Bei der Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Gewindeelementen sind zwei Zonen zu unterscheiden, in denen verschiedene Mechanismen zur Förderung der Schmelze führen:

* eine Förderung aufgrund von Schleppmechanismen im Kanalbereich und * eine Zwangsförderung im Eingriffsbereich.

In den Schneckenkanälen sind geringe, teilweise sogar negative, Axialgeschwindigkeiten zu finden, während im Eingriff der Schnecken relativ große Axialgeschwindigkeiten berechnet werden. Hieraus folgt, dass die Förderung im Gewindeelement, zumindest bei geringen Durchsätzen, von der Strömung im Eingriffsbereich dominiert wird. Im Schneckenkanal findet bei diesen Betriebspunkten eine Rückströmung statt.

Um diesen Effekt abbilden zu können, werden die Strömung im Eingriffsbereich und die Strömung in den Schneckenkanälen zunächst getrennt voneinander modelliert und erst anschließend gekoppelt.

$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Kanal,GE} + \dot{V}_{Eingriff,GE}$$

Zur Beschreibung der Strömung im Kanalbereich wird ein Rinnenmodell verwendet. Hierbei werden Schnecke und Zylinder entlang der Zylinderwand abgewickelt. Zusätzlich wird eine kinematische Umkehr vorgenommen, d.h. die drehende Schnecke wird durch stillstehende, parallele Kanäle abgebildet über die sich der abgewickelte Zylinder bewegt.

Abbildung: Rinnenmodell für zweigängige fördernde Gewindeelemente [6].

Die Geschwindigkeit $v_0$ des abgewickelten Zylinders ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit am Außendurchmesser der sich mit der Drehzahl $n_0$ drehenden Schnecke.

$$v_0 = \pi \cdot D_s \cdot n_0$$

Die Modellierung des Förderverhaltens erfolgt nun auf der Basis einer Volumenstrombilanz an den Kontrollräumen ABC im Bild.

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \dot{V}_{z,GE} + \dot{V}_{x,GE}$$

Strömung in der Rinne

Zur Beschreibung der Rinnenströmung $\dot{V}_z$ wird der vorgestellte Ansatz verwendet.

$$\dot{V}_{z,GE} = \pi_{V,z,GE} \cdot (\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0)$$

Es ist zu berücksichtigen, dass die Berechnung von $\pi_{V,z}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,z,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \pi_{V,z} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,z} \leq \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_{p,z}^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_{p,z}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \leq \pi_{V,z} \end{cases}$$

mit

$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

Für die nachfolgenden Schritte ist es deshalb zweckmäßig die Gleichung in allgemeiner Form:

$$\pi_{V,z,GE} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5$$

zu schreiben.

Strömung im Radialspalt

Zur Beschreibung der Leckströmung wird der vorgestellte Ansatz für Rechteckkanäle verwendet.

$$\dot{V}_{x,GE} = \pi_{V,x} \cdot (s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0)$$

Es ist zu berücksichtigen, dass auch die Berechnung von $\pi_{V,x}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,x,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,I,3} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \pi_{V,x} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,II,2} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,x} \leq \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,III,2} \cdot \pi_{p,x}^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_{p,x}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \leq \pi_{V,x} \end{cases}$$

mit

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{e_{max}} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

Auch hier wird aus Gründen der Übersichtlichkeit eine allgemeine Schreibweise gewählt:

$$\pi_{V,x} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5$$

Kopplung der Volumenströme

Löst man die Gleichungen nach den dimensionsbehafteten Volumenströmen auf und setzt diese dann wieder ein, erhält man:

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$

Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:

$$\pi_{V,GE} = \frac{\dot{V}_{Kanal,GE}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$

Im nächsten Schritt ist eine Kopplung der Druckgradienten in Kanalrichtung und über den Schneckensteg notwendig. Hierfür wird auf die von Ansahl [6] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Nach Ansahl gilt:

$$\Delta p_x = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z}$$

mit

$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\bar{h}}\right)^{1+n}$$

Durch Einsetzen folgt: