Der Gesamtleistungsbedarf setzt sich zusammen aus der Feststoffreibung und der Mischreibung im Einzugsbereich, der Leistung im Eingriffsbereich beider Schnecken, der Leistung im radialen Spielraum über den Schneckenspitzen, der Leistung in der Schmelzschicht zwischen Feststoff und Zylinderwand sowie der Leistung im Schmelzbad und im Schmelzbereich. Bei der Berechnung der Prozesse wird der Leistungsbedarf bis zur Stelle der ersten Schmelzbadbildung als vernachlässigbar gering angesehen. Da gleichlaufende Doppelschnecken, die als Plastifiziereinheit eingesetzt werden, in der Regel über eine teilweise gefüllte Einzugszone verfügen, ist dies gerechtfertigt.

Bei der Abschätzung des Leistungsbedarfs in [KSS81] wurden Gleichungen herangezogen, wobei die Leistung in der allgemeinen Form berechnet werden kann:

$$P = \int_0^z \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{+\frac{b_{max}}{2}} (\tau_{0x} r_{0x} + \tau_{0z} r_{0z}) dx \, dz \tag{1}$$

Mit der Wandschubspannung:

$$\tau_{0x} = K \left[\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)^2\right]^{\frac{n-1}{2}} \frac{\partial v_x}{\partial y} \tag{2}$$

$$\tau_{0z} = K \left[\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)^2\right]^{\frac{n-1}{2}} \frac{\partial v_z}{\partial y} \bigg|_{y=h} \tag{3}$$

wenn die Schergeschwindigkeiten an der Wand für Förderelemente mit den in der Tabelle dargestellten Näherungsgleichungen verwendet werden.

Tabelle: Abschätzung der Wandschergeschwindigkeiten (Förderelemente: [KSS81])

$$C_x = \left[(1,368 + 2,634n^{0,1})e^{(n-1)^{\frac{1}{n}}}\right]\tag{4}$$

$$0,55 \leq \pi_V \leq 1,00 \quad\quad C_z = 1 + 3n^{-0,2131}(1 - \pi_V)\tag{5}$$

$$1,00 < \pi_V \leq 1,25 \quad\quad C_z = 1 + 3(1 - \pi_V)\tag{6}$$

$$1,25 < \pi_V \leq 2,00 \quad\quad C_z = C_1 - C_2 \pi_V^{C_3}\tag{7}$$

$$C_x = \frac{1}{\pi} + \sqrt{2}\tag{8}$$

$$C_z = \frac{\pi + 1}{\pi} \cdot \frac{\dot{V}}{v_0 b_{max} h k}\tag{9}$$

$$C_x = 1,75 + 1,75n\tag{10}$$

$$0,00 \leq \pi_V \leq 1,00 \quad\quad C_z = (0,42 + 0,8828n)\pi_V + (1,75 + 1,9692n)\tag{11}$$

Für Förderelemente können die beiden in der Tabelle aufgeführten Gleichungen verwendet werden. Diese Näherungsgleichungen basieren auf einer numerischen Lösung eines Differentialgleichungssystems, das in der Tabelle der Differentialgleichungssysteme [KSS81] aufgeführt ist. Es gelten dieselben Voraussetzungen wie für die Gleichungen der Förderelemente [KSS81].

Die Abschätzung des Leistungsbedarfs muss in den drei Funktionsabschnitten in der Abbildung an der Zylinderwand und im Schmelzabschnitt unterschiedlich ausfallen.

Abbildung: Modell zur Leistungsberechnung.

Die Berechnung der Leistungsaufnahme innerhalb der einzelnen Abschnitte wird im Folgenden erläutert (für Förderelemente und Knetblöcke).

Die Leistung kann in Zonen konstanter Geometrie durch:

$$P_1 = \left\{v_{0z}^{1+n}[C_z^2 + \tan(\varphi_z) C_z^1]^{\frac{n-1}{2}} C_z + v_{0x}^{1+n}[C_z^2 + \cot^2(\varphi_z) + C_x]^{\frac{n-1}{2}} C_x\right\}\tag{12}$$

berechnet werden. Je nach Größe von $y$ berücksichtigt die Gl. eine reine Schmelzezone ($y = 0$) oder den Schmelzewirbel in der Aufschmelzzone ($0 < y < 1$).

Zusätzlich wird der Radialspalt durch:

$$P_2 = \frac{K(T_z)e_{max}\Delta z v_{0z}^{1+n}}{s_R^n} \{1 + \tan^2(\varphi_z)\}^{\frac{n+1}{2}} k\tag{13}$$

miteinbezogen. Die Gleichung setzt eine reine Schleppströmung über dem Radialspalt voraus.

Die Aufschmelzzone wird in zwei Bereiche aufgeteilt: Schmelzefilm an der Zylinderwand mit unterlagertem Feststoffbett der Breite $b \cdot y$.

$$P = \int_0^z \int_{-\frac{b_{max}}{2}}^{+\frac{b_{max}}{2}} (\tau_{0x} r_{0x} + \tau_{0z} r_{0z}) dx \, dz\tag{14}$$

Für den Schmelzefilm sind die Schubspannungen in Anlehnung an [For87] durch:

$$\tau_{0x} = K(T_{Fl}) \left(\frac{v_{rel}}{\delta}\right)^{n-1} \frac{v_{0x}}{\delta}\tag{15}$$

$$\tau_{0z} = K(T_{Fl}) \left(\frac{v_{rel}}{\delta}\right)^{n-1} \frac{v_{0z} - v_{Fz}}{\delta}\tag{16}$$

zu ersetzen. Dabei wird die Relativgeschwindigkeit des Schmelzefilms $v_{rel}$ mit:

$$v_{rel} = \sqrt{(v_{0z} + v_{Fz})^2 + v_{0x}^2}\tag{17}$$

gebildet. Es folgt für die Leistung:

$$P_3 = \frac{K(T_{Fl})\bar{b}y\Delta z v_{rel}^{n-1}}{n} (v_{0x}^2 + (v_{0z} - v_{Fz})v_{0z})k\tag{18}$$

Voraussetzung dieser Schreibweise ist die Annahme einer reinen Schleppströmung im Schmelzefilm.

Je nach Größe von $y$ berücksichtigt

$$P_1 = \left\{v_{0z}^{1+n}[C_z^2 + \tan^2(\varphi_s) C_z^2]^{\frac{n-1}{2}} C_z + v_{0x}^{1+n}[C_z^2 + \cot^2(\varphi_s) + C_x]^{\frac{n-1}{2}} C_x\right\} \frac{K(T_{FI})\bar{b}(1 - y)\Delta z}{n} k\tag{19}$$

eine reine Schmelzezone ($y = 0$) oder den Schmelzewirbel in der Aufschmelzzone ($0 < y < 1$).

Die Summation der einzelnen Leistungen in den unterschiedlichen Funktionsbereichen und -zonen ergibt den Leistungsumsatz im Verfahrensteil der Maschine.

$$P = \sum (P_1)_i + \sum (P_2)_i + \sum (P_3)_i\tag{20}$$

Bezogen auf den Massedurchsatz ergibt sich der spezifische Energieeintrag im Verfahrensteil. Der spezifische Energieeintrag ist eine häufig verwendete Kenngröße für die Beurteilung eines Prozesses und berechnet sich für das Verfahrensteil nach:

$$S_{Ve} = \frac{P}{\dot{m}}\tag{21}$$

und ist proportional zu dem Produkt aus: $\overline{\eta \dot{\gamma}^2} t$ bzw. proportional zu dem Produkt aus: $\overline{\tau \dot{\gamma}} t$.

Das Schneckendrehmoment, als Größe für die Auslegung der mechanischen Festigkeit der Schneckenschäfte ergibt sich aus der Gesamtantriebsleistung über die Gleichung

$$M_d = \frac{P_{ges}}{4n_D x}\tag{22}$$

Das Schneckendrehmoment ist hierbei auf eine Schnecke bezogen.

Ausgangspunkt für die energetische Untersuchung ist eine Energiebilanz an einem Extruder (siehe Abbildung).

Abbildung: Energiebilanz an einem gleichläufigen Doppelschneckenextruder.

Die Antriebsleistung P der Schnecke in Kombination mit dem an der Zylinderwand ausgetauschten Wärme führt zu einer Enthalpieerhöhung des extrudierten Materials (offenes, stationäres System). Die mathematische Formulierung der Energiebilanz lautet wie folgt:

$$\dot{P} + \dot{Q} = \dot{m} \cdot (h_2 - h_1) = \dot{m} \cdot \Delta h \tag{23}$$

Die Gesamtleistung der Schnecke teilt sich im Schneckenkanal in Verlustleistung und Druckaufbau auf (siehe Abbildung). Der Anteil der kinetischen Energie kann jedoch vernachlässigt werden [TK78], [TG79]:

$$P = P_{Diss} + P_{Vol} = P_{Diss} + \Delta p \cdot \dot{V} \tag{24}$$

Abbildung: Leistungsanteile in Abhängigkeit vom dimensionslosen Volumendurchsatz.

Für die Modellierung der Leistungsaufnahme werden folgende vereinfachende Annahmen getroffen:

• Die Schmelze haftet an den Wänden.
• Die Strömung ist stationär, inkompressibel und laminar kriechend (c=cv=cp).
• Alle Materialwerte, mit Ausnahme der Viskosität, werden als temperaturunabhängig betrachtet.
• Die Strömungseigenschaften der Schmelze entsprechen dem Potenzgesetz: $\tau = K \cdot \dot{\gamma}^n$

Bei der Berechnung der erforderlichen Antriebsleistung muss eine allgemeine Unterscheidung nach den Funktionszonen des Extruders und eine lokale Unterscheidung nach den Zonen in den Schneckenelementen getroffen werden. Im Folgenden werden die Feststoffförderzone, der Homogenisierungsabschnitt und die Zone des reinen Schmelztransports als grundlegende Funktionszonen verstanden. Mischabschnitte zum Einarbeiten von Füllstoffen oder zum Vermischen von Polymeren werden hier jedoch nicht gesondert betrachtet.

Im Gegensatz zur Förderung fester Stoffe in gleichläufigen Doppelschneckenextrudern wird die Förderung in Einschneckenextrudern nicht von Schleppmechanismen, sondern von Zwangsfördermechanismen dominiert. Aus diesem Grund ist die Leistungsaufnahme in der Feststoffzuführzone eines gleichläufigen Doppelschneckenextruders im Vergleich zu den anderen Zonen vernachlässigbar [Mel98].

Die Volumenänderungsleistung ist definiert als das Produkt aus Druckdifferenz und Volumenstrom.

$$P_{Vol} = \Delta p \cdot \dot{V}\tag{25}$$

Normiert man Gleichung ergeben sich die folgenden Gleichungen für die einzelnen Geometrien:

• Doppelschneckenkanal

$$\pi_{Pow,Vol,DSE} = \frac{\Delta p \cdot \dot{V}}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^n}{K \cdot b_{max} \cdot v_0^{1+n}} = \pi_{p,DSE} \cdot \pi_{\dot{V},DSE}\tag{26}$$

• Rechteckkanal

$$\pi_{Pow,Vol,RE} = \frac{\Delta p \cdot \dot{V}}{\Delta z} \cdot \frac{h^n}{K \cdot b \cdot v_0^{1+n}} = \pi_{p,RE} \cdot \pi_{\dot{V},RE}\tag{27}$$

• Scheibenelement

$$\pi_{Pow,Vol,SE} = \frac{\Delta p \cdot \dot{V}}{L} \cdot \frac{1}{K \cdot A_{frei} \cdot n_0^{n+1}} = \pi_{p,SE} \cdot \pi_{\dot{V},SE}\tag{28}$$

Die Berechnung erfolgt auf der Basis der im Kapitel 3 von [Kre04] vorgestellten Modelle. In der folgenden Abbildung sind die mit Hilfe des Modells vorhergesagten Verläufe den Ergebnissen der Strömungssimulation gegenübergestellt. Man erkennt eine über den gesamten Bereich befriedigende Beschreibung der Volumenänderungsleistung.

Abbildung: Dimensionslose Pumpleistung in Abhängigkeit des dimensionslosen Volumenstroms.

Im Rahmen der Auswertung der Strömungssimulationen wurde auch die dissipierte Energie in den Strömungskanälen ermittelt. Hierzu wurden die lokalen dissipierten Leistungen in jedem Volumenelement des Kanals ermittelt und anschließend über den gesamten Kanal integriert:

$$P_{diss} = \int \tau \cdot \dot{\gamma} \cdot dV = \sum_{i=1}^{n} \eta_i \cdot \dot{\gamma}_i^2 \cdot V_i\tag{29}$$

Vor der Modellierung der dissipierten Leistung wurden die mit der Gleichung ermittelten Werte normiert. Nachfolgende sind die dimensionslosen Kenngrößen für die untersuchten Geometrien dargestellt.

Mit Hilfe von Regressionsanalysen wurden Beschreibungsansätze entwickelt, mit denen die dissipierten Leistungen in Rechteckkanälen, Doppelschneckenkanälen und Scheibenelementen vorhergesagt werden können.

Dimensionslose Kenngrößen für die Beschreibung der dissipierten Leistung:

• Rechteckkanal:

$$\pi_{Pow,Diss,RE} = \frac{\Delta P_{Diss,RE}}{\Delta z} \cdot \frac{h^n}{K \cdot b \cdot v_0^{1+n}}\tag{30}$$

• Doppelschneckenkanal:

$$\pi_{Pow,Diss,DSE} = \frac{\Delta P_{Diss,DSE}}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^n}{K \cdot b_{max} \cdot v_0^{1+n}}\tag{31}$$

• Scheibenelement:

$$\pi_{Pow,Diss,SE} = \frac{\Delta P_{Diss,SE}}{L} \cdot \frac{1}{K \cdot D_a^2 \cdot n_0^{n+1}}\tag{32}$$

• Rechteckkanäle

$$\pi_{Pow,Diss,RE} = C_{Pow,RE,0} + C_{Pow,RE,1} \cdot \pi_{\dot{V},RE} + C_{Pow,RE,2} \cdot \pi_{\dot{V},RE}^2 + C_{Pow,RE,3} \cdot \pi_{\dot{V},RE}^3 + C_{Pow,RE,4} \cdot \pi_{\dot{V},RE}^4\tag{33}$$

• Doppelschneckenkanäle

$$\pi_{Pow,Diss,DSE} = C_{Pow,DSE,0} + C_{Pow,DSE,1} \cdot \pi_{\dot{V},DSE} + C_{Pow,DSE,2} \cdot \pi_{\dot{V},DSE}^2 + C_{Pow,DSE,3} \cdot \pi_{\dot{V},DSE}^3 + C_{Pow,DSE,4} \cdot \pi_{\dot{V},DSE}^4\tag{34}$$

• Scheibenelemente

$$\pi_{Pow,Diss,SE} = C_{Pow,SE,0} + C_{Pow,SE,1} \cdot \pi_{\dot{V},SE}^{1.5}\tag{35}$$

Folgendes Bild zeigt den Vergleich der mit Polyflow berechneten dissipierten Leistung und der Modellvorhersagen für einen Doppelschneckenkanal.

Abbildung: Vergleich der Modellvorhersagen mit den von Polyflow berechneten dissipierten Leistungen für einen Doppelschneckenkanal.

Man erkennt auch hier eine zufriedenstellende Übereinstimmung. Die Parameter in den Gleichungen hängen von der Geometrie und den Materialdaten, d.h. dem Potenzgesetzexponenten, ab. Die Berechnung der Parameter ist im Detail im Anhang C1.2, C2.2 und C3.2 von [Kre04] zu finden.

Zur Berechnung der Leistungsaufnahmen in den Schneckenelementen werden Leistungsanteile (Dissipation und Volumenänderung) und die einzelnen Bereiche in den Schneckenelementen überlagert. In Tabelle 7.3 sind die Gleichungen zur Berechnung der Leistungen in den verschiedenen Mischelementen aufgeführt.

Leistungsaufnahme in Schneckenelementen

Zur Verifikation des Modells wurden Versuche mit einem Laborextruder durchgeführt. Als Versuchsmedium wurde ein Silikonöl vom Typ Baysilone 50.000 verwendet. Zur Messung der Leistung wurde die Antriebseinheit des Extruders schwingend aufgehängt und mit Hilfe einer Federwaage, die an einem Hebelarm befestigt war, ein Widerstandsmoment gemessen. Aus der Messung des Widerstandsmomentes und der Drehzahl sowie der Kenntnis der Getriebeübersetzung konnte so die Antriebsleistung ermittelt werden. Bild 7.6 zeigt einen Vergleich der gemessenen dimensionslosen Antriebsleistung und der mit Hilfe des Modells berechneten dimensionslosen Antriebsleistung für dichtkämmende Gewindemischelemente. Die Übereinstimmung ist vor allem unter Berücksichtigung der bei der Modellierung gemachten Vereinfachungen gut.

Abbildung: Vergleich der gemessenen und der berechneten dimensionslosen Antriebsleistung für dichtkämmende Gewindemischelemente.

Gleichdrall-Doppelschneckenextruder werden dosiert betrieben, d.h. dem Extruder wird ein Massestrom, unabhängig von der Förderleistung der eingesetzten Schneckenelemente, aufgeprägt. Dies führt dazu, dass der Extruder über weite Bereiche teilgefüllt ist. Ob bei einem bestimmten Massedurchsatz eine Teilfüllung vorliegt, hängt wesentlich vom eingesetzten Material, dem Betriebspunkt und von der Geometrie der einzelnen Schneckenelemente ab. Da einige der hier behandelten Schnecken-und Mischelemente teilgefüllt sein können (Ausnahme sind hier nur neutrale und rückfördernde Zahnmischelemente und tangierende Gewindemischelemente), ist die Berechnung der Antriebsleistung in teilgefüllten Bereichen auch für Mischelemente von Bedeutung, selbst wenn in der Praxis im Allgemeinen der Betriebspunkt so gewählt wird, dass eine Teilfüllung in diesen Elementen nicht auftritt.

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Leistungsaufnahme bei Teilfüllung wird am Beispiel eines Gewindeelementes demonstriert, kann aber analog auf die in dieser Arbeit behandelten Mischelemente übertragen werden.

Im Fall der Teilfüllung kann kein Druckgradient auftreten, also vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung der Antriebsleistung in Gewindeelementen zu:

$$P_{GE} = P_{Diss,Kanal,tf} + P_{Diss,Spalt}\tag{36}$$

Vereinfachend wird angenommen, dass der Radialspalt voll gefüllt ist und dass hier eine reine Schleppströmung vorherrscht. Zur Berechnung der Energiedissipation im teilgefüllten Kanalabschnitt gilt:

$$P_{Diss,Kanal,tf} = f \cdot P_{Diss,Kanal,vf}\tag{37}$$

Abbildung: Randbedingungen zur vereinfachten Simulation eines teilgefüllten Schneckenabschnitts.

Zur Verifikation dieser Gleichung wurden modellhafte Finite-Elemente Simulationen mit den in dem Bild dargestellten Randbedingungen durchgeführt. Ausgangspunkt der Simulationen war ein vollgefüllter Rechteckkanal mit einen Verhältnis von Kanalhöhe zu Kanalbreite $b/h=40$. Zur modellhaften Simulation von teilgefüllten Kanälen wird die Kanaltiefe des Referenzkanals verringert. Zusätzlich verändern sich dann auch die Randbedingungen für die Simulation an der passiven Flanke, welche die freie Oberfläche repräsentiert. Im Gegensatz zur Referenzrechnung werden an dieser Fläche nicht vernachlässigbare Geschwindigkeiten definiert; es wird vorgegeben, dass an dieser Fläche keine Normalgeschwindigkeiten und keine Tangentialkräfte auftreten. In allen Fällen wurde die dissipierte Leistung und die Schergeschwindigkeit berechnet.

Abbildung: Abhängigkeit der relativen dissipierten Leistung und der relativen Schergeschwindigkeit vom Füllgrad.

Im Bild ist die relative dissipierte Leistung in Abhängigkeit des Füllgrads dargestellt. Man erkennt, dass sich der dargestellte Zusammenhang in der Gleichung bestätigt. Es ist jedoch eine leichte Abweichung zu erkennen, die aus den unterschiedlichen Randbedingungen bei der Simulation resultiert. Beachtlich ist außerdem, dass die mittlere Schergeschwindigkeit über weite Füllgradbereiche konstant ist. Lediglich bei sehr geringen Füllgraden ($f < 0.2$) ist eine Abweichung bedingt durch die Randeffekte festzustellen. Diese Erkenntnis stellt einen Gegensatz zu den von Ansahl [Ans93] und Melisch [Mel98] veröffentlichten Ansätzen zur Berechnung der Schergeschwindigkeit dar, die davon ausgehen, dass bei Füllgraden kleiner 1 die mittlere Schergeschwindigkeit immer steigt.

Im Bereich der Feststoffförderzone wird davon ausgegangen, dass verhältnismäßig wenig Energie in den Kunststoff eingebracht wird. Der Energieeintrag und das anliegende Drehmoment der Zone sind vernachlässigbar. In der Aufschmelzzone wird die aufgebrachte Leistung zum Schmelzen und Transportieren des Kunststoffs zu einem hierfür benötigten Drehmoment umgerechnet. Geht man davon aus, dass das Aufschmelzen dominiert von der plastischen Verformung des Granulats und nicht von der Wärmeeinbringung über die Zylinderwand stattfindet, kommt die hierfür nötige Energie aus den Schneckenwellen. Berechnet wird das Drehmoment pro Schnecke hier durch:

$$M_d = \frac{ \frac{P}{n \cdot 2 \cdot \pi}}{2}\tag{38}$$

Nachdem ein Aufschmelzgrad von 100% erreicht wurde, beruht die weiter eingebrachte Energie auf der Förderung und Durchmischung des Kunststoffs. Das hier entstehende Drehmoment kann mit Hilfe eines Hebelarms und der angreifenden Kraft berechnet werden. Der Hebelarm wird in Abhängigkeit des Füllgrads und der Elementgeometrie aus der Differenz des Schneckenradius und der Kanaltiefe am Ort der Krafteinleitung (x) bestimmt

$$l(x) = \frac{D_s}{2} \left(1 - \left[1 + \cos\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)\right] - \sqrt{a_{th}^2 - \frac{D_s^2}{2} \cdot \sin^2\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot \left(|x| - \frac{e_{max}}{2}\right)}{t \cdot \cos(\varphi_s)}\right)}\right)\tag{39}$$

Die wirkenden Schubspannungen an der Elementoberfläche ergeben sich aus den vorliegenden Schergeschwindigkeiten und der lokal vorliegenden Viskosität.

$$\begin{bmatrix} \frac{dv_x}{d_x} & \frac{dv_x}{d_y} & \frac{dv_x}{d_z} \\ \frac{dv_y}{d_x} & \frac{dv_y}{d_y} & \frac{dv_y}{d_z} \\ \frac{dv_z}{d_x} & \frac{dv_z}{d_y} & \frac{dv_z}{d_z} \end{bmatrix} \cdot \eta = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}\tag{40}$$

Als Randbedingung wird eine laminare Strömung angenommen, wodurch sich keine Strömung von der Schnecke zum Zylinder und damit auch keine Schergeschwindigkeit in y-Richtung über der Kanalhöhe und -breite ergibt.

$$\frac{dv_y}{d_x}, \frac{dv_y}{d_z} = 0\tag{41}$$

In teilgefüllten Bereichen können die Normalkräfte unberücksichtigt bleiben. Die Schubspannungen werden auf die projizierten Flächen des Kanalbodens, der Kanalfläche und der Kanalwand bezogen.

$$\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{Wand} \\ A_{Boden} \\ A_{Kanal} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix}\tag{42}$$

Nach dem gleichen Vorgehen wird ein Drehmomentanteil für den Spalt zwischen Schnecke und Zylinder berechnet und diese werden addiert. Der Energieeintrag ergibt sich durch:

$$P_{spez. mech.} = \frac{M_d \cdot n \cdot 2 \cdot \pi}{\dot{m}}\tag{43}$$

Aktiviert wird das neue Modell in den Berechnungseinstellungen, durch setzen des Häkchens zur Drehmomentberücksichtigung.

Um im neuem Leistungsmodell die drei Ziele, die Verbesserung der Genauigkeit, die Reduzierung der Komplexität und die Betrachtung sämtlicher Verfahrenszonen zu gewährleisten, wurde ein Modellansatz über den ersten Hauptsatz der Thermodynamik entwickelt. Zum Verständnis der Modellierung des Modells wird der Enthalpieeintrag in das Polymer Formeltechnisch in den drei Verfahrenszonen, Feststoffförderzone, Aufschmelzzone und Schmelzezone aufgezeigt.

Betrachtet wird zunächst eine spezifische Enthalpiekurve eines teilkristallinen Kunststoffes. Bei der Kristallitschmelztemperatur hat der Kunststoff je nach Art eine entsprechende spezifische Enthalpie. Diese Enthalpie wird in PAM aufgeteilt in $\Delta h_f$ Feststoffenthalpie (Enthalpieänderung zur Erhöhung der Feststofftemperatur) und $\Delta h_a$ Aufschmelzenthalpie (benötigte Enthalpie zum Auflösen der kristallinen Bereiche).

**Abbildung: **Spezifische Enthalpiekurve eines teilkristallinen Polymers

Die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Vergleich zum Einfüllpunkt des Materials ergibt sich aus der Multiplikation der Feststoffenthalpie mit einem prozentualen Faktor der Abhängig von der Einfülltemperatur, der aktuellen Feststofftemperatur und der Kristallitschmelztemperatur ist. Der Faktor gibt an, auf wieviel Prozent der Kristallitschmelztemperatur der Feststoff erwärmt wurde, ausgehend von der Starttemperatur des Materials. Die Aufschmelzenthalpie wird in der Feststoffförderzone zunächst nicht berücksichtig. Der Grund ist in Bild 1 ersichtlich. Für die Bestimmung der Enthalpieerhöhung muss sich auf die schwarzen imaginären Geraden bezogen werden. Bei Berücksichtigung der Aufschmelzenthalpie würde die Gerade eine zu große Steigung bei kleinen Temperaturen aufweisen, die in einer zu großen Abweichung resultiert. Im Feststoffförderbereich liegt die Temperaturerhöhung jedoch gerade in diesem kleinem Wertebereich. Formal ausgedrückt ergibt sich damit für die spezifische Enthalpieänderung an einer Stützstelle im Feststoffförderbereich im Vergleich zum Einfüllpunkt Gleichung 44:

$$\Delta h_{FF} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{44}$$

Für die Antriebsleistung eines Elementbereichs wird die Differenz der spezifischen Enthalpieänderung zwischen zwei Stützstellen mit Gleichung 45 berechnet.

$$\Delta \Delta h_{FF} = \Delta h_{FF_n} - \Delta h_{FF_{n-1}} \tag{45}$$

Mit der berechneten spezifischen Enthalpiedifferenz, der Druckdifferenz und dem eingebrachten Wärmestrom kann daraus die benötigte Antriebsleistung, die zwischen zwei Stützstellen in der Feststoffförderzone benötigt wird, berechnet werden (46).

$$P_{D/FF} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{FF} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{46}$$

Die Aufschmelzzone und die Schmelzezone unterscheiden sich in der Hinsicht von der Feststoffförderzone, weil das Material zweiphasig vorliegt. Demzufolge muss eine separate Betrachtung der spezifischen Enthalpieänderung für das Feststoffbett und den Schmelzebereich durchgeführt werden.

Für die spezifische Enthalpieänderung einer reinen Erwärmung der Schmelze gilt im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur durch die Integration der spezifischen Wärmekapazität über die Temperatur Gleichung 47.

$$\Delta h_{RS} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{m_{cp}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{47}$$

In das aufgeschmolzene Material wurde zusätzlich zu der Enthalpie durch Erwärmung der Schmelze bereits Energie eingebracht, um den Feststoff bis zur Kristallitschmelztemperatur zu erhitzten. Formal kann die eingebrachte spezifische Enthalpie bis zum Anschmelzpunkt in Anlehnung an Gleichung 44 mit Gleichung 48 bestimmt werden.

$$\Delta h_{FA} = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} \tag{48}$$

Aus der Addition der Gleichungen 47 und 48 ergibt sich für die spezifische Enthalpieerhöhung vom Ausgangspunkt der Einfülltemperatur bis zur aktuellen Schmelzetemperatur für den Schmelzebereich Gleichung 49:

$$\Delta h_S = \Delta h_a + \Delta h_f \cdot \frac{T_K - T_E}{T_K - 0} + cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{49}$$

Das Feststoffbett in der Aufschmelzzone erfährt hingegen eine andere spezifische Enthalpieerhöhung. Diese kann, in Anlehnung an Gleichung 44 im Feststoffförderbereich, mit der Gleichung 50 bestimmt werden.

$$\Delta h_{FA} = \Delta h_f \cdot \frac{T_{FS} - T_E}{T_K - 0} \tag{50}$$

Die Enthalpieerhöhungen des Feststoffbetts und des Schmelzebereichs müssen nun anhand des Aufschmelzgrades gewichtet und aufaddiert werden, um die gesamte Enthalpieänderung an einer Stützstelle in der Aufschmelzzone und der Schmelzeförderzone zu erhalten. Für die Gewichtung wird der gesamte Massestrom mit dem jeweiligen prozentualen Anteil des Feststoffs bzw. der Schmelze multipliziert. Durch die Addition beider spezifischen Enthalpieänderung kann die gesamte Enthalpieerhöhung an einer Stützstelle berechnet werden. Die Unterscheidung zwischen Aufschmelzzone und Schmelzebereich wird dabei über den Aufschmelzgrad vorgenommen. Dieser wird vorab in SIGMA berechnet und kann auch visualisiert ausgegeben werden.

In der reinen Schmelzeförderzone ist der Aufschmelzgrad zum Beispiel gleich eins, wodurch der zweite Term der Gleichung 51 wegfällt.

$$\Delta h_{AS/S} = m_{asv} \cdot \Delta h_S + (1 - m_{asv}) \cdot \Delta h_{FA} \tag{51}$$

Die benötigte Antriebsleistung eines Elementbereichs kann mit den vorliegenden Ergebnissen über die Differenz der spezifischen Enthalpieerhöhung zweier Stützstellen 51 über Gleichung 52 bestimmt werden.

$$\Delta \Delta h_{AS/S} = \Delta h_{AS/S_n} - \Delta h_{AS/S_{n-1}} \tag{52}$$

$$P_{D_{AS/S}} = \dot{m} \cdot (\Delta \Delta h_{AS/S} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q} \tag{53}$$

Im einstufigen Compoundierprozess werden zwei Polymere im Trichter dosiert und anschließend compoundiert werden. Dies bedeutet, dass die Komponenten in einem bestimmten Verhältnis im Trichter aufdosiert und zeitgleich plastifiziert werden. Entlang des Extrusionsprozesses besitzen demzufolge beide Materialen an einer Stelle die identische Temperatur. Die Polymere unterscheiden sich jedoch in ihrem Aufschmelzverhalten. Bei gleicher Temperatur besitzen beide Materialen ebenfalls ein unterschiedliches Enthalpieniveau. Die Konsequenz ist, dass die im Trichter vermischten Komponenten nicht als eine Einheit gesehen werden können, sondern dass die Enthalpieniveaus getrennt betrachtet und anschließend gewichtet mit dem zugehörigen Massestrom addiert werden müssen. Der Vorteil dieser Methode ist, dass das Modell nicht nur für zwei Polymere, sondern für beliebig viele anwendbar ist. Hinzu kommt, dass auf das bereits modellierte Grundmodell zurückgegriffen werden kann und lediglich eine Gewichtung und Addierung beider Enthalpieniveaus hinzukommt.

In der Feststoffförderzone kann das Enthalpieniveau der einzelnen Polymere mittels Gleichung 0-1 berechnet werden. Diese werden dann mit Gleichung 0-11 gewichtet und addiert, um das Enthalpieniveau an einer Stützstelle zu erhalten.

$$\Delta h_{FF_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF1} + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FF2} + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \cdot \Delta h_{FFn} \tag{Gleichung 0-11}$$

Im Anschluss können identisch zu Gleichung 0-2 und Gleichung 0-3 die Enthalpieänderung und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei benachbarten Stützstellen berechnet werden.

In der Aufschmelzzone und der Schmelzezone wird nach der gleichen Methode vorgegangen. Die Enthalpieniveaus der Polymere werden im ersten Schritt getrennt betrachtet und dann addiert. Die Gleichungen 0-6 und 0-7 des Grundmodells liefern für die einzelnen Polymere das Enthalpieniveau des entsprechenden Schmelzeanteils und des Feststoffanteils. In Gleichung 5-8 werden die Anteile mit dem Enthalpieniveau gewichtet. Für einen Prozess mit mehreren Polymeren, die gleichzeitig aufschmelzen, muss zusätzlich noch die Gewichtung der verschiedenen Masseströme mitberücksichtig werden. Für die spezifische Enhalpieänderung beim Compoundieren von Polymeren bei Vermischung im Trichter gilt Gleichung 0-12:

$$\Delta h_{AS/S_{C1}} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_1 \cdot m_{asv_1} \cdot \Delta h_{S_1} + \dot{m}_1 \cdot (1 - m_{asv_1}) \cdot \Delta h_{FA_1}\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_2 \cdot m_{asv_2} \cdot \Delta h_{S_2} + \dot{m}_2 \cdot (1 - m_{asv_2}) \cdot \Delta h_{FA_2}\right) +\\ \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{SS}} \left(\dot{m}_n \cdot m_{asv_n} \cdot \Delta h_{S_n} + \dot{m}_n \cdot (1 - m_{asv_n}) \cdot \Delta h_{FA_n}\right) \tag{Gleichung 0-12}$$

Im Anschluss kann identisch zu Gleichung 0-9 und Gleichung 0-10 die spezifische Enthalpiedifferenz und daraus die benötigte Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen berechnet werden.

Zu Beginn des Prozesses wird erst ein Material und später in Extrusionsrichtung zwei oder mehrere Materialien gleichzeitig plastifiziert. An verschiedenen Stützstellen im Extrusionsprozess sind demzufolge unterschiedlich viele Polymere vorhanden, die das Enthalpieniveau vorgeben. Der Prozess muss aus diesem Grund als separater Anwendungsfall betrachtet werden. Für die Modellierung eines zweistufigen Prozesses kann wieder auf die bereits erstellten Modelle zurückgegriffen werden. Es muss vor der Berechnung allerdings eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, bei der geprüft wird, ob im Extruder ein oder mehrere Polymere verarbeitet werden. Bis zur zweiten Materialstufe kann die Enthalpieerhöhung im Vergleich zu Einfülltemperatur strikt nach dem Grundmodell aus Kapitel 5 berechnet werden. Trifft eine Stützstelle auf eine zusätzliche Materialstufe beziehungsweise Materialzugabe, muss das Modell aus dem einstufigen Compoundierprozess verwendet werden. Zu beachten ist dabei, dass die einzelnen Masseströme nicht auf den Gesamtmassestrom aller Polymere bezogen werden, sondern nur auf den Massestrom der aktuellen Stützstelle.

Beim Compoundieren werden häufig Füllstoffe wie zum Beispiel Kreide oder Talkum eingearbeitet, um Materialeigenschaften zu verändern. Die Füllstoffe werden dazu durch eine Zugabe in die aufplastifizierte Schmelze gegeben. Eine Veränderung der in dieser Arbeit vorgestellten Modelle ist nicht notwendig. Kritisch sind allerdings zwei Fälle zu betrachten. Bei extrem hohen Füllstoffanteilen kommt es zu einem zusätzlichen Leistungsbedarf aufgrund der neu entstehenden Reibkräfte. Dies sind allerdings Sonderverfahren und werden zunächst nicht betrachtet. Der zweite kritische Fall ist die Stützstelle, an der die Füllstoffe eingearbeitet werden. Durch die Zugabe erfährt die Schmelze eine deutliche Herabsetzung der Temperatur. Die Konsequenz ist, dass die Enthalpiedifferenz mit der Vorgängerstützstelle negativ wird. Dadurch wird der gesamte Leistungsbedarf zwischen den beiden Stützstellen kleiner als null. Dieser Vorgang ist physikalisch nicht möglich, weil theoretisch keine Leistung aus dem Extruder gewonnen werden kann. Als Lösung wird der Leistungsbedarf an diesem Punkt gleich null gesetzt. Dies ist akzeptabel, weil an der Stützstelle der Füllstoffzugabe Förderelemente eingesetzt werden, die generell einen geringen Leistungsbedarf aufweisen.

Beim Schmelzeextruder entfällt die spezifische Enthalpieerhöhung durch das Aufschmelzen des Feststoffs. Die im Extruder geförderte Schmelze erfährt lediglich eine Enthalpieänderung durch eine Temperaturvariation. Aus diesem Grund kann die Berechnung der Enthalpieerhöhung bis zum Aufschmelzpunkt vernachlässigt werden und für den Bezugspunkt der Enthalpieänderung nicht die Einfülltemperatur, sondern die Kristallitschmelztemperatur herangezogen werden. Bei späterer Differenzierung der Enthalpieänderungen würde sich dieser Anteil ohnehin wieder herauskürzen. Die spezifische Enthalpieänderung einer Schmelze an einer Stützstelle im Schmelzeextruder im Bezug zur Kristallitschmelztemperatur kann in Anlehnung an Gleichung 0-6 mit Gleichung 0-13 berechnet werden.

$$\Delta h_{SE} = cp_0 \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_m}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2) \tag{Gleichung 0-13}$$

Für die Antriebsleistung wird erneut die Differenz der spezifischen Enthalpien berechnet (Gleichung 0-14):

$$\Delta \Delta h_{SE} = \Delta h_{SE_n} - \Delta h_{SE_{n-1}}\tag{Equation 0-14}$$

Für die Antriebsleistung gilt Gleichung 0-14:

$$P_{D_{SE}} = \dot{m} \ast (\Delta \Delta h_{SE} + \frac{\Delta p}{\rho}) - \dot{Q}\tag{Equation 0-15}$$

Beim Doppelschneckenextruder, der als Schmelzeextruder fungiert und mit einer Schmelze bestückt wird, die aus mehreren Polymeren besteht, muss das Model für einen Schmelzeextruder abgewandelt werden. Das Vorgehen ähnelt dem Model beim Compoundieren. Die einzelnen Enthalpieniveaus der Komponenten werden in einem ersten Schritt bestimmt und dann mit Hilfe der Masseströme gewichtet. Formal ergibt sich Gleichung 0-16.

$$\Delta h_{SE_M} = \frac{\dot{m}_1}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_1} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_1}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \frac{\dot{m}_2}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_2} \cdot (T_M - T_K) + \frac{cp_{m_2}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) + \cdots + \frac{\dot{m}_n}{\dot{m}_{ges}} \left(cp_{0_n} \cdot (T_M - T_K) + \\ \frac{cp_{m_n}}{2} \cdot (T_M^2 - T_K^2)\right) \tag{Gleichung 0-16}$$

Anschließend kann wie beim Schmelzeextruder, der mit einem Polymer bestückt wird, die Differenz der Enthalpieänderung gebildet werden und aus dieser die Antriebsleistung zwischen zwei Stützstellen.

Mit den aufgezeigten Beziehungen können in SIGMA die einzelnen benötigen Antriebsleistungen zwischen zwei Stützstellen beziehungsweise der einzelnen Elemente ermittelt und visualisiert werden. Für die Gesamtleistung müssen abschließend die einzelnen berechneten Elementleistungen aufaddiert werden. Die alleinige Betrachtung beziehungsweise Differenzbildung der Anfangs- und Endenthalpie zur Bestimmung der Leistung, führt in verschiedenen Fällen zu Fehlern. Dies ist Beispielsweiße der Fall, wenn die Schmelzetemperatur während des Extrusionsprozesses durch Füllstoffe einmal abfällt und daraufhin die Schmelze wieder erhitzt wird. Die spätere Erwärmung der Schmelze muss durch neue Energie von außen geschehen. Dies Bedarf eines weiteren Leistungseintrags, der bei reiner Gegenüberstellung von Anfangs- und Endenthalpie vernachlässigt würde.

Das neue Leistungsmodell wurde in SIGMA implementiert und verifiziert. Identisch zu anderen Modellen wurde das neue Leistungsmodell mit den Werten der experimentellen Untersuchungen verglichen, um das Modell zu validieren. Die Abweichungen verschiedenen Prozesspunkte und Materialkombinationen sind im Bild zu sehen.

**Abbildung: **Gegenüberstellung experimentelle Untersuchungen und Simulationen

[Ans93] Ansahl, J.: Grundlagen für die Auslegung dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder, Dissertation Universität Paderborn, 1993

[For87] Fornefeld, A.: Approximationsgleichungen zur Auslegung von Mehrzonen-Plastifiziereinheiten mit Scher- und Mischelementen, Dissertation, Universität Paderborn, 1987

[Kre04] Kretschmer, K.: Untersuchung und Beschreibung des Prozess- und Mischverhaltens von Mischelementen für Gleichdrall-Doppelschneckenextruder, Dissertation, Universität Paderborn, 2004

[KSS81] Kim, W.-S.; Skatschkow, W.-W.; Stungur, J.W.: Experimentelle und theoretische Untersuchungen der Durchsatz-Druck-Kennlinien von Doppelschneckenextrudern, Plaste und Kautschuk, 28(1981)2, 93-100

[Mel98] Melisch, U.: Grundlagen zur Simulation des Förder- und Plastifizierprozesses dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder; Dissertation; Universität Paderborn; 1998

[TG79] Tadmor, Z.; Gogos, C.: Principles of Polymer Processing, John Wiley & Sons, Brisbane, Chichester, Toronto, 1979

[TK78] Tadmor, Z.; Klein, I: Engineering Principles of Plasticating Extrusion, Robert E. Krieger Publishing Company, Huntington, New York, 1978