Eine geschlossene mathematische Behandlung der oben allgemein formulierten, isothermen Strömungen in Schneckenmaschinen erfordert eine zum Teil erhebliche Restriktion des gegebenen Differentialgleichungssystems durch Modellannahmen und -voraussetzungen.

Für die hier aufgezeigte Modellbildung für gleichläufige, dichtkämmende Doppelschneckenextruder soll von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:

• Die Schneckengeometrie wird durch das ebene Rinnenmodell beschrieben
• Der Schneckenkanal ist vollständig mit Schmelze gefüllt (Füllgrad $f = 1$)
• Die Strömung ist stationär und voll entwickelt
• Die Strömung ist laminar
• Die Schmelze ist inkompressibel
• Einlauf- und Auslaufeffekte werden vernachlässigt
• Die Schmelze ist wandhaftend
• Gravitationseinflüsse werden vernachlässigt
• Normalspannungen werden vernachlässigt
• Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Zylinderfläche werden nicht berücksichtigt

Eine analytische Behandlung der Schmelzeförderung in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern wird durch die selbstreinigende Schneckenkanalgeometrie erschwert, da diese mathematisch nur abschnittsweise beschrieben werden kann. Aus diesem Grund wurde von Ansahl [Ans93] die reale Kanalkontur durch eine flächengleiche, rechteckförmige Kanalkontur ersetzt, wie es in Einschneckenextrudern üblich ist.

Für den Fall einer eindimensionalen newtonischen Strömung soll im folgenden ein analytischer Vergleich der Strömungen im flächengleichen Rechteckkanal und in der realen Kanalgeometrie von dichtkämmenden Doppelschneckenextrudern vorgenommen werden.

Abbildung: Koordinatensystem für die Analyse der Schmelzeförderung

Die Bewegungsgleichung reduziert sich bei Verwendung der oben stehenden Voraussetzungen, der Kontinuitätsgleichung und des im Bild angegebenen Koordinatenursprungs zu

$$-\frac{\partial p}{\partial z} = \eta \cdot \frac{\partial^2 v_z}{\partial y^2} = 0$$

Als Lösung dieser Gleichung erhält man das Geschwindigkeitsprofil im Schneckenkanal,

$$v_z(x,y) = \frac{1}{2\eta} \cdot \frac{\Delta p}{\Delta z}[y^2 + h(x) \cdot y] + v_{0z} \left[1 + \frac{y}{h(x)}\right]$$

wobei $v_{0z}$ die Geschwindigkeitskomponente der Umfangsgeschwindigkeit in Schneckenkanalrichtung ist und $h(x)$ das Kanalprofil beschreibt.

Im Gegensatz zum Kanalprofil von Einschneckenextrudern, wo das Geschwindigkeitsprofil bei derartiger Betrachtung nur eine Funktion der Kanalhöhenkoordinate ist, ist bei Doppelschneckenextrudern das Geschwindigkeitsprofil zusätzlich eine Funktion der Koordinate in Kanalbreitenrichtung.

Durch Integration über die Querschnittsfläche erhält man den Volumenstrom.

$$\dot{V} = \int_{-b_{max}/2}^{\frac{b_{max}}{2}} \int_{-h(x)}^{0} v_z(x,y)dxdy$$

Diese Integration ist nur noch für den Rechteckkanal mit $h(x) = \text{konst.}$ analytisch durchführbar. Für den Doppelschneckenkanal muss dieses Integral numerisch gelöst werden.

Durch Einführung des dimensionslosen Volumenstromes

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot v_{0z} b_{max} \bar{h}}$$

und des dimensionslosen Druckgradienten

$$\pi_p = \frac{\bar{h}^{1+n} \cdot \Delta p}{6K v_{0z}^n \cdot \Delta z}$$

ist eine dimensionslose Darstellung und somit ein Vergleich der beiden Kanalprofile möglich.

Folgendes Bild zeigt die dimensionslosen Volumenströme über den dimensionslosen Druckgradienten für den eindimensionalen newtonischen Strömungsfall. Die beschreibende Gerade für den Rechteckkanal schneidet die Achsen aufgrund der Normierung jeweils beim Wert Eins.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten unterschiedlicher Kanalprofile am Beispiel einer eindimensionalen newtonischen Strömung

Die Gerade für den Doppelschneckenkanal schneidet die Gerade für den Rechteckkanal im Punkt $\pi_{pS}$. Unterhalb dieses Schnittpunktes im Bereich $\pi_p < \pi_{pS}$ ergeben sich für den Doppelschneckenkanal größere dimensionslose Volumenströme, oberhalb dieses Schnittpunktes hingegen kleinere dimensionslose Volumenströme als beim Rechteckkanal.

Berücksichtigt man die Strömungsprofile im Schneckenkanal bei der Berechnung des Gesamtvolumenstromes, so ist ersichtlich, dass im Bereich, in dem die Kanaltiefe des Doppelschneckenextruders größer ist als die mittlere Kanaltiefe des flächengleichen Rechteckkanals, der Hauptanteil des Materials transportiert wird. Im Falle kleiner Druckgradienten überwiegt in diesem Bereich der Schleppströmungsanteil, im Falle großer Druckgradienten die Rückströmung, die den Gesamtvolumenstrom reduziert.

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) ist ein Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen. Dabei wird ein Kontinuum mit unendlich vielen Freiheitsgraden durch eine Summe aneinander grenzender Teilgebiete, die Finiten Elemente, mit einer endlichen Anzahl von Unbekannten ersetzt. Die Lösung der Differentialgleichungen für das Gesamtsystem ergibt sich dann aus den Einzellösungen der Finiten Elemente [Chu82].

Bei der Beschreibung isothermer Strömungsvorgänge mit Hilfe der FEM bilden die Bilanzgleichungen und die Konstitutivgleichung ebenfalls die Grundlage. Zur vollständigen Beschreibung müssen in jedem Kanalabschnitt die kinematischen und thermodynamischen Größen bekannt sein, was durch die Verknüpfung der Bilanzgleichungen mit der Konstitutivgleichung erreicht wird.

Das benutzte Finite Element Programm POLYFLOW [NN93] ist speziell für die Simulation von viskosen und viskoelastischen Strömungen entwickelt worden. Die Strömung kann isotherm und nicht-isotherm, zwei-, zweieinhalb- oder dreidimensional, stationär oder instationär berechnet werden. Das Fließverhalten der Kunststoffschmelzen kann durch unterschiedliche Ansätze berücksichtigt werden.

Analog zu der analytischen Betrachtung sind auch hier Modellvereinfachungen zur Reduzierung des Rechenaufwands notwendig. Für die durchgeführte numerische Analyse der Schmelzeströmung in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern gelten dieselben Voraussetzungen wie im analytischen Fall, mit der Ausnahme, dass hier ein zweieinhalbdimensionales Strömungsfeld berechnet wird. Nachstehendes Bild zeigt die Schneckenkanalgeometrie für ein-, zwei- und dreigängige Schneckenelemente mit den für die Simulation benutzten Netzkonfigurationen. Das strukturviskose Fließverhalten der Kunststoffschmelze wurde durch das zweiparametrige Potenzfließgesetz beschrieben.

Abbildung: Verwendete Netzkonfiguration und berechnete Stromlinien von ein-, zwei- und dreigängigen Schneckenelementen

Als Ergebnis der isothermen Simulationsrechnung erhält man bei Vorgabe des Kanalvolumenstromes das mehrdimensionale Strömungsfeld (Bild 5.3) und den sich in Kanalrichtung einstellenden Druckgradienten. Mit den in den Gleichungen (5.7) und (5.8) angegebenen dimensionslosen Kenngrößen lassen sich die Ergebnisse wieder in dimensionsloser Form darstellen. Bild 5.4 zeigt den Vergleich zwischen dem flächengleichen Rechteckkanal und dem realen Doppelschneckenkanal bei Betrachtung einer zweieinhalbdimensionalen strukturviskosen Strömung.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten unterschiedlicher Kanalprofile für eine zweieinhalbdimensionale strukturviskose Strömung

Auch für den mehrdimensionalen Strömungsfall ist die gleiche Tendenz der sich schneidenden Druck-Durchsatzkennlinien wie für den analytischen Fall zu erkennen. Besonders große Differenzen ergeben sich für Rückförderelemente.

Es bestehen demnach nicht unerhebliche Unterschiede zwischen dem Strömungsverhalten in realen Doppelschneckenkanälen und den bisher modellierten Rechteckkanälen. Eine Berücksichtigung der exakten Kanalgeometrie für eine umfassende Prozesssimulation von Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern erscheint daher erforderlich.

Die Finite Element Methode ist ein geeignetes Verfahren zur Beschreibung des mehrdimensionalen Strömungsfeldes und zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens von Schneckenmaschinen. Die Anwendung derartiger Verfahren ist jedoch begrenzt auf die Analyse von Schneckenabschnitten, in denen konstante geometrische und physikalische Randbedingungen vorliegen. Eine vollständige Simulation einer Schneckenanordnung mit kommerziellen FE-Programmen ist derzeit nicht möglich.

Eine analytische Behandlung des Gleichdrall-Doppelschneckentextruders besitzt den Vorteil der Einfachheit und Geschlossenheit der Berechnungsgleichungen. Aufgrund der starken Vereinfachungen bei der Modellbildung ergeben sich aber nur geringe Übereinstimmungen mit Experimenten.

Um dennoch zu einer geschlossenen Lösung mit akzeptabler Berechnungsgüte zu gelangen, wie sie für eine umfassenden Prozesssimulation benötigt wird, eignet sich die Methode der Approximation von Ergebnissen zuvor durchgeführter FE-Berechnungen. Eine Übertragung von numerischen Ergebnissen innerhalb der Variationsbreite auf nicht simulierte Maschinen- und Prozessgrößen ist durch die im Kapitel 3.4 angegebene dimensionslose Betrachtung möglich.

Der dimensionslose Volumenstrom und der dimensionslose Druckgradient $\pi_p$ werden hierzu in der Form

$$\pi_V = f(\pi_p)$$

dargestellt. Dieser Zusammenhang wurde bisher für verschiedene Modellannahmen untersucht.

Für eine zweieinhalbdimensionale Strömung in rechteckförmigen Schneckenkanälen wurde von Potente [Pot83] auf Grundlage numerischer Berechnungen eine Approximationsgleichung des dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinienfeldes aufgestellt. Die Approximation basiert auf einem leicht handhabbaren linearen Ansatz.

$$\pi_V = Y_1 - Y_2 \cdot \pi_P$$

Die Konstanten $Y_1$ und $Y_2$ berücksichtigen den Querströmungs- und Stegeinfluss.

Das Druck-Durchsatzdiagramm für den zweidimensionalen Fall ist im Bild [Tad79] zusammen mit der Approximation (gestrichelte Linien) und deren Gültigkeitsbereich wiedergegeben. Aufgrund des linearen Charakters der Approximation ergeben sich bei kleinen Fließexponenten zum Teil gravierende Abweichungen zu den numerischen Werten.

Abbildung: Dimensionsloser Volumenstrom in Abhängigkeit vom dimensionslosen Druckgradienten (zweidimensionale Strömung im Rechteckkanal) [Tad79]

Der Gültigkeitsbereich von Approximationsgleichungen ist primär beschränkt auf die Variationsbreite von Einflussgrößen bei der numerischen Simulation. Die für Gleichdrall-Doppelschneckenextruder auftretenden Einflussgrößen sind die Gangzahl $i$, das Achsabstandsverhältnis (center line ratio) $CL = a/(D_S/2)$, sowie bei förderaktiven und förderpassiven Schneckenelementen das Gangsteigungsverhältnis $t/D_S$. Als materialabhängige Einflussgröße kommt der Fließexponent $n$ hinzu.

Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

• Gangzahl: $1 \leq i \leq 3$
• Gangsteigung: $0.5 \leq t/D_S \leq 3$ (Förderelemente)
• $0.5 \leq t/D_S \leq 2$ (Rückförderelemente)
• Achsabstand: $1.65 \leq CL \leq 1.85$
• Fließexponent: $0.2 \leq n \leq 1$

Hierbei ist zu beachten, dass nur solche Kombinationen berücksichtigt wurden, die ein dichtkämmendes Schneckenprofil ergeben. Insgesamt ergab sich eine Anzahl von 14496 Datenpunkten.

Durch die Approximation sollte eine möglichst exakte Beschreibung der numerischen Werte über der gesamten Variationsbreite erfolgen. Aufgrund der angestrebten leichten mathematischen Handhabbarkeit der Gleichungen ergab sich die Bedingung, den Polynomgrad möglichst niedrig zu halten. Weiterhin sollte das bestehende Leckströmungsmodell mit in die Druckgradientenberechnung integriert werden können. Hieraus ergab sich die Notwendigkeit, den dimensionslosen Volumenstrom als Funktion des dimensionslosen Druckgradienten zu ermitteln sowie die Invertierbarkeit der beschreibenden Gleichungen.

Um diesen Bedingungen zu genügen, wurde das Kennlinienfeld in drei Bereiche unterteilt, die sich jeweils mit Polynomansätzen zweiten bzw. dritten Grades approximieren lassen:

Förderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_{0P} + c_{1P} \cdot \pi_P + c_{2P} \cdot \pi_P^2 + c_{3P} \cdot \pi_P^3$$

Förderelement, $\pi_P \leq 0$: $$\pi_V = c_{0N} + c_{1N} \cdot \pi_P + c_{2N} \cdot \pi_P^2 + c_{3N} \cdot \pi_P^3$$

Rückförderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_0 + c_1 \cdot \pi_P + c_2 \cdot \pi_P^2$$

Diese Polynome wurden dem Verlauf der Kennlinien durch bestimmte Randbedingungen angepasst.

Abbildung: Lage der Randbedingungen für Förder- und Rückförderelemente

Das Bild zeigt die Lage der Randbedingungen für den positiven und negativen Bereich der Förderelemente und für den Bereich Rückförderelemente. Um Verwechslungen zwischen den Randbedingungen der einzelnen Bereiche auszuschließen, wurden sie vollständig durchnumeriert. Beginnend mit R0 für die Randbedingung 1 im positiven Förderbereich bis zu R9 für die Randbedingung 3 im Rückförderbereich. R0F bezeichnet die Randbedingung 1 im positiven Förderbereich und R0R die Randbedingung 1 im Rückförderbereich.

Die Randbedingungen des Polynoms für den positiven Förderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_P(\pi_V = 0) = \pi_{P0}$

Randbedingung 2: Steigung am Wendepunkt $\pi_{\dot{v}W} $

Randbedingung 3: Lage des Wendepunktes $\pi_{PW}$

Randbedingung 4: $\pi_V(\pi_P = 0) = \pi_{V0}$

Randbedingung 5: $\pi_V(\pi_P = 0.15) = \pi_{V15}$

Hierbei ist R1 der Abszissenschnittpunkt, R4 der Ordinatenschnittpunkt der Kennlinie und R3 der Funktionswert an der Stelle $\pi_P = 0.15$ im dimensionslosen Druck-Durchsatz-Diagramm.

Die Randbedingungen des Polynoms für den negativen Förderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_V(\pi_P = 0) = \pi_{V0}$

Randbedingung 2: $\pi_P(\pi_V = 1.0) = \pi_{P10F}$

Randbedingung 3: $\pi_P(\pi_V = 1.5) = \pi_{P15}$

Randbedingung 4: $\pi_P(\pi_V = 2.0) = \pi_{P20}$

R2 bis R4 sind Funktionswerte an den Stellen $\pi_V = 1.0$, 1.5 und 2.0. Die Randbedingung R1 ist für beide Bereiche der Förderelemente identisch, und stellt damit einen stetigen Verlauf der Kennlinien beim Übergang vom positiven in den negativen $\pi_P$-Bereich sicher.

Die Randbedingungen des Polynoms für den Rückförderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_P(\pi_V = 0) = \pi_{P0}$

Randbedingung 2: $\pi_P(\pi_V = 1.0) = \pi_{P10R}$

Randbedingung 3: $\pi_V'(\pi_V = 1.0) = \pi_{V'10}$

R2 ist der Funktionswert an der Stelle $\pi_V = 1.0$ und R3 die Steigung an dieser Stelle.

Da die FE-Simulation nicht für alle Randbedingungen Druck-Durchsatz-Wertepaare liefert, mussten die fehlenden Wertepaare aus numerisch differenzierbaren Funktionen ermittelt werden. Es handelt sich dabei für die Kennlinien der Förderelemente um die Steigung an der Wendestelle $\pi_{\dot{v}W} $, , die Lage der Wendestelle $\pi_{PW}$, den Ordinatenschnittpunkt $\pi_{V0}$ und den Funktionswert bei $\pi_P = 0.15$ ($\pi_{V15}$). Für die Rückförderelemente ist es die Steigung bei $\pi_V = 1.0$ ($\pi_{V'10}$).

Die Güte der Approximation des Kennlinienfeldes ist von der Güte der Approximation der Randbedingungen abhängig. Die Randbedingungen müssen dabei die Abhängigkeiten der Einflussgrößen wiedergeben. Bei der Aufstellung der Approximationsgleichungen für die Randbedingungen wurde jede Einflussgröße gesondert untersucht. Auf diese Weise kann für jede Einflussgröße ein funktioneller Zusammenhang, im folgenden als Basisfunktionen bezeichnet, ermittelt werden. Die eigentliche Approximationsgleichung wird dann durch rekursives Einsetzen der Basisfunktionen ineinander erzeugt.

Die gewählte rekursive Vorgehensweise erzeugt mit den gewählten Basisfunktionen für jede der neun Randbedingungen eine Gleichung mit maximal 54 Koeffizienten.

Um eine Aussage über die Qualität der aufgestellten Approximationsgleichungen machen zu können, müssen die numerischen Werte aus der FE-Simulation mit den approximierten Werten verglichen werden. Für eine Abschätzung der praktischen Anwendbarkeit der Gleichungen muss darüber hinaus ein Vergleich mit experimentellen Daten vorgenommen werden.

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer dimensionsloser Druck-Durchsatz-Kennwerte

Das Bild zeigt beispielhaft den Vergleich zwischen numerischen und approximierten dimensionslosen Druck-Durchsatz-Kennwerten. Die approximierten Kennlinien (durchgezogene Linien) wurden für die gleichen Volumenströme wie die numerischen (Symbole) berechnet. Für den positiven Wertebereich der Förderelemente ist eine gute Anpassung zu erkennen. Geringfügige Abweichungen sind erst im negativen Bereich für große dimensionslose Durchsätze feststellbar. Diese Abweichungen, besonders bei Potenzgesetzexponenten $n > 0.7$, zu beobachten, sind auf die Wahl der Randbedingungen zurückzuführen.

Im Bereich der Rückförderelemente ist die Anpassung ebenfalls gut. Für jede beliebige Kombination der Einflussgrößen innerhalb der Variationsbreite zeigen sich vergleichbar gute Übereinstimmungen.

Im nächsten Bild wird für das Material Polypropylen und in dem darauffolgenden Bild für das Material Polystyrol ein Vergleich gemessener und approximierter Kennwerte dreigängiger Förderelemente einer RZE 85 vorgenommen. Zur besseren Orientierung sind jeweils die approximierten Kennlinien für den errechneten oberen bzw. unteren Potenzgesetzexponenten n, abhängig von der Schergeschwindigkeit, wiedergegeben.

Die experimentellen Werte liegen auf oder etwas rechts der approximierten Kennlinie, folgen ihr aber tendenziell. Das bedeutet, dass durch die Simulation und Approximation das Druckaufbauvermögen von Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern leicht unterschätzt wird.

Abbildung: Vergleich approximierter und experimenteller dimensionsloser Druck-Durchsatz Kennwerte für das Material Polypropylen

Abbildung: Vergleich approximierter und experimenteller dimensionsloser Druck-Durchsatz-Kennwerte für das Material Polystyrol

Dem theoretischen Dichtprofil sind durch die Fertigung Grenzen gesetzt. So existieren zwischen der Zylinderwand und den Schneckenstegen Spalte, durch die Schmelze in benachbarte Schneckenkanäle strömt. Ein Modell zur Berücksichtigung dieser Spaltströme wird in [Ans93] unter Anbindung des für den Leckstrom wirksamen Druckgradienten an den Druckgradienten in Schneckenkanalrichtung erläutert.

Die Bilanz der Kanal- und Leckvolumenströme unter Verwendung des ebenen Rinnenmodells führt zu:

$$\dot{V}_{ges} = k\dot{V}_z \mp \dot{V}_x$$

Hierbei ist $\dot{V}_{ges}$ der Volumenstrom, der dem System durch die Dosierung aufgezwungen wird, $\dot{V}_z$ der Kanalvolumenstrom und $\dot{V}_x$ der Leckvolumenstrom. $k$ ist die Anzahl der parallelen Schneckenkanäle. Das positive Vorzeichen in der obigen Gleichung gilt für fördernde Schneckenelemente und das negative für rückfördernde Elemente. Die Gleichung kann durch Division durch den Schleppströmungsanteil in dimensionsloser Form angegeben werden.

$$\pi_{V,Kanal} = \pi_{V,z} \mp \pi_k \pi_{V,x}$$

$\pi_k$ ist eine dimensionslose Geometriekonstante, welche die Spaltlänge und die Spaltweite $s_R$ beinhaltet.

$$\pi_k = \frac{(2\pi - \Omega)D_S \cos \varphi_S s_R \tan \varphi_S}{b_{max} \bar{h}}$$

Die Beschreibung des dimensionslosen Kanalvolumenstromes kann mit den Approximationsgleichungen als Funktion des dimensionslosen Druckgradienten $\pi_P$ erfolgen. Für das Überströmen der Schneckenstege kann vereinfacht eine eindimensionale strukturviskose Strömung angenommen werden, die durch einen linearen Zusammenhang der Form [Ans93]

$$\pi_{V,x} = C_{0x} - C_{1x}\pi_P$$

beschrieben werden kann. Die Konstanten $C_{0x}$ und $C_{1x}$ sind abhängig von der zu berechnenden Schneckenelementart. Für Förderelemente gilt [Pot83]:

$$C_{0x} = 1 \qquad C_{1x} = \frac{1}{n^{0.94}}$$

und für Rückförderelemente [NN93] :

$$C_{0x} = -\frac{(0.31 + 0.69n)}{n} e^{1-n} \qquad C_{1x} = \frac{1}{n} e^{1-n}$$

Man erhält somit für die zusammengefassten Strömungskomponenten gemäß Gleichung (5.17) die folgenden Bestimmungsgleichungen:

Förderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_{V,ges} = c_{0P} - \pi_k c_{0x} + (c_{1P} + \pi_k c_{1x}) \cdot \pi_P + c_{2P} \cdot \pi_P^2 + c_{3P} \cdot \pi_P^3$$

Förderelement, $\pi_P \leq 0$: $$\pi_{V,ges} = c_{0N} - \pi_k c_{0x} + (c_{1N} + \pi_k c_{1x})\pi_P + c_{2N}\pi_P^2 + c_{3N}\pi_P^3$$

Rückförderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_0 - \pi_k c_{0x} + (c_1 + \pi_k c_{1x})\pi_P + c_2\pi_P^2$$

Diese Gleichungen lassen sich nach dem gesuchten dimensionslosen Druckgradienten auflösen, wobei zu beachten ist, dass mehrere Lösungen bestehen. Da jedoch nur eine reelle Lösung im gesuchten Intervall existiert, lässt sich diese leicht ermitteln.

Abbildung: Vergleich von Druck-Durchsatzkennlinien von Förderelementen mit und ohne Berücksichtigung der Leckströmung

Abbildung: Vergleich von Druck-Durchsatzkennlinien von Rückförderelementen mit und ohne Berücksichtigung der Leckströmung

Die Bilder zeigen den Einfluss der Leckströmung in der Darstellung dimensionsloser Druck-Durchsatzkennlinien für Förder- und Rückförderelemente. Die Darstellungen beziehen sich auf die Geometriedaten für den ZSK-30 mit einem Radialspalt von $s_R = 0.075$ mm und einer Gangsteigung von 20 mm. Der Einfluss der Leckströmung ist bei reiner Schleppströmung ($\pi_P = 0$) am größten und nimmt mit zunehmenden $\pi_P$ ab. Aufgrund der Überlagerung eines Polynoms für das Kanalverhalten mit einer linearen Kennlinie für den Leckstrom kommt es zu einer Überschneidung der Kennlinien für kleine Fließgesetzexponenten.

Förderneutrale Knetelemente stellen hinsichtlich ihres Förderverhaltens einen Sonderfall dar. Aufgrund der Anordnung benachbarter Knetscheiben um den Versatzwinkels von $\alpha = \pi / i$ bildet sich keine bevorzugte Förderrichtung aus. Für die Analyse des rheologischen Verhaltens müssen sie deshalb getrennt behandelt werden. Die Vorgehensweise entspricht dabei der bei förderaktiven Schneckenelementen.

Grundlage der FE-Simulation bildet auch hier das ebene Rinnenmodell. Es wird zusätzlich davon ausgegangen, dass die Materialförderung identisch ist mit der Förderung in hintereinandergeschalteten Kanalsegmenten. Hieraus ergibt sich die Möglichkeit der zweieinhalbdimensionalen Simulation des Förderverhaltens.

Nachfolgende Abbildung zeigt die abgewickelte Kanalkontur mit der für die Simulation verwendeten Netzkonfiguration.

Abbildung: Verwendete Netzkonfiguration für förderneutrale Knetelemente

Die Ergebnisse der FE-Simulation lassen sich durch einen dimensionslosen Ansatz der Form

$$\pi_{PFN} = f(\pi_{\dot{V}FN}, n)$$

darstellen, wobei

$$\pi_{\dot{V}FN} = \frac{\dot{V}}{A_{Kanal}v_0}$$

der dimensionslose Durchsatz und

$$\pi_{PFN} = \frac{A_{Kanal}\frac{1+n}{n} \Delta p}{v_0^n K_{0T} \cdot L}$$

der dimensionslose Druckgradient ist.

Folgendes Bild zeigt beispielhaft die Ergebnisse der FE-Simulation (Symbole) für verschiedene Fließgesetzexponenten n.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten förderneutraler Knetelemente

Für Newtonische Schmelzen ($n=1$) ergibt sich ein linearer Zusammenhang. Die vom bewegten Zylinder hervorgerufene Zirkulationsströmung hat hierbei keinen Einfluss auf die Kanalhauptströmung. Das Newton'sche Verhalten lässt sich in guter Näherung mit

$$\pi_{PFN,N} = \pi_\dot{V} \cdot (a_1 CL^3 + a_2 CL^2 + a_3)$$

approximieren. Die Kurven für strukturviskoses Materialverhalten ($n<1$) lassen sich durch die Gleichung

$$\pi_{PFN} = \pi_{PFN,N}^{n^{0,5}}(1 - n)\Delta\pi_P$$

mit

$$\pi_P = \left(\pi_\dot{V} \frac{a_4}{CL^5} - a_5\right)\pi_\dot{V}^4 \frac{n}{CL^3} + \left(a_6n + a_7n^{\frac{1}{5}}CL^2 + \pi_\dot{V}^{\frac{3}{2}}a_8n^5CL^6\right)\pi_\dot{V}^{\frac{1}{2}}CL^4$$

$$+ \left[\left(\pi_\dot{V}^{2}a_9CL^{\frac{1}{2}} + a_{10}CL^4\right)\pi_\dot{V} + \pi_\dot{V}^n a_{11}n^4 + \pi_\dot{V}^{\frac{n}{5}}a_{12}\right]nCL$$

beschreiben. Die Konstanten $a_1$ bis $a_{12}$ sind in folgender Tabelle angegeben.

$a_1 = 370$ $a_2 = -873.733$ $a_3 = 2.49\pi^5$ $a_4 = 363$

$a_5 = -113$ $a_6 = 2.6$ $a_7 = -0.3083$ $a_8 = 1/22.5$

$a_9 = 13.3$ $a_{10} = -1.749$ $a_{11} = 2.928$ $a_{12} = 0.6589$

Abbildung: Konstanten für die Berechnung des dimensionslosen Druckgradienten förderneutraler Knetelemente

Der Gültigkeitsbereich von der Gleichung ist abhängig vom Achsabstandsverhältnis (center line ratio). Es gilt für den Bereich $CL \leq 1.75$

$$0 \leq \pi_{VFN} \leq 2$$

und für $1.75 < CL \leq 1.85$:

$$0 \leq \pi_{VFN} \leq 3$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer dimensionsloser Druckgradienten für förderneutrale Knetelemente

Bei der Verwendung des Rinnenmodells wurde der komplizierte Zwickelbereich durch ein parallelogrammförmiges, gerades Prisma ersetzt. Da die Abwicklung an der Zylinderwand vorgenommen wird, befindet sich der Zwickel in diesem Modell unterhalb der freien Kanalabschnitte. Eine ebene Vergrößerung dieses Bereiches zeigt folgende Abbildung.

Abbildung: Schematische Darstellung des Zwickelbereiches als Kanalverengung

$Z_{ei}$ wird mit:

$$Z_{ei} = \frac{L_{ei}}{\sin(\varphi_s)}$$

berechnet. Der Vergleich bei der Betrachtung der theoretischen Volumina $V_{fr1}$

$$A_r = A_{zw}L_{Ele}$$

($A_{fr}$ nach Gl.(3.8)) mit den nach dem Rinnenmodell der Kanalabschnitte berechneten theoretischen Volumina $V_{fr2}$

$$V_{fr2} = k\bar{h}[b_{max}Z_{fr} + (b_{max}-e_{max})Z_{ei}]$$

zeigt für realistische Quotienten aus Achsabstand zu Schneckenaußendurchmesser und einer Gangzahl von bis zu $i = 3$ je nach Geometrieverhältnissen Abweichungen, die unter ca. +/- 3 Vol% liegen, d.h.:

$$V_{fr1} \approx V_{fr2}$$

Dadurch, dass der Zwickel zusätzlich als Kanalverengung der Länge $Z_{ei}$ mit in das Modell einbezogen wird, wird der Widerstand, den der Zwickel auf die Kanalströmung ausübt, berücksichtigt. Dieser Zwickelwiderstand ist für eingängige Profile groß, da sich große Stegbreiten ausbilden. Er darf aus diesem Grund bei der Ermittlung der Durchsatzkennlinie nicht gänzlich vernachlässigt werden.

Betrachtet man das Ergebnis einer dreidimensionalen Strömungssimulation in einem Förderelement, so erhält man das in Bild 5.17 dargestellte Geschwindigkeitsprofil. Man kann deutlich zwei wesentlich Bereiche unterschieden. Im Eingriffsbereich sind hohe positive axiale Geschwindigkeiten zu finden, während in allen anderen Bereichen deutlich geringere, hauptsächlich negative, axiale Geschwindigkeiten zu finden sind.

Während also in den Kanälen Rückströmungen infolge eines Druckgradienten zu finden sind, findet man im Eingriffsbereich ausschließlich positive Axialgeschwindigkeiten. Diese Erkenntnis ist bei der Modellbildung zu berücksichtigen.

Aufgrund der unterschiedlichen Strömungsverhältnisse in den Kanälen und im Eingriff werden die Volumenströme im Eingriff und in den Kanälen getrennt modelliert. Eine Bilanz der Volumenströme ergibt:

$$\dot{V}_{ges} = \dot{V}_{zwickel} + k \cdot \dot{V}_{Kanal} - \dot{V}_{spalt}$$

Für den Zwickelvolumenstrom wird eine Kammerförderung angenommen, diese ergibt sich aus dem mittleren freien Zwickelvolumen und der Drehzahl:

$$\dot{V}_{zwickel} = \bar{V}_{zwickel} \cdot n_0$$

Abbildung: Strömungsprofil in einem Förderelement (ZSK30, Förderelement 28/28, PP Stamylan P17E19FC(DSM), V=2814mm³/s=7.53kg/h, n₀=455 1/min)

Die Strömungsberechnung in den Kanälen wird wie vorgestellt durchgeführt, nur dass statt des dosierten Volumenstromes ein um den Zwickelvolumenstrom reduzierter Volumenstrom verwendet wird.

Für die Berechnung der Druckgradienten in Blisterscheiben werden folgende geometrische Vereinfachung getroffen:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Blisterscheiben sind gleich ($s_{F1} \approx s_{F2}$).
• Die Geometrie kann durch Aneinanderreihung von Scheiben konstanten Durchmessers hinreichend genau beschrieben werden.

Abbildung: Geometrisches Ersatzmodell für Blisterscheiben

Die Geometrie wird durch folgende dimensionslose Kennzahlen beschrieben:

$$k1 = \frac{D_i}{D_z}$$

$$k2 = \frac{D_i}{D_a}$$

$$cl = \frac{a}{D_z/2}$$

Analog zur vorgestellten Approximation werden noch ein dimensionsloser Volumenstrom,

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{0.5 \cdot A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}$$

ein dimensionsloser Druckgradient

$$\pi_P = \frac{\Delta p \cdot R_z}{L \cdot n_0^n \cdot K}$$

und der Fließgesetzexponent $n$ zur Berechnung benötigt.

Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

$k1$: $0.7 \leq k1 \leq 1$
$k2$: $0.7 \leq k2 \leq 0.98$
$Cl$: $1.65 \leq Cl \leq 1.85$
$n$: $0.2 \leq n \leq 1$
$\pi_V$: $0.01 \leq \pi_V \leq 5$

Da das Potenzfließgesetz zur Modellbildung verwendet wurde, ist die Bestimmung der mittleren Schergeschwindigkeit essentiell wichtig. Die mittlere Schergeschwindigkeit wurde, wie das Druck-Durchsatzverhalten, mit Hilfe der oben beschriebenen Finite Element Rechnungen ermittelt. Die Approximation erfolgte unter Zuhilfenahme einer dimensionslosen Schergeschwindigkeit $\pi_{\dot{\gamma}}$.

$$\pi_\gamma = \left(\frac{\dot{\gamma}}{n_0}\right)^n \tag{6}$$

Die dimensionslose Schergeschwindigkeit ist abhängig von:

• der Geometrie (dimensionslose Kenngrößen $k1, k2, cl$)
• dem dimensionslosen Volumenstrom $\pi_V$ und
• dem Fließgesetzexponenten $n$

Zur Beschreibung wurde eine lineare Gleichung verwendet:

$$\pi_{\dot{\gamma}} = A_0(k1, k2, cl, n) + A_1(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_V$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer Schergeschwindigkeits-Kennwerte

Das Druck-Durchsatzverhalten lässt sich durch ein Polynom zweiter Ordnung approximieren:

$$\pi_V = A_{B,1}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P + A_{B,2}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P^2$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer Druck-Durchsatz-Kennwerte

Das Druck-Durchsatzverhalten lässt sich durch ein Polynom zweiter Ordnung approximieren:

$$\pi_V = A_{B,1}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P + A_{B,2}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P^2$$

Der Vergleich der durch das Modell vorhergesagten Druckgradienten mit den experimentell ermittelten zeigt eine ausreichende Übereinstimmung.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter Druckgradienten in Blisterscheiben

Für die Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens in Zahnmischelementen sind ebenfalls einige Modellannahmen notwendig:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Zahnmischelemente sind konstant ($s_{F1} \approx s_{F2}$).
• Die Strömung in den Nuten kann hinreichend genau durch eine Strömung in Rechteckkanälen beschrieben werden.

Abbildung: Reale Zahnscheibengeometrie und geometrisches Ersatzmodell

Die bisher veröffentlichten Gleichungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Rechteckkanälen stammen aus der Einschneckentheorie. Hier treten hauptsächlich fördernde Kanäle auf. Weiter ist das Verhältnis von Kanalbreite $b$ zu Kanalhöhe $h$ sehr groß ($b/h > 10$). Gangsteigungen größer als $2 \cdot \text{Schneckendurchmesser}$ findet man in Einschneckenmaschinen kaum. Betrachtet man nun die Nuten in Zahnmischelementen, so ist zum einen festzustellen, dass das Verhältnis von Kanalbreite zu Kanalhöhe deutlich kleiner 10 ist, zum anderen, dass je nach Hersteller dieser Elemente, die Nuten fördernd, förderneutral oder rückfördernd ausgeführt werden. Außerdem werden diese Nuten häufig in großen Gangsteigungen ausgeführt $t > 5 \cdot D_s$.

Aus diesem Grund wurden Finite-Element Rechnungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Geometrien mit geringen $b/h$-Verhältnissen durchgeführt. Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

• $b/h$: $0.05 \leq b/h \leq 40$
• $t/d$: $0.5 \leq t/d \leq 10$ (nur fördernd und rückfördernd)
• $n$: $0.2 \leq n \leq 1$
• $\pi_V$: $0 \leq \pi_V \leq 10$

Das Druck-Durchsatzverhalten der drei Fälle kann durch Polynome dritter Ordnung beschrieben werden,

$$\pi_V = A_{R,0}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) + A_{R,1}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P + A_{R,2}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^2 + A_{R,3}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^3$$

wobei zu bemerken ist, dass der Parameter $A_0$ für förderneutrale Rechteckkanäle 0 ist. In den nachfolgenden Bildern sind die Verläufe des dimensionslosen Druckgradienten in Abhängigkeit des dimensionslosen Volumenstroms für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt.

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Rechteckkanäle

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Rechteckkanäle

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Rechteckkanäle

Das Druck-Durchsatzverhalten eines Zahnmischelementes ergibt sich aus der Überlagerung der Volumenströme einer vergleichbaren Blisterscheibe und der Volumenströme in den Rechteckkanälen:

$$\dot{V}_{zahnmisch} = \dot{V}_{scheibe} + i \cdot \dot{V}_{rechteck}$$

Hieraus ergibt sich folgende Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Zahnmischelementen:

$$\pi_V = Y_0 + Y_1 \cdot \pi_P + Y_2 \cdot \pi_P^2 + Y_3 \cdot \pi_P^3$$

mit:

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot n_0 \cdot A_{frei} \cdot D_a}$$

$$\pi_P = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{s}_F}{6 \cdot K \cdot n_0^n}$$

und

$$Y_0 = A_{R,0} \cdot i \cdot \pi_{geo,V}$$

$$Y_1 = A_{B,1} + A_{R,1} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}$$

$$Y_2 = A_{B,2} + A_{R,2} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^2$$

$$Y_3 = A_{R,3} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^3$$

Die beiden Faktoren $\pi_{geo,V}$ und $\pi_{geo,p}$ werden zur Kopplung der beiden Volumenströme benötigt. Sie sind definiert als:

$$\pi_{geo,V} = \frac{1/2 \cdot h \cdot b \cdot v_{0z}}{1/2 \cdot A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}$$

und:

$$\pi_{geo,p} = \frac{h^{1+n}}{6 \cdot (\pi \cdot D_a \cdot \cos(\varphi_s))^n}$$

Aus der Überlagerung der Volumenströme ergibt sich je nach Förderart ein unterschiedliches Druck-Durchsatzverhalten (Bild 5.26 - Bild 5.28).

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Zahnmischelemente

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Zahnmischelemente

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Zahnmischelemente

Der Vergleich der durch das Modell vorhergesagten Druckgradienten mit den experimentell ermittelten zeigt eine befriedigende Übereinstimmung.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter Druckgradienten in fördernden Zahnmischelementen