Im Rahmen des Regressionsansatzes stehen Ihnen folgende Seiten zur Verfügung

• Grundlagen der Strömungsuntersuchung in Schneckenkanälen
• Druck-Durchsatzmodell für Gewindeelemente
• Druck-Durchsatzmodell für dichtkämmende Gewindemischelemente
• Druck-Durchsatzmodell für tangierende Gewindemischelemente
• Druck-Durchsatzmodell für Zahnmischelemente

Die Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie stellen die Grundlage aller mathematisch-physikalischen Beschreibungen von Strömungsvorgängen dar. Zur Beschreibung eines Sachverhaltes müssen an jedem Ort zu jeder Zeit das Geschwindigkeitsfeld und die thermodynamischen Zustandsgrößen Druck, Dichte und Temperatur bekannt sein. Zusätzlich sind die Erhaltungsgleichungen mit einer Gleichung zur Beschreibung des Materialverhaltens (Konstitutivgleichung) zu verknüpfen. Für die Lösung des Systems aus Erhaltungs- und Konstitutivgleichungen sind zusätzlich vereinfachende Annahmen zu treffen und Randbedingungen vorzugeben. Die Qualität der Vereinfachungen und der Randbedingungen bestimmt dabei die Genauigkeit der Lösung. Die Gesamtheit aller oben beschriebenen Schritte ergibt das physikalisch-mathematische Modell.

Zur Beschreibung der Strömung von Kunststoffschmelzen sind - wie oben erwähnt - die Erhaltungsgleichungen zu lösen. Die Erhaltungsgleichungen werden hier zunächst allgemein in differentieller Form angegeben.

Kontinuitätssatz

Der Kontinuitätssatz ist die mathematische Formulierung einer Massebilanz in einem ortsfesten Kontrollraum. Er besagt, dass die in einem Volumen gespeicherte Masse der Differenz der ein- und austretenden Masseströme entspricht.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla(\rho \cdot \vec{v}) = 0$$

Dabei ist $\rho$ die Dichte der Kunststoffschmelze, $t$ die Zeit und $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor.

Bewegungsgleichung (Impulssatz)

Die Bewegungsgleichung besagt, dass die Änderung eines Impulses pro Zeit in einem Volumenelement der Differenz von ein- und austretendem Impuls plus der am System wirkenden Kräfte (z.B. aufgrund der Erdbeschleunigung) ist.

$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho \cdot \vec{v}) = -\nabla(\rho \cdot \vec{v} \cdot \vec{v}) - \nabla p - \nabla \tau + \rho \cdot \vec{a}$$

Energiesatz

Eine Formulierung der Bilanz der im Kontrollraum gespeicherten Wärmemenge zu den zu- und abfließenden Wärmeströmen stellt der Energieerhaltungssatz dar.

$$\rho \cdot c \cdot \left(\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla T\right) = -\nabla \vec{q} + \tau:\nabla \vec{v} + \phi$$

Bei Kunststoffschmelzen hängt die Viskosität gleichzeitig von Temperatur und Schergeschwindigkeit ab. In der Literatur sind Modelle zu finden, welche die einzelnen Abhängigkeiten getrennt modellieren. Anschließend werden die Ansätze zu einem umfassenden Beschreibungsansatz zusammengefügt.

Am häufigsten verwendete Ansätze zur Beschreibung der Schergeschwindigkeitsabhängigkeit der Viskosität:

Potenzgesetz $$\eta(\dot{\gamma}) = K \cdot a_T \cdot \dot{\gamma}^{n-1}$$

Carreau-Ansatz $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot (1 + (B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^c)^{-1}$$

Ansatz nach Carreau-Michaeli $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot (1 + B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^{-c}$$

Yasuda-Ansatz $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot \left(1 + (B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^k\right)^{\frac{-c}{k}}$$

Ansätze zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität:

vereinfachter Arrhenius-Ansatz $$\ln(a_T) = -\beta \cdot (T - T_{Bez})$$

Arrhenius-Ansatz $$\ln(a_T) = -\frac{E}{R} \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{Bez}}\right)$$

WLF-Ansatz $$\log(a_T) = \frac{8.86 \cdot (T_{Bez} - T_S)}{101.6 + T_{Bez} - T_S} - \frac{8.86 \cdot (T - T_S)}{101.6 + T - T_S}$$

Mathematisch ist das Potenzgesetz leicht handhabbar. Die Verwendung des Ansatzes ist jedoch mit dem Nachteil verbunden, dass dieses Modell das Fließverhalten nur in bestimmten Abschnitten der Fließkurve hinreichend gut beschreiben kann. Eine Beschreibung der gesamten Fließkurve mit Hilfe dieses Gesetzes ist im Allgemeinen nicht möglich. Bessere Beschreibungen liefern die drei ersten Ansätze. Diese haben jedoch den Nachteil, dass sie mathematisch nur schwer handhabbar sind. Wegen der beschriebenen Nachteile wird im Folgenden das Potenzgesetz verwendet, dessen Parameter lokal an das Carreau-Michaeli-Gesetz angepasst ist. Grundlage ist dabei, dass die mittlere Schergeschwindigkeit im interessierenden Strömungsabschnitt bekannt ist.

Grundlage der Finite-Elemente Simulationen ist die Diskretisierung eines Kontinuums mit unendlich vielen Freiheitsgraden durch endliche Elemente mit endlich vielen Freiheitsgraden [Chu89]. Diese Elemente sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. Die Verläufe der gesuchten Funktionen werden durch Ansatzfunktionen beschrieben, die eine Annäherung des wahren Verlaufes darstellen. Mit Hilfe einer geeigneten Methode werden die Funktionswerte an den Knotenpunkten zu einem globalen Gleichungssystem zusammengefasst. Das Lösen dieses Gleichungssystems stellt die eigentliche Hauptaufgabe der Finiten-Elemente Methode dar. Eine Verbesserung der Genauigkeit kann durch eine feinere Diskretisierung des Kontinuums oder durch eine Erhöhung der Ordnung der Ansatzfunktion der Elemente erreicht werden.

Eine Analyse bestehender Modelle zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteck- und Doppelschneckenkanälen ergab, dass diese Modelle nur bedingt zur Beschreibung von Mischelementen geeignet sind. Dies soll anhand der Ergebnisse einer dreidimensionalen Finite Element Simulation eines Gewindemischelementes erklärt werden.

Abbildung: Geschwindigkeitsprofile in einem Gewindemischelement.

Im Bild ist der Verlauf der axialen Geschwindigkeiten in einem fördernden Gewindemischelement mit rückfördernden Nuten dargestellt.

Man erkennt, dass im Bereich der Nuten überwiegend negative axiale Geschwindigkeiten auftreten, der Volumenstrom in den Nuten folglich entgegen der Förderrichtung des Elementes gerichtet ist. Aus dieser Erkenntnis und aus den Geometrien der Mischelemente ergeben sich folgende Anforderungen an die Druck-Durchsatzmodelle:

• Bereiche, in denen $\dot{V} \leq 0$ ist, müssen abgebildet werden können,
• Geometrien, deren Gangsteigungsverhältnis $\frac{t}{D_s} > 2$ ist, müssen berücksichtigt werden können und
• Geometrieabschnitte deren Verhältnis von Kanalbreite zu Kanalhöhe $\frac{b}{h} < 2$ ist, müssen beschrieben werden können.

Bestehende Durchsatzgleichungen für Rechteckkanäle (z.B. [Jun00]) oder für Doppelschneckenkanäle (z.B. [Ans93], [Mel00] ) können diese Anforderungen nicht erfüllen.

Zur Beschreibung des Förderverhaltens der Schneckenelemente werden zuerst Grundgeometrien (Doppelschneckenkanäle, Rechteckkanäle und Scheibenelemente) untersucht und modelliert. Im Anschluss werden die Modelle zu einem Gesamtmodell für die Beschreibung des Förderverhaltens der Schneckenelemente überlagert.

Abbildung: Dimensionslose Kenngrößen zur Charakterisierung der Geometrie

Die Datenbasis für die Modellbildung wurde für alle Elemente mit Hilfe von Finite Elemente Simulationen erstellt. Um die Zahl der Finite Elemente Berechnungen zu begrenzen, wurde vor den Berechnungen die Geometrie der Elemente normiert. Die verwendeten dimensionslosen Kenngrößen sind in der Tabelle aufgelistet.

Zusätzlich wurde für die Berechnungen das Potenzgesetz verwendet. Um den durch die Verwendung des Potenzgesetzes entstehenden Fehler zu begrenzen, wurde neben dem Druck-Durchsatzverhalten, auch die Schergeschwindigkeit approximiert. Dies ermöglicht die Bestimmung der lokalen Potenzgesetzparameter im interessieren Schergeschwindigkeitsbereich aus der Fließkurve.

Die vorgestellten Modelle stellen Approximationen der Finite-Elemente Ergebnisse dar. Um physikalisch sinnvolle Ergebnisse zu erzielen, werden Randbedingungen an das Modell gestellt:

• Die Druck-Durchsatzkennlinien sind im Newton'schen Fall linear.
• Die Modelle für Rechteck- und Doppelschneckenkanäle sollen für fördernde, rückfördernde und neutrale Kanäle anwendbar sein.

Für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteckkanälen gilt zusätzlich folgende Randbedingung:

• Liegt ein Newton'sches Fluid ($n=1$) vor, sinkt der Einfluss des Gangsteigungswinkels auf das Druck-Durchsatzverhalten mit steigendem $b/h$-Verhältnis

$$\pi_V = \left(\frac{b}{h} \rightarrow \infty, n = 1\right) \neq f(\varphi_s)$$

Diese Anforderung kann aufgrund der dichtkämmenden Geometrie nicht auf Doppelschneckenkanäle übertragen werden, da Kanalbreite und Kanalhöhe nicht unabhängig voneinander variiert werden können, sie vielmehr von der Gangsteigung, dem Achsabstand, dem Schneckendurchmesser und der Gangzahl abhängig sind. Die Gleichung kann jedoch nur gelten, wenn die Kanalbreite unabhängig von der Gangsteigung ist.

Abbildung: Einfluss des Gangsteigungswinkels auf die Geometrie von Doppelschneckenkanälen.

Für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens der Kanalgeometrien bedeutet die Forderung der Anwendbarkeit auf fördernde, rückfördernde und neutrale Kanäle, dass die von Ansahl [Ans93] und Melisch [Mel00] verwendeten Kenngrößen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens:

• der dimensionslose Volumenstrom $\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot h \cdot b \cdot v_0 \cdot \cos(\varphi_s)}$
• der dimensionslosen Druckgradient $\pi_p = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{h^{1+n}}{6 \cdot K \cdot v_0^n \cdot \cos^n(\varphi_s)}$

mit dieser Anforderung nicht vereinbar sind, da sie im neutralen Fall nicht definiert sind. Aus diesem Grund werden für diese Untersuchungen leicht modifizierte Kenngrößen verwendet.

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{h \cdot b \cdot v_0}$$

und

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

Zur Beschreibung des Prozessverhaltens von Scheibenelementen werden folgende Kenngrößen verwendet:

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{A_{fr} \cdot D_a \cdot n_0}$$

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{L} \cdot \frac{D_a}{K \cdot n_0^n}$$

Die anschließende Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteck- und Doppelschneckenkanälen soll die Basis für die Modellierung verschiedenster Schneckenelemente bilden. Die Modelle beider Kanalarten basieren auf der gleichen Vorgehensweise. Das Kennlinienfeld wird in 3 Bereiche aufgeteilt.

• Bereich I: Hier liegt ein negativer Volumenstrom vor. Dies kann in einzelnen Kanalabschnitten auftreten, so ist z.B. bei genuteten Gewindeelementen in den Nuten eine Rückströmung zu beobachten.
• Bereich II: In diesem Bereich liegen ein positiver Volumenstrom und ein positiver Druckgradient vor.
• Bereich III: In diesem Bereich ist ein negativer Druckgradient bei einem positiven Volumenstrom zu finden.

Abbildung: Randbedingungen für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens.

Bei der eigentlichen Modellierung ist besonders auf eine hinreichend gute Beschreibung der im Bild dargestellten Achsenabschnittspunkte zu achten, da anhand dieser Punkte die Teilmodelle für die einzelnen Bereiche miteinander gekoppelt werden. Der Schnittpunkt der Kennlinie mit der Y-Achse wird im Folgenden als (dimensionslose) Schleppförderkapazität bezeichnet. Physikalisch repräsentiert dieser Punkt einen Zustand, in dem der Kanal voll gefüllt ist, aber gerade noch kein Druck aufgebaut wird. Der Schnittpunkt der Kennlinie mit der X-Achse repräsentiert einen Betriebspunkt, in dem die Schleppvolumenströme genauso groß sind wie die Volumenströme, die aufgrund einer Druckrückströmung entstehen. Die Folge ist, dass in Summe keine Strömung herrscht, der betrachtete Kanalabschnitt also wie eine abgeschlossene Mischkammer funktioniert.

Die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens basiert auf einer Vielzahl von Finite Elemente Simulationen. Hierbei wurden die dimensionslosen Kenngrößen systematisch und vollfaktoriell variiert. Die Variationsgrenzen wurden so gewählt, dass sie den bisher technisch realisierten Bereich teilweise deutlich überschreiten, so dass eine Modellextrapolation, die bei statistischen Modellen problematisch sein kann, weitestgehend vermieden wird. Im Einzelnen wurden die Parameter in den aufgelisteten Grenzen variiert.

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Rechteckkanälen:

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Doppelschnecken Kanälen:

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Scheibenelementen:

In der Summe resultieren hieraus 61.727 Finite Elemente Simulationen für Rechteckkanäle, 94.392 Simulationen für Doppelschneckenkanäle und ca. 14.000 Simulationen für Scheibenelemente.

Zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteckkanälen wird das Kennlinienfeld in drei Bereiche aufgeteilt. Hierzu werden die in den folgenden Gleichungen dargestellten Modelle verwendet. Die Parameter sind abhängig von der Geometrie und dem Potenzgesetzexponenten. Eine detaillierte Darstellung der Modellgleichung ist im Anhang C1.1 von [Kre04] zu finden.

Zone I: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_p + C_{RE,I,3} \cdot \pi_p^2\right)$$

Zone II: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_p=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_p + C_{RE,II,2} \cdot \pi_p^2\right)$$

Zone III: $$\pi_V = \pi_V|_{\pi_p=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_p + C_{RE,III,2} \cdot \pi_p^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_p^5$$

mit $$\pi_p|_{\pi_V=0} = C_{Re,S,1} \cdot \cos(\varphi_s) + C_{Re,S,2} \cdot \cos^2(\varphi_s) + C_{Re,S,3} \cdot \cos^5(\varphi_s)$$

$$\pi_V|_{\pi_p=0} = C_{Re,P,1} \cdot \cos(\varphi_s) + C_{Re,P,2} \cdot \cos^2(\varphi_s) + C_{Re,P,3} \cdot \cos^5(\varphi_s)$$

Die berechneten dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im folgenden Bild den Polyflow Ergebnissen für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten gegenübergestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Die Kennlinien von fördernden und rückfördernden Kanälen verhalten sich zueinander punktsymmetrisch

$$\pi_{V,Fo}(\pi_{p,Fo}) = -\pi_{V,RFo}(-\pi_{p,RFo})$$

d.h. wenn die Kennlinien der fördernden Kanäle bekannt sind, können auf dieser Basis die Kennlinien der rückfördernden Kanäle deduziert werden.

Die Kennlinie zur Beschreibung förderneutraler Elemente entspricht der Beschreibung fördernder Elemente im Bereich III, da die Schleppförderkapazität Null ist und das Element folglich immer überfahren wird. Folgendes Bild zeigt die Druck-Durchsatzkennlinien für die drei Förderarten und unterschiedliche Potenzgesetzexponenten. Man erkennt, dass die oben beschriebene Transformation der Kennlinien hinreichend gute Beschreibungen der Polyflow Ergebnisse erlauben.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde, rückfördernde und förderneutrale Rechteckkanäle.

Analog zur Vorgehensweise bei der Modellierung von Rechteckkanälen, werden auch bei der Modellierung der Doppelschneckenkanäle drei Bereiche unterschieden. Zur Beschreibung der einzelnen Bereiche werden die in den folgenden Gleichungen dargestellten Modelle verwendet. Die Parameter sind abhängig von der Geometrie und dem Potenzgesetzexponenten. Eine detaillierte Darstellung der Modellgleichung ist in Anhang C2.1 von [Kre04] zu finden.

Zone I: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_p + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_p^2\right)$$

Zone II: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_p=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_p + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_p^2\right)$$

Zone III: $$\pi_V = \pi_V|_{\pi_p=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_p + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_p^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_p^5$$

mit $$\pi_V|_{\pi_p=0} = \frac{1}{C_{DSE,S,1} + C_{DSE,S,2} \cdot CL}$$

$$\pi_p|_{\pi_p=0} = (C_{DSE,P,1} + C_{DSE,P,2} \cdot \sqrt{CL})$$

Die dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Das Modell zur Beschreibung des Förderverhaltens von Doppelschneckenkanälen kann für fördernde und rückfördernde Kanäle verwendet werden. Im Bild ist ein Vergleich der Modellvorhersagen mit den Polyflow Ergebnisse für fördernde und rückfördernde Kanäle dargestellt. Man erkennt für alle drei Förderarten eine hinreichend gute Beschreibung.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde, rückfördernde und förderneutrale Doppelschneckenkanäle.

Zur Beschreibung des Durchsatzverhaltens von Scheibenelementen wird, im Gegensatz zu den vorherigen Geometrien, nur eine Zone betrachtet. Grund hierfür ist, dass die Scheibenelemente neutrale Elemente sind, und so immer Druckverbraucher darstellen. Eine vollständige Modellierung kann also allein auf der Zone III dieses Elements erreicht werden.

$$\pi_V = C_{SE,1} \cdot \pi_p + C_{SE,2} \cdot \pi_p^2 + C_{SE,3} \cdot \pi_p^3$$

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Die dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt. Die Parameter in Gleichung hängen von den dimensionslosen Geometriekenngrößen und dem Potenzgesetzexponenten ab. Sie sind in Anhang C3.1 in [Kre04] im Detail erklärt.

Bei der Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Gewindeelementen sind zwei Zonen zu unterscheiden, in denen verschiedene Mechanismen zur Förderung der Schmelze führen:

• eine Förderung aufgrund von Schleppmechanismen im Kanalbereich und
• eine Zwangsförderung im Eingriffsbereich.

In den Schneckenkanälen sind geringe, teilweise sogar negative, Axialgeschwindigkeiten zu finden, während im Eingriff der Schnecken relativ große Axialgeschwindigkeiten berechnet werden. Hieraus folgt, dass die Förderung im Gewindeelement, zumindest bei geringen Durchsätzen, von der Strömung im Eingriffsbereich dominiert wird. Im Schneckenkanal findet bei diesen Betriebspunkten eine Rückströmung statt.

Um diesen Effekt abbilden zu können, werden die Strömung im Eingriffsbereich und die Strömung in den Schneckenkanälen zunächst getrennt voneinander modelliert und erst anschließend gekoppelt.

$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Kanal,GE} + \dot{V}_{Eingriff,GE}$$

Zur Beschreibung der Strömung im Kanalbereich wird ein Rinnenmodell verwendet. Hierbei werden Schnecke und Zylinder entlang der Zylinderwand abgewickelt. Zusätzlich wird eine kinematische Umkehr vorgenommen, d.h. die drehende Schnecke wird durch stillstehende, parallele Kanäle abgebildet über die sich der abgewickelte Zylinder bewegt.

Abbildung: Rinnenmodell für zweigängige fördernde Gewindeelemente [6].

Die Geschwindigkeit $v_0$ des abgewickelten Zylinders ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit am Außendurchmesser der sich mit der Drehzahl $n_0$ drehenden Schnecke.

$$v_0 = \pi \cdot D_s \cdot n_0$$

Die Modellierung des Förderverhaltens erfolgt nun auf der Basis einer Volumenstrombilanz an den Kontrollräumen ABC im Bild.

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \dot{V}_{z,GE} + \dot{V}_{x,GE}$$

Strömung in der Rinne

Zur Beschreibung der Rinnenströmung $\dot{V}_z$ wird der vorgestellte Ansatz verwendet.

$$\dot{V}_{z,GE} = \pi_{V,z,GE} \cdot (\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0)$$

Es ist zu berücksichtigen, dass die Berechnung von $\pi_{V,z}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,z,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \pi_{V,z} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,z} \leq \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_{p,z}^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_{p,z}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \leq \pi_{V,z} \end{cases}$$

mit

$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

Für die nachfolgenden Schritte ist es deshalb zweckmäßig die Gleichung in allgemeiner Form:

$$\pi_{V,z,GE} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5$$

zu schreiben.

Strömung im Radialspalt

Zur Beschreibung der Leckströmung wird der vorgestellte Ansatz für Rechteckkanäle verwendet.

$$\dot{V}_{x,GE} = \pi_{V,x} \cdot (s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0)$$

Es ist zu berücksichtigen, dass auch die Berechnung von $\pi_{V,x}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,x,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,I,3} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \pi_{V,x} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,II,2} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,x} \leq \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,III,2} \cdot \pi_{p,x}^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_{p,x}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \leq \pi_{V,x} \end{cases}$$

mit

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{e_{max}} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

Auch hier wird aus Gründen der Übersichtlichkeit eine allgemeine Schreibweise gewählt:

$$\pi_{V,x} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5$$

Kopplung der Volumenströme

Löst man die Gleichungen nach den dimensionsbehafteten Volumenströmen auf und setzt diese dann wieder ein, erhält man:

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$

Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:

$$\pi_{V,GE} = \frac{\dot{V}_{Kanal,GE}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$

Im nächsten Schritt ist eine Kopplung der Druckgradienten in Kanalrichtung und über den Schneckensteg notwendig. Hierfür wird auf die von Ansahl [6] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Nach Ansahl gilt:

$$\Delta p_x = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\tan(\varphi_s)} $$

Durch Einsetzen folgt:

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max} \cdot s_R^{1+n}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s) \cdot K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z} $$

mit

$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\overline{h}}\right)^{1+n} $$

Aus den erhält man die Gleichung zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens des Kanalbereichs von Gewindeelementen für Doppelschneckenextruder:

$$\pi_{V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5$$

mit

$$\pi_1 = \frac{s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}$$

In der Literatur wurden verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Strömung im Eingriffsbereich entwickelt. Im Folgenden wird der Ansatz von Booy [14] verwendet.

$$\dot{V}_{Eingriff,GE} = A_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0$$

Bakalis [15] zeigte anhand von Messungen und Strömungssimulationen, dass die berechneten Volumenströme gut mit den Messungen und Simulationsergebnissen übereinstimmten

Im letzten Schritt ist dem Volumenstrom im Rinnenmodell der Volumenstrom im Eingriffsbereich zu überlagern:

$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \dot{V}_{Kanal,GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \pi_{V,Kanal,GE} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$$

Die theoretischen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für fördernde und rückfördernde Gewindeelemente dargestellt.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten von fördernden und rückfördernden Gewindeelementen.

Im Bild ist ein Vergleich der Modellvorhersagen zu experimentellen Ergebnissen zu sehen. Die Versuche wurden an einem Modellextruder unter Verwendung von Silikonöl als Schmelze durchgeführt.

Abbildung: Vergleich berechneter und gemessener Druckgradienten in Gewindeelementen.

Man erkennt, dass das Modell die gemessenen Druckgradienten gut beschreiben kann.

Im Bild sind die Verläufe der axialen Geschwindigkeit in einem fördernden, dichtkämmenden Gewindemischelement auf zwei unterschiedlichen Ebenen dargestellt. Aus den Geschwindigkeitsverläufen ist zu erkennen, dass die Strömung in den Nuten und im Eingriffsbereich der beiden Schnecken sich signifikant von der Strömung im Kanalbereich unterscheidet. Im Eingriffsbereich sind Axialgeschwindigkeiten zu finden, die wesentlich größer sind als die Axialgeschwindigkeiten im Kanalbereich. In den Nuten ist ein anderer Effekt zu beobachten. Da die Nuten (in diesem Fall) rückfördernd ausgeführt sind, ist in diesem Bereich auch eine Rückströmung zu erkennen. Bei der Modellierung wird zunächst zwischen Eingriffsbereich und Kanalbereich unterschieden.

$$\dot{V}_{dGME} = \dot{V}_{Kanal,dGME} + \dot{V}_{Eingriff,dGME}$$

Der Einfluss der Nuten auf das Verhalten der Elemente wird dann bei der Beschreibung der einzelnen Bereiche berücksichtigt.

Abbildung: Berechnete Geschwindigkeitsfelder in einem dichtkämmenden Gewindemischelement.

Das Rinnenmodell für dichtkämmende Gewindemischelemente ist vergleichbar mit dem für Gewindeelemente. Die Strömung in den Nuten wurde durch einen zusätzlichen Volumenstrom in der Bilanz um den im Bild markierten Kontrollraum ABC berücksichtigt.

Abbildung: Rinnenmodell für ein rückförderndes dichtkämmendes Gewindemischelement.

Eine Volumenstrombilanz in dem im Bild dargestellten Kontrollraum führt zu folgender Gleichung:

$$\dot{V}_{Kanal,dGME} = k \cdot \dot{V}_{z,dGME} + \dot{V}_{x,dGME} + l \cdot \dot{V}_{Nut,dGME}$$

Zur Beschreibung der Strömung in Kanalrichtung und in der Nut werden die entwickelten Modelle in allgemeiner Form verwendet:

$$\pi_{\dot V,z,dGME} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5$$

$$\pi_{\dot V,N,dGME} = A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2 + A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,4} \cdot \pi_{p,N}^5$$

mit

$$\dot{V}_{z,dGME} = \pi_{V,z} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{x,dGME} = \pi_{V,x} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{Nut,dGME} = \pi_{V,N} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)$$

und

$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{Z_{fr}} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}$$

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p \cdot s_R^{1+n}}{x \cdot K \cdot v_0^n}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{x} \cdot \frac{h_N}{K \cdot v_0^n}$$

und

$$\pi_{\dot V,z,dGME} = \frac{\dot{V}_z}{\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0}$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = \frac{\dot{V}_x}{s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0}$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = \frac{\dot{V}_{Nut}}{h_N \cdot b_N \cdot v_0}$$

Durch Einsetzen erhält man:

$$\dot{V}_{Kanal,dGME} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot A_{DSE,0} + \left(A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$ $$+l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)$$

Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:

$$\pi_{\dot V,Kanal,dGME} = \frac{\dot{V}_{Kanal,dGME}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = A_{DSE,0} + \left(A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$ $$+\frac{l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)$$

Um eine umfassende Beschreibung des Prozessverhaltens zu erhalten, ist der Druckgradient in Rinnenrichtung mit den Druckgradienten über den Radialspalt und mit dem Druckgradienten in der Nut zu verknüpfen. Hierfür wird auf die von Ansahl [6] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Die Koppelung der Druckgradienten in der Rinne und in der Nut kann analog erfolgen. Es ist lediglich zu berücksichtigen, dass die Nuten in einem bestimmten Winkel in die Schneckenflanke eingebracht werden, so dass sich die Länge, in der der Druckgradient wirkt, in den Nuten von der Länge des Schneckensteges unterscheidet. Somit können die Druckgradienten wie folgt gekoppelt werden.

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h_N^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}$$

mit:

$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\bar{h}}\right)^{1+n}$$

$$\pi_{geo,N} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n}$$

Aus den Gleichungen erhält man:

$$\pi_{ \dot V,Kanal,dGME} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3\right.$$ $$\left.+A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \pi_1 \cdot \left(A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)\right.$$ $$\left.+A_{RE,2} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^2 + A_{RE,3} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^3 + A_{RE,4} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^5\right)$$ $$+\pi_2 \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right) + A_{RE,N,2} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^3 + A_{RE,N,4} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^5\right)$$

mit

$$\pi_1 = \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}$$

$$\pi_2 = \frac{l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}$$

die Gleichung zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens des Kanalbereichs von Gewindeelementen:

$$\pi_{\dot V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0} + \pi_2 \cdot A_{RE,N,0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot A_{RE,N,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot A_{RE,N,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot A_{RE,N,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot A_{RE,N,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5$$

Die Strömung im Eingriffsbereich setzt sich zusammen aus einem Kammerförderungsanteil und einer Förderung in den Nuten.

Für die Beschreibung des Durchsatzverhaltens im Eingriffsbereich wird angenommen, dass das Durchsatzverhalten wesentlich von einer Kammerströmung dominiert wird. Allein die Nuten im Eingriffsbereich führen zu einem Einfluss des Druckgradienten auf die Strömung.

$$\dot{V}_{Eingriff,dGME} = \bar{A}_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0 + l_{zw} \cdot \pi_{V,Eingriff} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_{zw}\right)$$

Zur Beschreibung der Nutenströmung wird auf die Beschreibung für Rechteckkanäle zurückgegriffen:

$$\pi_{\dot V,Eingriff,dGME} = A_{RE,Z,0} + A_{RE,Z,1} \cdot \pi_{p,zw} + A_{RE,Z,2} \cdot \pi_{p,zw}^2 + A_{RE,Z,3} \cdot \pi_{p,zw}^3 + A_{RE,Z,4} \cdot \pi_{p,zw}^5$$

Abbildung: Axialgeschwindigkeiten im Eingriffsbereich eines dichtkämmenden Gewindemisch-elements.

Zur Kopplung der Druckgradienten im Eingriffsbereich und im Rinnenbereich wird angenommen, dass der Druckrückstau im Eingriffsbereich vernachlässigbar ist und so der gleiche Ansatz wie oben verwendet werden kann. Somit gilt folgende Gleichung:

$$\pi_{p,zw} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h_N^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,zw} \cdot \pi_{p,z}$$

mit

$$\pi_{geo,zw} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}} \cdot \frac {v_0}{v_{zw}} \right)^{1+n}$$

Mit Hilfe der vorgestellten Gleichungen kann eine Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von dichtkämmenden Gewindemischelementen generiert werden:

$$\pi_{\dot V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0} + \pi_2 \cdot A_{RE,N,0} + \pi_3 \cdot A_{RE,Z,0} + \frac{\overline A_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0}{k \cdot \bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot A_{RE,N,1} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot A_{RE,N,2} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot A_{RE,N,3} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot A_{RE,N,4} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5$$

mit

$$\pi_3 = \frac{l_{zw} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_{zw}\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}$$

Das Bild zeigt einen Vergleich zwischen gemessenen dimensionslosen Druckgradienten und den mit Hilfe des Modells berechneten für ein förderndes und ein rückförderndes Gewindemischelement. Man erkennt, dass das Modell trotz der Vielzahl an Vereinfachungen in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit hinreichender Genauigkeit zu beschreiben.

Abbildung: Vergleich der experimentell ermittelten und der berechneten dimensionslosen Druckgradienten.

Die Beschreibung tangierender Mischelemente basiert auf der Vorgehensweise, die im vorherigen Kapitel für dichtkämmende Mischelemente vorgestellt wurde. Aufgrund des reduzierten Außendurchmessers ist es möglich ein Elementpaar mit vollständig unterschiedlichen Geometrien zu bilden. Die nachfolgend vorgestellt Beschreibung ist beschränkt auf Elemente, die aus einem fördernden und einem rückfördernden Element mit ähnlicher Geometrie bestehen. Einziger Unterschied zwischen den Elementen soll die Richtung der Gangsteigung sein.

Betrachtet man die Strömung im Eingriffsbereich dieser Elemente, so fällt auf, dass die Axialgeschwindigkeiten entlang des Elementpaares stark variieren. In den im Bild mit „r;r;a“r; markierten Bereichen, liegt eine maximale Axialgeschwindigkeit von ca. +40 mm/s und in den mit „r;r;b“r; gekennzeichneten Bereichen liegt eine Axialgeschwindigkeit von ca. -40 mm/s vor. Hieraus lässt sich die Vereinfachung ableiten, dass die Summe der Volumenströme in zwei aufeinander folgenden Eingriffsbereichen annähernd Null ist.

Abbildung: Verteilung der Axialgeschwindigkeiten in tangierenden Gewindemischelementen

Da sich also die Volumenströme in aufeinander folgenden Zwickelbereichen ausgleichen, folgt, dass der Eingriffsbereich keinen oder einen vernachlässigbaren Beitrag zum Druck-Durchsatzverhalten leistet. Somit wird dieser Bereich im Folgenden vernachlässigt.

Die Abwicklung des tangierenden Gewindemischelementes in die Ebene ergibt das im Bild dargestellte Rinnenmodell.

Abbildung: Rinnenmodell für tangierende Gewindemischelemente.

Die Bilanz der Volumenströme in dem Kontrollraum ABCD ergibt:

$$\dot{V}_{tGME} = \left(k \cdot \dot{V}_{z,fe} + \dot{V}_{x,fe} + l \cdot \dot{V}_{Nut,fe}\right) + \left(k \cdot \dot{V}_{z,rfe} + \dot{V}_{x,rfe} + l \cdot \dot{V}_{Nut,rfe}\right)$$

mit

$$\dot{V}_{z,fe} = \pi_{\dot V,z,fe} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{x,fe} = \pi_{\dot V,x,fe} \cdot \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{Nut,fe} = \pi_{\dot V,N,fe} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{z,rfe} = \pi_{\dot V,z,rfe} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{x,rfe} = \pi_{\dot V,x,rfe} \cdot \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)$$

$$\dot{V}_{Nut,rfe} = \pi_{\dot V,N,rfe} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)$$

Die dimensionslosen Volumenströme sind wie folgt definiert:

$$\pi_{\dot V,z,fe} = A_{DSE,fe,0} + A_{DSE,fe,1} \cdot \pi_{p,z,fe} +|A_{DSE,fe,2} \cdot \pi_{p,z,fe}^2$$ $$+A_{DSE,fe,3} \cdot \pi_{p,z,fe}^3 + A_{DSE,fe,4} \cdot \pi_{p,z,fe}^5$$

$$\pi_{\dot V,x,fe} = A_{RE,fe,0} + A_{RE,fe,1} \cdot \pi_{p,x,fe} + A_{RE,fe,2} \cdot \pi_{p,x,fe}^2$$ $$+A_{RE,fe,3} \cdot \pi_{p,x,fe}^3 + A_{RE,fe,4} \cdot \pi_{p,x,fe}^5$$

$$\pi_{\dot V,N,fe} = A_{RE,N,fe,0} + A_{RE,N,fe,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,fe,2} \cdot \pi_{p,N}^2$$ $$+A_{RE,N,fe,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,fe,4} \cdot \pi_{p,N}^5$$

$$\pi_{\dot V,z,rfe} = A_{DSE,rfe,0} + A_{DSE,rfe,1} \cdot \pi_{p,z,rfe} + A_{DSE,rfe,2} \cdot \pi_{p,z,rfe}^2$$ $$+A_{DSE,rfe,3} \cdot \pi_{p,z,rfe}^3 + A_{DSE,rfe,4} \cdot \pi_{p,z,rfe}^5$$

$$\pi_{\dot V,x,rfe} = A_{RE,rfe,0} + A_{RE,rfe,1} \cdot \pi_{p,x,rfe} + A_{RE,rfe,2} \cdot \pi_{p,x,rfe}^2$$ $$+A_{RE,rfe,3} \cdot \pi_{p,x,rfe}^3 + A_{RE,rfe,4} \cdot \pi_{p,x,rfe}^5$$

$$\pi_{\dot V,N,rfe} = A_{RE,N,rfe,0} + A_{RE,N,rfe,1} \cdot \pi_{p,N,rfe} + A_{RE,N,rfe,2} \cdot \pi_{p,N,rfe}^2$$ $$+A_{RE,N,rfe,3} \cdot \pi_{p,N,rfe}^3 + A_{RE,N,rfe,4} \cdot \pi_{p,N,rfe}^5$$

mit den definierten Kenngrößen.

Nimmt man nun vereinfachend an, dass die Isobaren senkrecht zur Schneckenachse verlaufen, gilt:

$$\frac{\Delta p_{fe}}{\Delta z} = \frac{\Delta p_{rfe}}{\Delta z} \Leftrightarrow \pi_{p,z,fe} = \pi_{p,z,rfe}$$

Die Druckgradienten in Kanalrichtung und quer dazu werden wieder analog zu den bisher vorgestellten Vorgehensweisen gekoppelt.

$$\Delta p_x = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{\tan(\varphi_s)}$$

Dimensionslose Kenngrößen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von tangierenden Gewindemischelementen:

Somit können auch hier dimensionslose Faktoren für die Kopplung der Volumenströme definiert werden:

$$\pi_{p,x,fe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,N,fe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,x,rfe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}$$

$$\pi_{p,N,rfe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}$$

mit:

$$\pi_{geo,x} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\bar{h}}\right)^{1+n}$$

$$\pi_{geo,N} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n}$$

Setzt man diese Gleichungen in die Bilanz ein, erhält man das Modell zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens im Rinnenbereich:

$$\pi_{\dot V,tGME} = \frac{\dot{V}_{tGME}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,fe,0} + A_{DSE,rfe,0} + \pi_1 \cdot \left(A_{RE,fe,0} + A_{RE,rfe,0}\right)\right)$$ $$+\pi_2 \cdot \left(A_{RE,N,fe,0} + A_{RE,N,rfe,0}\right) + \left(A_{DSE,fe,1} + A_{DSE,rfe,1}\right.$$ $$\left.+\pi_1 \cdot \pi_{geo,x} \cdot \left(A_{RE,fe,1} + A_{RE,rfe,1}\right) + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot \left(A_{RE,N,fe,1} + A_{RE,N,rfe,1}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,fe,2} + A_{DSE,rfe,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^2 \cdot \left(A_{RE,fe,2} + A_{RE,rfe,2}\right)\right.$$ $$\left.+ \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot \left(A_{RE,N,fe,2} + A_{RE,N,rfe,2}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^2 + \left(A_{DSE,fe,3} + A_{DSE,rfe,3}\right.$$ $$\left.+\pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^3 \cdot \left(A_{RE,fe,3} + A_{RE,rfe,3}\right) + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot \left(A_{RE,N,fe,3} + A_{RE,N,rfe,3}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,fe,4} + A_{DSE,rfe,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^5 \cdot \left(A_{RE,fe,4} + A_{RE,rfe,4}\right)\right.$$ $$\left.+ \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot \left(A_{RE,N,fe,4} + A_{RE,N,rfe,4}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^5$$

Der Vergleich der Modellvorhersagen mit experimentellen Ergebnissen für unterschiedliche Polymere zeigt, dass das Modell, trotz der Vielzahl an Vereinfachungen, hinreichend genau ist.

Abbildung: Vergleich berechneter und gemessener dimensionsloser Druckgradienten für ein tangierendes Gewindemischelement

Für die Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens in Zahnmischelementen sind folgende Modellannahmen notwendig:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Zahnmischelemente sind konstant ($s_F \approx s_W$).
• Die Strömung in den Nuten kann hinreichend genau durch eine Strömung in Rechteckkanälen beschrieben werden.

Abbildung: Reale Zahnscheibengeometrie und geometrisches Ersatzmodell.

Die Beschreibung des Prozessverhaltens basiert auf der Überlagerung der Volumenströme in den Nuten und im Scheibenbereich.

$$\dot{V}_{ZE} = \dot{V}_{Scheibe} + i_N \cdot \dot{V}_{Nut}$$

Zur Beschreibung des Volumenstroms wird der vorgestellte Ansatz verwendet:

$$\dot{V}_{Scheibe} = A_{frei,SE} \cdot D_a \cdot n_0 \cdot \left(A_{SE,1} \cdot \pi_{p,SE} + A_{SE,2} \cdot \pi_{p,SE}^2 + A_{SE,3} \cdot \pi_{p,SE}^3\right)$$

Die Modellierung des Förderverhaltens in den Nuten wird auf der Basis der vorgestellten Ansätze erfolgen:

$$\dot{V}_{Nut} = h_N \cdot b_N \cdot v_0 \cdot \left(A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,N}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)$$

Hieraus ergibt sich folgende Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Zahnmischelementen:

$$\pi_{\dot V,ZE} = A_{ZE,0} + A_{ZE,1} \cdot \pi_p + A_{ZE,2} \cdot \pi_p^2 + A_{ZE,3} \cdot \pi_p^3 + A_{ZE,4} \cdot \pi_p^5$$

mit:

$$\pi_{\dot V,ZE} = \frac{\dot{V}_{ZE}}{A_{fr} \cdot D_a \cdot n_0}$$

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{L} \cdot \frac{D_a}{K \cdot n_0^n}$$

und

$$A_{ZE,0} = A_{RE,0} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V}$$

$$A_{ZE,1} = A_{SE,1} + A_{RE,1} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}$$

$$A_{ZE,2} = A_{SE,2} + A_{RE,2} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^2$$

$$A_{ZE,3} = A_{SE,3} + A_{RE,3} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^3$$

$$A_{ZE,4} = A_{SE,3} + A_{RE,4} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^5$$

Die beiden Faktoren $\pi_{geo,V}$ und $\pi_{geo,p}$ werden zur Koppelung der beiden Volumenströme benötigt. Sie sind definiert als:

$$\pi_{geo,V} = \frac{h_N \cdot b_N \cdot v_0}{A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}$$

und:

$$\pi_{geo,p} = \sin(\varphi_{Nut}) \cdot \pi^n \cdot \frac{D_a^{1+n}}{h^{1+n}}$$

Das Bild zeigt einen Vergleich der Modellvorhersagen mit experimentellen Ergebnissen. Man erkennt, dass das Modell in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit befriedigender Genauigkeit zu beschreiben.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter dimensionsloser Druckgradienten in fördernden Zahnmischelementen.