehung für die Schergeschwindigkeit des umgebenden Fluids auf

$$\dot{\gamma} = \frac{\partial v_z}{\partial y} = \frac{2(v_2 - v_1)}{(\bar{d}_0 + \bar{d})}$$

und setzt diese ein, so erhält man für die mittlere Relativgeschwindigkeit:

$$\frac{\partial z}{\partial t}|_{mittel} = \bar{v}_{z,rel} = \frac{1}{4} \dot{\gamma} (\bar{d} + \bar{d}_0)$$

Durch Einsetzen folgt:

$$\frac{\partial \bar{d}^3}{\partial t} = \frac{1 \bar{d}^3}{8 \bar{d}_0^3} c_F \dot{\gamma} \left(\bar{d}_0 + \bar{d}\right)^2$$

Wird analog zu den Zerteilungsbetrachtungen von Bolen und Colwell [1] angenommen, dass sich immer gleichzeitig nur zwei Agglomerate aneinander lagern, so ergibt sich der Durchmesser des Agglomerats nach der Clusterbildung zu:

$$\bar{d} = \sqrt[3]{2} \bar{d}_0$$

Führt man abschließend die Vereinfachung ein, so erhält man die Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs der Clusterbildung:

$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right) c_F \dot{\gamma} \bar{d}$$

Welche der drei oben diskutierten Fälle nun in einem betrachteten Kanalabschnitt einer Aufbereitungsmaschine stattfinden, hängt im wesentlichen vom Schubspannungsniveau und von der Festigkeit der Agglomerate ab. Es müssen hier drei Fälle unterschieden werden:

• Fall 1:
  Ist das Schubspannungsniveau unterhalb der Grenzschubspannung der Erosion, so wird man keine Desagglomeration beobachten können. Es werden sich Agglomerate zusammenballen. Der mittlere Agglomeratdurchmesser wird mit der Zeit größer werden. Dieser Fall wird vor allem bei sehr niedrigen Schubspannungen oder Agglomeraten mit einer sehr hohen Zugfestigkeit, z.B. aufgrund von Festkörperbrücken, zu beobachten sein.

• Fall 2:
  Liegt die Schubspannung im betrachteten Bereich oberhalb der Grenzschubspannung der Erosion, aber unterhalb der Grenzschubspannung der Zerteilung, so wird man beobachten, dass sich einzelne Teilchen aus der Agglomeratoberfläche herauslösen. Es wird aber keine Zerteilung der Agglomerate zu beobachten sein. Der Vorgang der Erosion wird dem Vorgang der Clusterbildung hierbei überlagert.

• Fall 3:
  Beobachtet man Schubspannungen oberhalb der Grenzschubspannung der Agglomeratzerteilung, so ist zu erwarten, dass sich einerseits die Agglomerate zerteilen und andererseits Teilchen aus der Agglomeratoberfläche herauslösen. Auch hier ist zu erwarten, dass der Desagglomerationsprozess von einem Zusammenballungsprozess überlagert ist.

Eine geschlossene Lösung unter Einbeziehung aller drei Fälle erhält man nun aus der Superposition der Einzelprozesse. Überlagert man die Differentialgleichungen zur Beschreibung der Clusterbildung und der Agglomeratzerteilung, so ergibt sich eine differentielle Änderung des Durchmessers mit der Zeit aus der Summe der Änderungen der Einzelprozesse:

$$\frac{\partial \bar{d}}{\partial t} = \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Clusterbildung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Zerteilung} - \left(\frac{\partial \bar{d}}{\partial t}\right)_{Erosion}$$

Zur Lösung der Dgl. werden folgende dimensionslose Kennzahlen definiert, die sich aus den Einzelprozessen ergeben:

Dimensionsloser mittlerer Agglomeratdurchmesser:

$$d^x = \frac{\bar{d}}{\bar{d}_0}$$

Dimensionslose Beanspruchungszeit:

$$t^x = \dot{\gamma} t$$

Zerteilungskonstante:

$$C_{Ze} = \frac{5}{128 \pi}$$

Clusterbildungskonstante:

$$C_{Cl} = \frac{1}{8} \left(1 + \sqrt[3]{2}\right)$$

Erosionskonstante:

$$C_{Er} = \frac{5}{256 (1 - \psi_F) \pi}$$

Dimensionslose Beanspruchung:

$$\pi_B = \frac{\tau_{Fluid}}{\tau_{Sch}}$$

Hiermit ergibt sich unter Anwendung der dimensionslosen Kenngrößen die normierte Differentialgleichung:

$$\frac{\partial d^x}{\partial t^x} = C_{Cl} c_F d^x - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B d^x$$

Mit der Randbedingung, dass der Anfangsagglomeratdurchmesser

$$d^x (t = t_0 = 0) = 1$$

ist, erhält man als Lösung

$$d^x(t^x) = \exp\{(C_{Cl} c_F - (C_{Er} + C_{Ze}) \pi_B) t^x\}$$

Bei der Anwendung dieser Beziehung muss die oben definierte Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Werden die Grenzschubspannungen der Erosion oder der Agglomeratzerteilung bei der Anwendung nicht erreicht, so sind die jeweiligen dimensionslosen Konstanten $C_{Ze}$ und $C_{Er}$ in den Gleichungen gleich Null zu setzen. Die Grenzschubspannungen sind hierbei vom jeweiligen Anwendungsfall (Polymer-Füllstoffkombination) abhängig und können nicht allgemein gültig angegeben werden [8, 9]. Neben der Grenzschubspannung ist nach Martin [10] je nach Anwendungsfall eine minimale Beanspruchungszeit zu berücksichtigen, unterhalb der auch bei Überschreiten der Grenzschubspannung keine Zerteilung stattfinden kann.

Trägt man den dimensionslosen Durchmesser in Abhängigkeit der dimensionslosen Beanspruchung und der dimensionslosen Zeit für verschiedene Füllstoffkonzentrationen auf, so erhält man die im Bild dargestellten Diagramme.

Der Verlauf der Konturen zeigt eine deutliche Abhängigkeit von Beanspruchungsfall und Füllstoffkonzentration. Gerade im theoretischen Fall 1 der reinen Clusterbildung tritt dieser Effekt stark auf. Liegt eine Schubspannung im Bereich zwischen der kritischen Schubspannung der Erosion und der kritischen Schubspannung der Agglomeratzerteilung vor (theoretischer Fall 2), so stellt man fest, dass hier neben einer Abhängigkeit von der dimensionslosen Zeit und der Feststoffkonzentration auch eine Abhängigkeit von der dimensionslosen Beanspruchung vorhanden ist. Während bei großen dimensionslosen Beanspruchungen der dimensionslose Agglomeratdurchmesser stets mit steigender dimensionsloser Zeit sinkt und lediglich die Geschwindigkeit der Dispergierung von der Feststoffkonzentration abhängt, ist bei niedrigen Beanspruchungen, abhängig von der Feststoffkonzentration, ein unterschiedliches Verhalten festzustellen.

Befinden sich Schubspannungen oberhalb der kritischen Schubspannung der Agglomeratzerteilung (theoretischer Fall 3), so sind bei der Beschreibung die Vorgänge der Clusterbildung, der Erosion und der Zerteilung zu überlagern. Die Feststoffvolumenkonzentration beeinflusst hier bei geringen Beanspruchungen den Verlauf des dimensionslosen Durchmessers mit der dimensionslosen Zeit überproportional. Ist bei hohen Feststoffkonzentrationen eine relativ langsame Abnahme des dimensionslosen Durchmessers zu verzeichnen, so kann bei geringen Feststoffkonzentrationen eine deutlich schnellere Zerteilung bei gleicher Beanspruchung vorhanden ist. Dieser Effekt stimmt mit den Erfahrungen experimenteller Untersuchungen überein.

Abbildung: Dimensionsloser Agglomeratdurchmesser in Abhängigkeit der dimensionslosen Zeit und Beanspruchung für konstante Feststoffkonzentrationen ($\psi_F = 0,5$)

Für die weitere Diskussion der Ergebnisse soll an dieser Stelle die kritische Feststoffkonzentration definiert werden. Setzt man $d^*(t^*)=const.=1$ (Gleichgewichtszustand), so erhält man eine Beschreibung für die kritische Feststoffkonzentration, bei der die Clusterbildung identisch der Erosion und Zerteilung ist:

$$C_{F,krit} = \frac{C_{Er} + C_{Ze}}{C_{Cl}} \pi_B$$

Trägt man die kritische Feststoffvolumenkonzentration über der dimensionslosen Beanspruchung auf, so erhält man das dargestellte Diagramm.

Abbildung: Kritische Feststoffkonzentration als Funktion der dimensionslosen Beanspruchung (Fall 3)

Auch hier ist es theoretisch möglich, dass die Clusterbildung die Agglomeratzerkleinerung überwiegt. Man erkennt, dass der Bereich, in dem die Zusammenballung von Agglomeraten dominiert, schon bei einer sehr geringen dimensionslosen Beanspruchung den physikalischen Maximalwert der kritischen Volumenkonzentration erreicht. Wird hierbei berücksichtigt, dass aufgrund der unterschiedlichen Dichten von Füllstoff und Kunststoffschmelze die Massekonzentration deutlich größer als die Volumenkonzentration ist, kann davon ausgegangen werden, dass in diesem Fall die Agglomeratzerteilung über die Clusterbildung dominiert und es praktisch zu einem Agglomeratabbau kommt. Auch die Porosität der Agglomerate, die in die Erosionskonstante eingebunden ist, spielt in diesem Zusammenhang eine Rolle.

Das physikalische Modell ist in der Lage, die in der Literatur beschriebenen Effekte der Dispergierung (Erosion, Agglomeratzerteilung, Zusammenballung) durch die Überlagerung der ebenfalls in dieser Arbeit entwickelten physikalischen Modelle der Einzeleffekte zu beschreiben.

(1) Bolen W.R.; Colwell, R.E.: Soc. Plast. Eng. 1958; 14: 24-28.

(2) Rumpf H.: Agglomeration, Intern. Symposium Philadelphia 1961: 379-418.

(3) Raasch J.: Beanspruchung und Verhalten suspendierter Festsstoffteilchen in Scherströmungen hoher Zähigkeit, 1961.

(4) Bagster D.F., Tomi, D.: The stresses within a sphere on simple flow fields, Chemical Eng. Science 1974; 29: 1773-1783.

(5) Horwatt, S., Feke, D., Manas-Zlocyower, I.: The influence of structural heterogeneities on the cohesivity and breakup of agglomerates in simple shear flow, Powder Technology 1992; 72: 113-119.

(6) Pahl MH.: Lagern, Fördern und Dosieren von Schüttgütern, Verlag TÜV Rheinland, 1989.

(7) Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus, 1991.

(8) Rumpf H.: Mechanische Verfahrenstechnik, München, Wien: Carl Hanser Verlag, 1975.

(9) Krekel J.: Herstellung und Messung von Scherströmungen mit extrem großer Schubspannung und ihr Einfluss auf die Zerkleinerung von Agglomeraten, 1964.

(10) Martin G.: Untersuchung der Homogenisierfunktion von Einschneckenextrudern für die Kunststoffverarbeitung, 1972.