Die Temperaturberechnung erfolgt auf der Basis des Rinnenmodells. Folgende Voraussetzungen werden für die Temperaturberechnung gemacht:

• Der Schneckenkanal wird als Flachkanal betrachtet, d.h. $b >> h$. Der Einfluss der Stege kann dadurch vernachlässigt werden.
• Die Schmelze ist wandhaftend.
• Die Strömung ist laminar schleichend und inkompressibel ($c = c_v = c_p$).
• Das Fließverhalten der Schmelze soll dem Potenzgesetz $\tau = K \cdot \dot{\gamma}^n$ folgen.
• Für alle Stoffwerte werden Mittelwerte verwendet (Ausnahme: Viskosität).
• Der Füllgradverlauf wird durch die Einführung der mittleren wirksamen Kanalbreite und Kanaltiefe berücksichtigt.

Unter diesen vereinfachenden Annahmen lautet die beschreibende Differentialgleichung für eine Zone konstanter Geometrie [Pot91] .

$$\rho c V_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + (\overline{\tau \gamma})_0 e^{-\beta(T-T_0)}\tag{1}$$

Die linke Seite beschreibt die Temperaturerhöhung in Kanalrichtung z, der erste Term der rechten Seite berücksichtigt die Wärmeleitung in Kanaltiefenrichtung y. Der zweite Term beschreibt die Dissipationserwärmung, wobei $(\overline{\tau \gamma})_0$ die über den Kanalquerschnitt gemittelte dissipierte Leistung pro Volumeneinheit bei der Temperatur $T_0$ ist.

$$\Theta_0 = \frac{T_0 - T_z}{T_Z} \qquad \xi = \frac{y}{h} \qquad \zeta = \frac{z}{Z}\tag{2}$$

$$Br = \frac{(\tau \gamma)_0 \overline{h}^2}{\lambda T_Z} \approx \frac{K v_0^{1+n} \overline{h}^{1-n}}{\lambda T_Z}\tag{3}$$

$$Gz = \frac{c_p \rho \overline{h} V}{\lambda \overline{b} Z k}\tag{4}$$

Unter Einführung der zusammengefassten dimensionslosen Größen folgt:

$$Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + Br e^{-\beta T_z \Theta}\tag{5}$$

Aufgrund der Exponentialfunktion ist die Differentialgleichung nicht mehr lösbar. In [Pot91], [Koc87], [Sch90] wurde die Exponentialfunktion durch einen Polygonzug dargestellt, so dass bei bereichsweiser Berechnung eine Geradengleichung der Form:

$$e^{-\beta(T-T_0)} = c_1 - c_2 \beta (T - T_0)\tag{6}$$

eingesetzt werden kann. Dies wird im folgenden Bild verdeutlicht.

Abbildung: Annäherung der Exponentialfunktion durch einen Polygonzug [Pot91], [Koc87], [Sch90]

Wird von einer abschnittsweisen Berechnung ausgegangen, so lässt sich die Gleichung weiter vereinfachen, wenn davon ausgegangen wird, dass innerhalb der einzelnen Abschnitte die Temperaturänderungen in Schneckenkanalrichtung klein sind. Dann gilt:

$$\beta \Delta T \to 0\tag{7}$$

Damit folgt:

$$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = -Br\tag{8}$$

Diese Differentialgleichung wurde in [SA90], [CJ59] gelöst. Wenn die Wärmequelle (Scherung) unabhängig von der Koordinate z ist, werden folgende Voraussetzungen verwendet:

• Für das Gebiet $x > 0$ herrscht das Starttemperaturprofil $\Theta(z=0)=\Theta_0=\Theta_{Start}+m*x$ bzw. die gemittelte Starttemperatur $\Theta(z=0)=\Theta_{Start}$ für $m = 0$
• Die Wärmequelle ist pro Koordinateneinheit $\Delta z$ und Volumeneinheit für $z > 0$ als Mittelwert in die Berechnung einzubeziehen.
• Die Zylindertemperatur $T_Z$ ist konstant.

Die Temperatur nähert sich in Richtung Schneckengrund einem Grenzwert (Halbunendlicher Raum). Bei Gleichdrall-Doppelschnecken wird dieser Grenzwert aufgrund der Gangkontur und der „elementweisen“ Diskretisierung an dieser Stelle fast erreicht. Deshalb wirkt sich diese Randbedingung ähnlich aus, wie die Randbedingung adiabate Schnecke, bei der der Grenzwert genau erreicht wird.

Mit den oben genannten Rand- und Anfangsbedingungen gelangt man zu dem Lösungssatz [SA90], [CJ59].

$$\Theta(\zeta, \xi) = \left[\Theta_0 + \frac{Br}{Gz} \zeta + \frac{Br}{Gz} \xi^2\right] \text{erf}\left(\frac{\xi}{2\sqrt{\frac{\zeta}{Gz}}}\right) + Br \xi \sqrt{\frac{\zeta}{Gz}} e^{[-\frac{Gz\xi^2}{4\zeta}]} - \frac{Br}{2} \xi^2\tag{9}$$

$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_Z}{T_Z} = \int_0^1 \Theta(\zeta, \xi)d\xi\tag{10}$$

Jeder Heizzone wird eine konstante Wandtemperatur zugewiesen. Dabei beginnt die Temperaturberechnung jeweils an der Stelle im Schneckenkanal, an der erstmals Schmelze vorliegt. Dies ist am Ort der ersten Schmelzewirbelbildung (OSW) bzw. am Aufschmelzbeginn der Fall.

Die mittlere Starttemperatur $\overline{\Theta}_{Start}$ wird dabei aus der Energiegleichung für den Schmelzefilm an der Zylinderwand für diese Stelle ausgerechnet. Die Energiegleichung für den Schmelzefilm an der Zylinderwand [Pot91], [Sch90] lautet:

$$\lambda_s \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \tau_{yi} \frac{\partial v_j}{\partial y} = 0\tag{11}$$

Mit den Randbedingungen $T(0) = T_{Fl}$ und $T(\delta) = T_Z$ gelangt man zu folgender Lösung:

$$T(\xi) = T_{Fl} + (T_Z - T_{Fl}) \left\{\xi + Br \left[\frac{1}{A^2} \left(\frac{A}{e^A - 1}\right)^{1+n} \left(1 - e^{A\xi} - \xi(1 - e^A)\right)\right]\right\}\tag{12}$$

mit:

$$Br = \frac{K(T_{Fl})v_{rel}^{1+n} \overline{\delta}^{1-n}}{\lambda_s (T_Z - T_{Fl})}\tag{13}$$

und

$$\xi = \frac{y}{\delta}\tag{14}$$

$$A = \frac{\beta(T_Z - T_{Fl})}{n}\tag{15}$$

Daraus lässt sich eine mittlere Temperatur für den Schmelzefilm unter Berücksichtigung des Geschwindigkeitsprofils mit:

$$\overline{T} = T_{Start} = \frac{\int_0^1 v(\xi)T(\xi)d\xi}{\int_0^1 v(\xi)d\xi}\tag{16}$$

und

$$v(\xi) = v_{rel} \frac{e^{A\xi} - 1}{e^A - 1}\tag{17}$$

ausrechnen.

$$T_{Start} = [B \Delta T(A - 1)2e^{2A} - (AB \Delta T e^{2A} + A_3 - A2)]A_4\tag{18}$$

$$B = Br \frac{1}{A^2} \left[\frac{A}{e^A - 1}\right]^{1+n} \qquad \Delta T = T_Z - T_{Fl} A = \frac{\beta}{n} \Delta T\tag{19}$$

$$A_1 = A^2(B + 1) + 3AB + 2(B - 1)\tag{20}$$

$$A_2 = [\Delta T(A(B + 1) + 2B - 1) + AT_{Fl}]2e^A\tag{21}$$

$$A_3 = A^2B \Delta T e^A + \Delta T A_1 + 2AT_{Fl}(A + 1)\tag{22}$$

$$A_4 = \frac{1}{2A(e^A - A - 1)}\tag{23}$$

Als Lösung erhält man die aufgelisteten Gleichungen. Die mittlere Temperatur für den Schmelzefilm ist zugleich die mittlere Starttemperatur für die Temperaturverlaufsberechnung. Unter der Annahme Br = 0 kann die mittlere Starttemperatur mit der vereinfachten Lösung [Pot91], [TK78]:

$$\bar{T}_{\mathrm{start}} = T_{\mathrm{Fl}} + (T_Z - T_{\mathrm{Fl}}) \cdot \frac{\frac{1}{A} - 1 + e^A \left(1 - \frac{1}{A}\right)}{e^A - A - 1}\tag{24}$$

berechnet werden.

In der Abbildung werden die Ergebnisse einiger Modelle zur Schätzung der Temperaturentwicklung mit den Ergebnissen nicht-isothermer Strömungssimulationen verglichen.

**Abbildung: **Vergleich bestehender Modelle zur Schätzung der Schmelztemperatur.

In den Ansätzen von Ansahl [Ans93] und Melisch [Mel98] wird die Temperaturentwicklung unterschätzt. Im Ansatz von Mitterfellner [Mit91] wird sie jedoch überschätzt. Darüber hinaus fällt auf, dass mit zunehmender Kanallänge der Trend, d. h. die Annäherung an eine Grenztemperatur, im Modell von Mitterfellner nicht korrekt dargestellt wird. Die allgemeine Energiegleichung ist die Ausgangsbasis für die Schätzung der Temperatur:

$$\rho \cdot c \left( \frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z} \right) = \left( \frac{\partial \dot{q}_x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{q}_z}{\partial z} \right) $$ $$- T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_{\rho} \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) - \left[ \tau_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \tau_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial x} + \tau_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial x} \right] $$ $$- \left[ \tau_{xy} \left( \frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) + \tau_{zx} \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + \tau_{zy} \left( \frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y} \right) \right] \tag{1}$$

Um eine mathematisch eindeutige und geschlossene Lösung zu erhalten, werden folgende vereinfachende Annahmen getroffen:

• Die Schmelze ist wandhaftend.
• Der Fluss ist stationär, inkompressibel und laminar kriechend ($c = c_v = c_p$).
• Die Fließeigenschaften der Schmelze entsprechen dem Potenzgesetz: $\tau = K \cdot \dot{\gamma}^n$.
• Alle Materialwerte, außer der Viskosität, werden als temperaturinvariant betrachtet. Für Polymerschmelzen ist diese Annahme eine brauchbare Approximation, solange der Temperaturbereich nicht zu groß ist.
• Die dissipierte Energie wird mittels des im Kapitel Schätzung des Leistungsverbrauchs eingeführten Ansatzes berechnet und auf eine Referenztemperatur von $T_\infty$. normiert.
• Für die Temperaturabhängigkeit des Fließgesetzkoeffizienten $K(T)$ erscheint der vereinfachte Arrhenius-Ansatz geeignet: $K(T) = K(T_0) \cdot e^{-\beta(T-T_0)}$
• Das Koordinatensystem liegt auf der Schraubenwurzeloberfläche (siehe Abbildung).

**Abbildung: **Förderkanalmodell zur Schätzung der Temperaturentwicklung im Kanal.

Unter diesen Annahmen vereinfacht sich die Energiegleichung zu: $$\frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\overline{ ({\tau} \cdot {\gamma})_j }}{\rho \cdot c \cdot \bar{v}_{0z}} \cdot e^{-\beta (T - T_j)} \tag{2}$$ Für den Wärmestrom gilt das Fouriersche Gesetz für die Wärmeleitung $$\dot{q}_y = -\lambda \frac{\partial T}{\partial y} \tag{3} $$ Wird die Differentialgleichung normiert, so ergibt sich in Verbindung mit den in der Tabelle definierten dimensionslosen Parametern: $$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta} \tag{4} $$

Tabelle: Dimensionslose Faktoren für die Temperaturschätzung.

Aufgrund des exponentiellen Terms kann die partielle Differentialgleichung (4) nicht analytisch gelöst werden. Entsprechend Melisch [Mel98] wird dieser Term linearisiert. Es ergibt sich die folgende Gleichung: $$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^{2} \Theta}{\partial \xi^{2}} + \frac{Br}{Gz} (C_{1} - C_{2} \cdot \beta \cdot T_{z} \cdot \Theta) \tag {5} $$

Die Faktoren $C_1$ und $C_2$ sind in [Mel98] definiert. Die Lösung dieser Differentialgleichung beschreibt die Temperaturänderung für eine Zone mit konstanter Geometrie sowie invarianten Materialeigenschaften (außer dem Einfluss der Viskosität). Um diesen Anforderungen zu genügen, muss die Schätzung in kleinen Abschnitten durchgeführt werden.

Zur Lösung von der folgenden Gleichung wird die Anfangstemperatur $T_0$ des Berechnungsintervalls als Bezugstemperatur gewählt. Das Koordinatensystem wird auf den Schneckengrund gelegt.

Zur Lösung der Differentialgleichung wird angenommen, dass die Temperaturdifferenzen in einem Intervall $\Delta z$ klein sind. Die zu erwartenden Temperaturausgleichsvorgänge in Kanaltiefenrichtung sind daher für einen Berechnungsabschnitt annähernd konstant und fast unabhängig von der z-Koordinate.

$$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} \approx \frac{\partial^2 \Theta_0}{\partial \xi^2}$$

Somit kann die Änderung des Wärmestromes in $\xi$-Richtung vereinfachend anhand des Anfangstemperaturprofils abgeschätzt wird. Eine mögliche Gleichung zur Beschreibung des Temperaturverlaufs in Kanaltiefenrichtung ist Gleichung (6.20).

$$\Theta_0 = \Theta_z + (K_1 + K_2) \cdot \xi^2 + K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6$$

Folgende Randbedingungen wurden zur Lösung der Differentialgleichung verwendet:

• Es erfolgt kein Wärmeübergang zur Schnecke: $\frac{\partial \Theta}{\partial \xi} = 0$ für $\xi = 0$
• An der Zylinderwand liegt eine vorgegebene Temperatur $T_z$ vor:

$$\Theta(\zeta, \xi = 1) = \Theta_z = \frac{T_z - T_0}{T_z}$$

• Die mittlere Massetemperatur der Schmelze zu Beginn des Berechnungsabschnittes ist bekannt:

$$\int_0^1 \Theta(\zeta = 0, \xi) \cdot d \xi = \frac{T_0 - T_0}{T_z} = 0$$

So erhält man die folgende Lösung von Gleichung:

$$\Theta(\zeta, \xi) = \frac{2 \cdot K_1 - 2 \cdot K_2 + 12 \cdot K_1 \cdot \xi^2 + 30 \cdot K_2 \cdot \xi^4 + Br \cdot C_1}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z} \cdot (1 - \varepsilon)$$

$$+ (\Theta_z + (K_1 - K_2) \cdot \xi^2 +) \cdot K_1 \cdot \xi^4 + K_2 \cdot \xi^6) \cdot \varepsilon$$

mit

$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$

$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$

Die mittlere Temperatur im Kanal berechnet sich mit:

$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}$$

$$\overline{\Theta} = \frac{\overline{T} - T_0}{T_z} = \int_0^1 \Theta(\xi, \zeta) \cdot d \xi$$

zu:

$$\overline{\Theta} = \frac{K_2 \cdot \varepsilon}{7} + \frac{C_1 \cdot (1 - \varepsilon)}{C_2 \cdot \beta \cdot T_z} + \Theta_z \cdot \varepsilon + K_1 \cdot \frac{6 - 6 \cdot \varepsilon + \frac{8}{15} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$

$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$

Für eine erste Verifikation wurden die Modellvorhersagen mit den Ergebnissen von nicht-isothermen Strömungssimulationen verglichen. Die folgende Abbildung zeigt den Vergleich der mittleren Temperaturen. Hier ist eine Verbesserung der Beschreibungsgüte im Vergleich zu den bisher publizierten Modellen festzustellen.

Abbildung: Vergleich der Modellvorhersagen mit Polyflow Ergebnissen für Rechteckkanäle.

Folgendes Bild zeigt einen weiteren Vergleich der berechneten mittleren Temperaturen für einen Doppelschneckenkanal. Auch hier konnte eine gute Übereinstimmung der zwischen den Simulationsergebnissen und den Modellvorhersagen beobachtet werden.

Abbildung: Vergleich des Modells mit Polyflow Ergebnissen für Doppelschneckenkanäle.

Die Temperaturerhöhung im Radialspalt und in den Nuten kann mit dem gleichen Ansatz berechnet werden, mit dem auch die Temperaturerhöhung im Kanal ermittelt wird.

$$\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{1}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot \frac{\partial \dot q}{\partial y} + \frac{\overline{(\tau \cdot \dot{\gamma})}_j}{\rho \cdot c \cdot \overline{v}_{0x}} \cdot e^{-\beta(T-T_i)} $$

Normiert man die Differentialgleichung folgt mit den in der Tabelle definierten dimensionslosen Kenngrößen:

$$\frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{1}{Gz} \cdot \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} e^{-\beta T_z \Theta}$$

Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt analog zum Kanalbereich. Man erhält:

$$\overline{\Theta} = \frac{K_2 \cdot \varepsilon}{7} + \frac{C_1 \cdot (1 - \varepsilon)}{C_2 \cdot \beta \cdot T_z} + \Theta_z \cdot \varepsilon + K_1 \cdot \frac{6 - 6 \cdot \varepsilon + \frac{8}{15} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$

$$+K_2 \cdot \frac{4 - 4 \cdot \varepsilon - \frac{1}{3} \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}$$

mit:

$$K_1 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{147 \cdot (\Theta_z - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot (1 - \varepsilon) + Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (\varepsilon - 1)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$

$$K_2 = \frac{7}{4} \cdot \frac{105 \cdot \Theta_z \cdot (1 - \varepsilon) + 4 \cdot Br \cdot C_2 \cdot (\varepsilon - 1) + Br \cdot Gz \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z \cdot (4 + 11 \cdot \varepsilon)}{231 \cdot (1 - \varepsilon) + 5 \cdot \varepsilon \cdot Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z \cdot \Theta_z}$$

und:

$$\varepsilon = e^{\left(-\frac{Br \cdot C_2 \cdot \beta \cdot T_z}{Gz} \zeta\right)}$$

Dimensionslose Größen für die Temperaturberechnung im Radialspalt und in den Nuten:

Über eine Bilanz von zugeführter und abströmender Enthalpie kann die Kopplung der Temperaturberechnungen von Kanalbereich und Spaltbereich [Ste92] erfolgen.

Abbildung: Kontrollraum für die Enthalpiebilanz zur Berechnung der mittleren Temperatur.

Die Enthalpieänderung im Kontrollraum entspricht der Differenz aus ein-und ausströmender Enthalpie:

$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \dot{H}_{z_1} - \dot{H}_{z_0}$$

Die Änderung resultiert aus der Temperaturerhöhung im Kanal plus der Enthalpieänderung der Strömungen im Radialspalt und in den Nuten.

$$\Delta \dot{H}_{z_0,1} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \Delta \dot{H}_{Spalt} + \Delta \dot{H}_{Nut}$$

mit:

$$\Delta \dot{H}_{zSpalt} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Spalt})$$

$$\Delta \dot{H}_{zNut} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$

$\overline{T}_{z_01,i}$ ist die integral gemittelte Temperatur im Kontrollraum:

$$\overline{T}_{z_01,i} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0}^{z_1} T_{Kanal}(z) \cdot dz$$

Nimmt man vereinfachend an, dass die Isothermen senkrecht zur Schneckenachse verlaufen, kann eine mittlere Temperatur im benachbarten Kanal $\overline{T_{z01,i+1}}$ ermittelt werden:

$$\overline{T_{z01,i+1}} = \frac{1}{\Delta z} \cdot \int_{z_0+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}}^{z_1+\frac{t}{\sin(\varphi_s)}} T_{Kanal}(z) \cdot dz $$

Die gesamte Temperaturerhöhung im Intervall [$z_0$, $z_1$] errechnet sich somit zu:

$$T_{z_1} = \frac{\dot{H}_{z_i}}{c \cdot \rho \cdot \dot{V}_z}$$

mit

$$\dot{H}_{z_i} = \Delta \dot{H}_{z_{0,1}} + \dot{H}_{z_0} = \rho \cdot c \cdot \dot{V}_z \cdot (T_{z1,Kanal} - T_{z,0}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_x \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \rho \cdot c \cdot \dot{V}_{Nut} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$

erhält man schließlich folgende Gleichung zur Berechnung der Temperaturentwicklung:

$$T_{z_1} = T_{z1,Kanal} + \frac{\dot{V}_x}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Steg}) + \frac{\dot{V}_{Nut}}{\dot{V}_z} \cdot (\overline{T_{z01,i+1}} - \overline{T_{z01,i}} + \Delta T_{Nut})$$

Erste Versuche zur Verifikation des Temperaturmodells wurden an einem Doppelschneckenextruder vom Typ ZSK 30 durchgeführt. Als Versuchsmedium diente ein Polypropylen (PP 1100H). Das Polymer wurde in einem Beistellextruder plastifiziert und seitlich dem Doppelschneckenextruder zudosiert.

Da die Eingangstemperatur des Materials nicht genau gemessen werden konnte, wird die in der folgenden Abbildung in der Schneckenkonfiguration eingezeichnete Temperatur $T_1$ als Starttemperatur verwendet. Auf der Basis dieser Temperatur wurde dann die Temperaturentwicklung in Extrusionsrichtung berechnet.

Man erkennt, dass das Modell in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit hinreichender Genauigkeit zu beschreiben.

Abbildung: Vergleich gemessener und berechneter Massetemperaturen in Gewindeelementen.

Die Grundlage für das 2D Modell bildet die Energiegleichung zur Berechnung des radialen Temperaturprofils im Schneckenkanal.

$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v \nabla T\right) = \lambda \nabla^2 T + \tau \nabla v \tag{Gleichung 1}$$

Es erfolgt eine Anpassung der Energiegleichung an das vorhandene offene System, dass die Energie sowie die Masse mit der Umwelt austauschen.

Der Zylinder bewegt sich als ideal geformte Platte über die starre Schnecke hinweg, sodass für die Berechnungen auf ein Rinnenmodell mit kinematischer Umkehr zurückgegriffen werden kann. Durch die differentiale Schreibweise für kartesische Koordinaten ergibt sich mit der genannten Geometrie folgende Funktion für die Energiegleichung [Sch13].

$$\rho c \left(\frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) = -\left(\frac{\partial \dot{q}_x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{q}_z}{\partial z}\right)$$

$$-T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) - \left(\sigma_{xx} \frac{\partial v_x}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial v_y}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) $$

$$-\left[\tau_{xy} \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_y}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right] \tag{Gleichung 2}$$

Die Gleichung setzt sich aus fünf Termen zusammen, welche die folgenden Bedeutungen haben [Ang10]:

• Die linke Seite entspricht der Veränderung der inneren Energie pro Zeit- und Volumeneinheit
• Der erste Term der rechten Seite entspricht der Veränderung pro Volumen- und Zeiteinheit zugeführten Energie durch Wärmeleitung
• Der zweite Term der rechten Seite entspricht dem rückgewinnbaren Anteil an Arbeit pro Volumen- und Zeiteinheit durch Kompression
• Der dritte und vierte Term der rechten Seite entsprechen dem nicht rückgewinnbaren Anteil an Arbeit pro Volumen- und Zeiteinheit infolge Dissipation

Um eine analytische Lösung zu erhalten, muss die Gleichung durch weitere Modellannahmen vereinfacht werden. Außer der Viskosität werden alle Stoffdaten als temperaturunabhängig angenommen.

Zu den oben genannten werden noch weitere Annahmen getroffen [Sch13]:

• Die Strömung ist stationär und laminar schleichend ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$)
• Da die Kunststoffschmelze als inkompressibel ($\rho = konst.$) angesehen wird, verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite der Energiegleichung, wodurch die Betrachtung der Wärmekapazität sich vereinfacht ($c_v = c_p = c$)
• In x- und y-Richtung werden keine Geschwindigkeitskomponenten betrachtet ($v_x = v_y = 0$)
• Der Schneckenkanal ist vollständig mit Schmelze gefüllt und diese ist wandhaftend
• Die Wärmeströme in Kanalrichtung und quer dazu können vernachlässigt werden gegenüber dem Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung ($q_x = q_z = 0$)
• Weil die Kanalhöhe wesentlich kleiner als die Kanalbreite ist ($h << b$), können die Schubspannungen an den Stegen vernachlässigt werden ($\tau_{xz} = 0$)
• Normalspannungen sind ebenfalls vernachlässigbar ($\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = 0$)

Mithilfe der Vereinfachungskriterien wird die Gleichung 2 auf 3 Terme reduziert:

$\rho c v_z \frac{\partial T}{\partial z} = -\frac{\partial \dot{q}_y}{\partial y} - \tau_{yz} \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\tag{Gleichung 3}$

Die Summe aus Wärmeleitung in Kanalhöhe und der Energie der Dissipation ergibt den Temperaturanstieg im schmelzegefüllten Kanal in der Kanallängsrichtung.

Durch Berücksichtigung des fourier'schen Wärmeleitungsgesetzes für den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung und dem Potenzfließgesetz für strukturviskose Fließverhalten von Polymerschmelze mit den Arrhenius-Ansatz wird die Gleichung 3 auf die folgende erweitert:

$\rho c \bar{v}_z \frac{\partial T}{\partial z} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \left(\overline{\tau\dot{\gamma}}\right)_0 e^{-\beta(T-T_0)} \tag{Gleichung 4}$

Um die Energiegleichung weiter zu vereinfachen werden die dimensionslosen Kennzahlen wie in [Ang10] beschrieben, die Graetz- ($Gz$) und die Brinkmann-Zahl ($Br$), verwendet. Dabei beschreibt die Brinkmann-Zahl das Verhältnis disperser Energie im Schneckenkanal zu der Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung und die Graetz-Zahl die Konvektion in Kanallängsrichtung zur Wärmeleitung in Kanalhöhenrichtung. Zusätzlich werden die dimensionslosen Koordinaten $\xi$, $\zeta$ und die dimensionslose Temperatur $\Theta$ in die Energiegleichung eingesetzt.

$Br = \frac{(\overline{\tau \gamma})_0 h^2}{\lambda T_z} \approx \frac{K_{0T} v_0^{1+n} h^{1-n}}{\lambda T_z} \tag{Gleichung 5}$

$Gz = \frac{c \rho \bar{v}_z h^2}{\lambda \Delta z} = \frac{c \rho h}{\lambda b \Delta z} \dot{V} \tag{Gleichung 6}$

$\Theta = \frac{T - T_0}{T_z} \tag{Gleichung 7}$

$\xi = \frac{\Delta y}{h} \tag{Gleichung 8}$

$\zeta = \frac{\Delta z}{l}\tag{Gleichung 9}$

Bei der geometrischen Berechnung der Graetz- $Gr$ und Brinkmann-Zahl $Br$ werden einige doppelschneckenspezifische Anpassungen vorgenommen. Bei der Ermittlung der Graetz-Zahl $Gr$ fließen die Kanalhöhe $h$ und die Kanalbreite $br$ mit ein. Diese beiden Größen werden durch die mittlere Kanalhöhe $\bar{h}$ und der Kanalbreite $b_{max}$ des Doppelschneckenextruders.

Für die Brinkmann-Zahl $Br$ wird die Viskosität $\eta$ benötigt, diese ist wiederum abhängig von der Schergeschwindigkeit $\dot{\gamma}$ und wird beeinflusst von der Geometrie des Doppelschneckenextruders. Da im Kanal nicht eine konstante Kanalhöhe $h$ vorliegt, wird mit der mittleren Kanalhöhe $\bar{h}$ die mittlere Schergeschwindigkeit $\bar{\gamma}$ bestimmt, ohne den Einfluss der Schneckenelementeigenschaften (Mischelemente, Scherelemente etc.) zu berücksichtigen [Kre04].

$\bar{\gamma} = \frac{\bar{h}}{v_0} \tag{Gleichung 10}$

Die Funktion zur Berechnung der Temperatur im schmelzegefüllten Kanal nimmt damit die folgende Form an:

$\frac{\partial \Theta}{\partial \xi} = \frac{1}{Gz} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{Br}{Gz} \exp\left[-\beta(T_Z \Theta)\right]\tag{Gleichung 11}$

Es ist so noch nicht möglich die Gleichung geschlossen zu lösen, da der Exponentialterm abhängig von der Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ist. Durch die folgende Gleichung wird der Exponentialterm bereichsweise linearisiert.

$\exp[-\beta(T - T_0)] = \exp[-\beta(T_z \Theta)] = c_1 - c_2 \beta T_z \Theta \tag{Gleichung 12}$

Diese Geradengleichung unterteilt den Exponentialterm in zwei Bereiche. Der erste Bereich ist abhängig von der radialen Temperatur $T$ bzw. $\Theta$ ($c_1 \beta T_z \Theta$) und der Zweite wiederum von $T$ bzw. $\Theta$ und $c_1$. Die zwei Unbekannten $c_1$ und $c_2$ entstehen aus zwei Gleichungen, welche durch eine Sekante die zwischen der mittleren radialen Temperatur des vorherigen Abschnitts $T_0$ und der Zylinderwandtemperatur $T_z$ die Exponentialfunktion annähert.

In der folgenden Abbildung 1 wird dies anhand eines Beispiels ($\beta = 0.008$ $1/°C$; $T_0 = 190°C$; $T_z = 230°C$) verdeutlicht [Ang10].

Abbildung 1: Annäherung Exponentialfunktion durch Sekante [Ang10]

Zusammengefasst ergibt die Linearisierung mit der Gleichung 10 die analytisch lösbare vereinfachte Energiegleichung für die radiale Temperatur (für $0 \leq \xi \leq 1$ und $0 \leq \zeta \leq 1$) [Ang10]:

$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} - Gz \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} - c_2 \beta T_z Br \Theta = -c_1 Br \tag{Gleichung 13}$

Das vorgestellte Differentialgleichungssystem ist in der Ausarbeitung von [Sch13] mit den Randbedingungen der konstanten Zylindertemperatur und einer temperierten Schnecke erfolgreich gelöst worden. Für die Berechnung des Temperaturverlaufs im gleichläufigen Doppelschneckenextruder wurde dieses Modelle entsprechend angepasst. Da die Lösung dimensionslose Temperaturwerte enthält müssen diese noch in Dimensionsbehaftete Werte umgerechnet werden.

Dies erfolgt durch die folgende Gleichung und ergibt die zehn Werte des Profils über der Kanalhöhe.

$T_{0,n}(\xi) = \theta_{\xi,n} T_{Z,n} + T_{n-1}\tag{Gleichung 14}$

Abschließend wird das arithmetische Mittel aus den radialen Temperaturwerten gebildet und die mittlere Kanaltemperatur dieses Abschnitts bestimmt. Durch die abschnittsweise Berechnung in SIGMA kann nun der axiale Temperaturverlauf berechnet werden.

[Ang10] Anger, K.: „Temperaturmodellierung von temperierten Einschnecken„; Dissertation am Institut für Kunststofftechnik (KTP); Universität Paderborn; 2010

[Ans93] Ansahl, J.: Grundlagen für die Auslegung dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder, Dissertation, Universität Paderborn, 1993

[CJ59] Carslaw, H.S.; Jaeger, J.C.: Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press, Oxford, 1959

[Koc87] Koch, M.: Berechnung und Auslegung von Nutbuchsenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1987

[Kre04] Kretschmer, K.: „Untersuchung und Beschreibung des Prozess- und Mischverhaltens von Mischelementen für Gleichdrall-Doppelschneckenextruder“; Dissertation am Institut für Kunststofftechnik (KTP); Universität

[Mel98] Melisch, U.: Grundlagen zur Simulation des Förder- und Plastifizierprozesses dichtkämmender Gleichdrall-Doppelschneckenextruder; Dissertation, Universität Paderborn, 1998

[Mit91] Mitterfellner, H.: Vergleich verschiedener Lösungen zur Analyse der Schmelzetemperaturentwicklung im Schneckenkanal von Einschneckenextrudern, Studienarbeit, Universität Paderborn, 1991

[Pot91] Potente, H.: Rechnergestützte Extruderauslegung, Kunststofftechnisches Seminar, Paderborn, 1991

[PS92] Potente H.; Schöppner V.: „Skript zur Vorlesung Rechnergestützte Extruderauslegung„; Institut für Kunststofftechnik (KTP); Universität Paderborn; 1992

[SA90] Stenzel, H.; Ansahl, J.: Zur Temperaturberechnung in Ein- und Doppelschneckenextrudern, Universität Paderborn, Paderborn, 1990

[Sch13] Schadomsky, M.: „Weiterentwicklung eines mathematischen Modells zur Bestimmung der Temperaturverteilung intern temperierter Einschneckenextruder“; Studienarbeit am Institut für Kunststofftechnik (KTP) ; 2013

[Sch90] Schulte, H.: Grundlagen zur verfahrenstechnischen Auslegung von Spritzgießplastifiziereinheiten, Dissertation, Universität Paderborn, 1990

[Ste92] Stenzel, H.: Grundlagen zur Verfahrenstechnischen Auslegung von Barriereschnecken in Glattrohr- und Nutbuchsenextrudern, Dissertation, Universität Paderborn, 1992

[TK78] Tadmor, Z.; Klein, I.: Engineering Principles of Plasticating Extrusion, Publishing Company, Huntington, NY, 1978