Die Grundlage für das 2D Modell bildet die Energiegleichung zur Berechnung des radialen Temperaturprofils im Schneckenkanal.

$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v \nabla T\right) = \lambda \nabla^2 T + \tau \nabla v \tag{Gleichung 1}$$

Es erfolgt eine Anpassung der Energiegleichung an das vorhandene offene System, dass die Energie sowie die Masse mit der Umwelt austauschen.

Der Zylinder bewegt sich als ideal geformte Platte über die starre Schnecke hinweg, sodass für die Berechnungen auf ein Rinnenmodell mit kinematischer Umkehr zurückgegriffen werden kann. Durch die differentiale Schreibweise für kartesische Koordinaten ergibt sich mit der genannten Geometrie folgende Funktion für die Energiegleichung. [Sch13]

$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) = -\left(\frac{\partial q_x}{\partial x} + \frac{\partial q_y}{\partial y} + \frac{\partial q_z}{\partial z}\right)$$

$$-T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) - \left(\sigma_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) $$

$$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{Gleichung 2}$$

Die Gleichung setzt sich aus fünf Termen zusammen, welche die folgenden Bedeutungen haben [Ang10]:

• Die linke Seite entspricht der Veränderung der inneren Energie pro Zeit- und Volumeneinheit
• Der erste Term der rechten Seite entspricht der Veränderung pro Volumen- und Zeiteinheit zugeführten Energie durch Wärmeleitung
• Der zweite Term der rechten Seite entspricht dem rückgewinnbaren Anteil an Arbeit pro Volumen- und Zeiteinheit durch Kompression
• Der dritte und vierte Term der rechten Seite entsprechen dem nicht rückgewinnbaren Anteil an Arbeit pro Volumen- und Zeiteinheit infolge Dissipation

Um eine analytische Lösung zu erhalten, muss die Gleichung durch weitere Modellannahmen vereinfacht werden. Außer der Viskosität werden alle Stoffdaten als temperaturunabhängig angenommen.

Zu den oben genannten werden noch weitere Annahmen getroffen [Sch13]:

• Die Strömung ist stationär und laminar schleichend ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$)
• Da die Kunststoffschmelze als inkompressibel ($\rho = konst.$) angesehen wird, verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite der Energiegleichung, wodurch die Betrachtung der Wärmekapazität sich vereinfacht ($c_v = c_p = c$)
• In x- und y-Richtung werden keine Geschwindigkeitskomponenten betrachtet ($v_x = v_y = 0$)
• Der Schneckenkanal ist vollständig mit Schmelze gefüllt und diese ist wandhaftend
• Die Wärmeströme in Kanalrichtung und quer dazu können vernachlässigt werden gegenüber dem Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung ($q_x = q_z = 0$)
• Weil die Kanalhöhe wesentlich kleiner als die Kanalbreite ist ($h << b$), können die Schubspannungen an den Stegen vernachlässigt werden ($\tau_{xz} = 0$)
• Normalspannungen sind ebenfalls vernachlässigbar ($\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = 0$)

Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 2 auf 3 Terme reduziert:

$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial q_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{Gleichung 3}$

Die Summe aus Wärmeleitung in Kanalhöhe und der Energie der Dissipation ergibt den Temperaturanstieg im schmelzegefüllten Kanal in der Kanallängsrichtung.

Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 3 auf die folgende erweitert:

$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + (\overline{\tau \gamma})_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{Gleichung 4}$

Um die Energiegleichung weiter zu vereinfachen werden die dimensionslosen Kennzahlen wie in [Ang10] beschrieben, die Graetz- ($Gz$) und die Brinkmann-Zahl ($Br$), verwendet. Dabei beschreibt die Brinkmann-Zahl das Verhältnis disperser Energie im Schneckenkanal zu der Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung und die Graetz-Zahl die Konvektion in Kanallängsrichtung zur Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung. Zusätzlich werden die dimensionslosen Koordinaten $\xi$, $\zeta$ und die dimensionslose Temperatur $\Theta$ in die Energiegleichung eingesetzt.

$Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{Gleichung 5}$

$Gz = \frac{c \rho v_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda \Delta z} V \tag{Gleichung 6}$

$\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{Gleichung 7}$

$\xi = \frac{\Delta y}{h} \tag{Gleichung 8}$

$\zeta = \frac{\Delta z}{l}\tag{Gleichung 9}$

Bei der geometrischen Berechnung der Graetz- $Gr$ und Brinkmann-Zahl $Br$ werden einige doppelschneckenspezifische Anpassungen vorgenommen. Bei der Ermittlung der Graetz-Zahl $Gr$ fließen die Kanalhöhe $h$ und die Kanalbreite $br$ mit ein. Diese beiden Größen werden durch die mittlere Kanalhöhe $\bar{h}$ und der Kanalbreite $b_{max}$ des Doppelschneckenextruders.

Für die Brinkmann-Zahl $Br$ wird die Viskosität $\eta$ benötigt, diese ist wiederum abhängig von der Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ und wird beeinflusst von der Geometrie des Doppelschneckenextruders. Da im Kanal nicht eine konstante Kanalhöhe $h$ vorliegt, wird mit der mittleren Kanalhöhe $\bar{h}$ die mittlere Schergeschwindigkeit $\bar{\gamma}$ bestimmt, ohne den Einfluss der Schneckenelementeigenschaften (Mischelemente, Scherelemente etc.) zu berücksichtigen. [Kre04]

$\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{Gleichung 10}$

Die Funktion zur Berechnung der Temperatur im schmelzegefüllten Kanal nimmt damit die folgende Form an:

$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp[-\beta(T_z \Theta)]\tag{Gleichung 11}$

Es ist so noch nicht möglich die Gleichung geschlossen zu lösen, da der Exponentialterm abhängig von der Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ist. Durch die folgende Gleichung wird der Exponentialterm bereichsweise linearisiert.

$\exp[-\beta(T - T_0)] = \exp[-\beta(T_z \Theta)] = c_1 - c_2 \beta T_z \Theta \tag{Gleichung 12}$

Diese Geradengleichung unterteilt den Exponentialterm in zwei Bereiche. Der erste Bereich ist abhängig von der radialen Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ($c_1 \beta T_z \Theta$) und der Zweite wiederum von $T$ bzw. $\Theta$ und $c_1$. Die zwei Unbekannten $c_1$ und $c_2$ entstehen aus zwei Gleichungen, welche durch eine Sekante die zwischen der mittleren radialen Temperatur des vorherigen Abschnitts $T_0$ und der Zylinderwandtemperatur $T_z$ die Exponentialfunktion annähert.

In der folgenden Abbildung 1 wird dies anhand eines Beispiels ($\beta = 0.008$ $1/°C$; $T_0 = 190°C$; $T_z = 230°C$) verdeutlicht. [Ang10]

Abbildung 1: Annäherung Exponentialfunktion durch Sekante [Ang10]

Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 10 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [Ang10]:

$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{Gleichung 13}$

Das vorgestellte Differentialgleichungssystem ist in der Ausarbeitung von [Sch13] mit den Randbedingungen der konstanten Zylindertemperatur und einer temperierten Schnecke erfolgreich gelöst worden. Für die Berechnung des Temperaturverlaufs im gleichläufigen Doppelschneckenextruder wurde dieses Modelle entsprechend angepasst. Da die Lösung dimensionslose Temperaturwerte enthält müssen diese noch in Dimensionsbehaftete Werte umgerechnet werden.

Dies erfolgt durch die folgende Gleichung und ergibt die zehn Werte des Profils über der Kanalhöhe.

$T_{0,n}(\zeta) = \Theta_{z,n} T_{z,n} + T_{n-1}\tag{Gleichung 14}$

Abschließend wird das arithmetische Mittel aus den radialen Temperaturwerten gebildet und die mittlere Kanaltemperatur dieses Abschnitts bestimmt. Durch die abschnittsweise Berechnung in SIGMA kann nun der axiale Temperaturverlauf berechnet werden.