Grundlage der allgemeinen mathematischen Beschreibung von Strömungsvorgängen sind die Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie. Eine Strömung ist dann vollständig beschrieben, wenn zu jeder Zeit und an jedem Ort im Strömungsgebiet der Geschwindigkeitsvektor und die thermodynamischen Größen Druck, Dichte und Temperatur bekannt sind. Zur Ermittlung dieser Größen werden die Erhaltungsgleichungen mit Konstitutivgleichungen (Stoffgleichungen) verknüpft, die einerseits die Abhängigkeit zwischen den kinematischen und kinetischen und andererseits zwischen den thermodynamischen Größen untereinander beschreiben [BSL60], [BAH77], [Böh81], [Jis82]. Isotherme Strömungsvorgänge in Schneckenmaschinen können auf der Grundlage

1. des Satzes von der Erhaltung der Masse (Kontinuitätsgleichung),$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \, \mathbf{v}) = 0 \tag {1}$$
2. des Satzes von der Erhaltung des Impulses (Bewegungsgleichung), sowie$$\rho \frac{\delta v}{\delta t} = -\nabla p + \nabla \tau + \rho \mathbf{g} \tag {2}$$
3. eines rheologischen Stoffgesetzes$$\tau = \eta(||) \dot{\gamma} \tag {3}$$

beschrieben werden [Tuc89]. Hierin sind $\rho$ die Dichte der Schmelze, $p$ der Druck, $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor, $\tau$ der Spannungstensor und $D/Dt$ das totale Differential. $\eta(||)$ ist die zweite Invariante des Deformationstensors.

Die Lösung des Differentialgleichungssystems für praktische Strömungen kann durch analytische oder numerische Verfahren, abhängig vom Grad der Nichtlinearität des Systems, erfolgen.

Eine geschlossene mathematische Behandlung der oben allgemein formulierten, isothermen Strömungen in Schneckenmaschinen erfordert eine zum Teil erhebliche Restriktion des gegebenen Differentialgleichungssystems durch Modellannahmen und -voraussetzungen.

Für die hier aufgezeigte Modellbildung für gleichläufige, dichtkämmende Doppelschneckenextruder soll von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:

• Die Schneckengeometrie wird durch das ebene Rinnenmodell beschrieben
• Der Schneckenkanal ist vollständig mit Schmelze gefüllt (Füllgrad $f = 1$)
• Die Strömung ist stationär und voll entwickelt
• Die Strömung ist laminar
• Die Schmelze ist inkompressibel
• Einlauf- und Auslaufeffekte werden vernachlässigt
• Die Schmelze ist wandhaftend
• Gravitationseinflüsse werden vernachlässigt
• Normalspannungen werden vernachlässigt
• Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Zylinderfläche werden nicht berücksichtigt

Eine analytische Behandlung der Schmelzeförderung in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern wird durch die selbstreinigende Schneckenkanalgeometrie erschwert, da diese mathematisch nur abschnittsweise beschrieben werden kann. Aus diesem Grund wurde von Ansahl [Ans93] die reale Kanalkontur durch eine flächengleiche, rechteckförmige Kanalkontur ersetzt, wie es in Einschneckenextrudern üblich ist.

Für den Fall einer eindimensionalen newtonischen Strömung soll im folgenden ein analytischer Vergleich der Strömungen im flächengleichen Rechteckkanal und in der realen Kanalgeometrie von dichtkämmenden Doppelschneckenextrudern vorgenommen werden.

Abbildung: Koordinatensystem für die Analyse der Schmelzeförderung

Die Bewegungsgleichung reduziert sich bei Verwendung der oben stehenden Voraussetzungen, der Kontinuitätsgleichung und des im Bild angegebenen Koordinatenursprungs zu

$$-\frac{\partial p}{\partial z} = \eta \cdot \frac{\partial^2 v_z}{\partial y^2} = 0\tag{4}$$

Als Lösung dieser Gleichung erhält man das Geschwindigkeitsprofil im Schneckenkanal,

$$v_z(x,y) = \frac{1}{2\eta} \cdot \frac{\Delta p}{\Delta z}[y^2 + h(x) \cdot y] + v_{0z} \left[1 + \frac{y}{h(x)}\right]\tag{5}$$

wobei $v_{0z}$ die Geschwindigkeitskomponente der Umfangsgeschwindigkeit in Schneckenkanalrichtung ist und $h(x)$ das Kanalprofil beschreibt.

Im Gegensatz zum Kanalprofil von Einschneckenextrudern, wo das Geschwindigkeitsprofil bei derartiger Betrachtung nur eine Funktion der Kanalhöhenkoordinate ist, ist bei Doppelschneckenextrudern das Geschwindigkeitsprofil zusätzlich eine Funktion der Koordinate in Kanalbreitenrichtung.

Durch Integration über die Querschnittsfläche erhält man den Volumenstrom.

$$\dot{V} = \int_{-b_{max}/2}^{\frac{b_{max}}{2}} \int_{-h(x)}^{0} v_z(x,y)dxdy\tag{6}$$

Diese Integration ist nur noch für den Rechteckkanal mit $h(x) = \text{konst.}$ analytisch durchführbar. Für den Doppelschneckenkanal muss dieses Integral numerisch gelöst werden.

Durch Einführung des dimensionslosen Volumenstromes

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot v_{0z} b_{max} \bar{h}}\tag{7}$$

und des dimensionslosen Druckgradienten

$$\pi_p = \frac{\bar{h}^{1+n} \cdot \Delta p}{6K v_{0z}^n \cdot \Delta z}\tag{8}$$

ist eine dimensionslose Darstellung und somit ein Vergleich der beiden Kanalprofile möglich.

Folgendes Bild zeigt die dimensionslosen Volumenströme über den dimensionslosen Druckgradienten für den eindimensionalen newtonischen Strömungsfall. Die beschreibende Gerade für den Rechteckkanal schneidet die Achsen aufgrund der Normierung jeweils beim Wert Eins.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten unterschiedlicher Kanalprofile am Beispiel einer eindimensionalen newtonischen Strömung

Die Gerade für den Doppelschneckenkanal schneidet die Gerade für den Rechteckkanal im Punkt $\pi_{pS}$. Unterhalb dieses Schnittpunktes im Bereich $\pi_p < \pi_{pS}$ ergeben sich für den Doppelschneckenkanal größere dimensionslose Volumenströme, oberhalb dieses Schnittpunktes hingegen kleinere dimensionslose Volumenströme als beim Rechteckkanal.

Berücksichtigt man die Strömungsprofile im Schneckenkanal bei der Berechnung des Gesamtvolumenstromes, so ist ersichtlich, dass im Bereich, in dem die Kanaltiefe des Doppelschneckenextruders größer ist als die mittlere Kanaltiefe des flächengleichen Rechteckkanals, der Hauptanteil des Materials transportiert wird. Im Falle kleiner Druckgradienten überwiegt in diesem Bereich der Schleppströmungsanteil, im Falle großer Druckgradienten die Rückströmung, die den Gesamtvolumenstrom reduziert.

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) ist ein Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen. Dabei wird ein Kontinuum mit unendlich vielen Freiheitsgraden durch eine Summe aneinander grenzender Teilgebiete, die Finiten Elemente, mit einer endlichen Anzahl von Unbekannten ersetzt. Die Lösung der Differentialgleichungen für das Gesamtsystem ergibt sich dann aus den Einzellösungen der Finiten Elemente [Chu82].

Bei der Beschreibung isothermer Strömungsvorgänge mit Hilfe der FEM bilden die Bilanzgleichungen und die Konstitutivgleichung ebenfalls die Grundlage. Zur vollständigen Beschreibung müssen in jedem Kanalabschnitt die kinematischen und thermodynamischen Größen bekannt sein, was durch die Verknüpfung der Bilanzgleichungen mit der Konstitutivgleichung erreicht wird.

Das benutzte Finite Element Programm POLYFLOW [NN93] ist speziell für die Simulation von viskosen und viskoelastischen Strömungen entwickelt worden. Die Strömung kann isotherm und nicht-isotherm, zwei-, zweieinhalb- oder dreidimensional, stationär oder instationär berechnet werden. Das Fließverhalten der Kunststoffschmelzen kann durch unterschiedliche Ansätze berücksichtigt werden.

Analog zu der analytischen Betrachtung sind auch hier Modellvereinfachungen zur Reduzierung des Rechenaufwands notwendig. Für die durchgeführte numerische Analyse der Schmelzeströmung in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern gelten dieselben Voraussetzungen wie im analytischen Fall, mit der Ausnahme, dass hier ein zweieinhalbdimensionales Strömungsfeld berechnet wird. Nachstehendes Bild zeigt die Schneckenkanalgeometrie für ein-, zwei- und dreigängige Schneckenelemente mit den für die Simulation benutzten Netzkonfigurationen. Das strukturviskose Fließverhalten der Kunststoffschmelze wurde durch das zweiparametrige Potenzfließgesetz beschrieben.

Abbildung: Verwendete Netzkonfiguration und berechnete Stromlinien von ein-, zwei- und dreigängigen Schneckenelementen

Als Ergebnis der isothermen Simulationsrechnung erhält man bei Vorgabe des Kanalvolumenstromes das mehrdimensionale Strömungsfeld und den sich in Kanalrichtung einstellenden Druckgradienten. Mit den in den Gleichungen angegebenen dimensionslosen Kenngrößen lassen sich die Ergebnisse wieder in dimensionsloser Form darstellen. Die Abbildung zeigt den Vergleich zwischen dem flächengleichen Rechteckkanal und dem realen Doppelschneckenkanal bei Betrachtung einer zweieinhalbdimensionalen strukturviskosen Strömung.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten unterschiedlicher Kanalprofile für eine zweieinhalbdimensionale strukturviskose Strömung

Auch für den mehrdimensionalen Strömungsfall ist die gleiche Tendenz der sich schneidenden Druck-Durchsatzkennlinien wie für den analytischen Fall zu erkennen. Besonders große Differenzen ergeben sich für Rückförderelemente.

Es bestehen demnach nicht unerhebliche Unterschiede zwischen dem Strömungsverhalten in realen Doppelschneckenkanälen und den bisher modellierten Rechteckkanälen. Eine Berücksichtigung der exakten Kanalgeometrie für eine umfassende Prozesssimulation von Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern erscheint daher erforderlich.

Die Finite Element Methode ist ein geeignetes Verfahren zur Beschreibung des mehrdimensionalen Strömungsfeldes und zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens von Schneckenmaschinen. Die Anwendung derartiger Verfahren ist jedoch begrenzt auf die Analyse von Schneckenabschnitten, in denen konstante geometrische und physikalische Randbedingungen vorliegen. Eine vollständige Simulation einer Schneckenanordnung mit kommerziellen FE-Programmen ist derzeit nicht möglich.

Eine analytische Behandlung des Gleichdrall-Doppelschneckentextruders besitzt den Vorteil der Einfachheit und Geschlossenheit der Berechnungsgleichungen. Aufgrund der starken Vereinfachungen bei der Modellbildung ergeben sich aber nur geringe Übereinstimmungen mit Experimenten.

Um dennoch zu einer geschlossenen Lösung mit akzeptabler Berechnungsgüte zu gelangen, wie sie für eine umfassenden Prozesssimulation benötigt wird, eignet sich die Methode der Approximation von Ergebnissen zuvor durchgeführter FE-Berechnungen. Eine Übertragung von numerischen Ergebnissen innerhalb der Variationsbreite auf nicht simulierte Maschinen- und Prozessgrößen ist durch die im Kapitel 3.4 angegebene dimensionslose Betrachtung möglich.

Der dimensionslose Volumenstrom und der dimensionslose Druckgradient $\pi_p$ werden hierzu in der Form

$$\pi_V = f(\pi_p)\tag{9}$$

dargestellt. Dieser Zusammenhang wurde bisher für verschiedene Modellannahmen untersucht.

Für eine zweieinhalbdimensionale Strömung in rechteckförmigen Schneckenkanälen wurde von Potente [Pot83] auf Grundlage numerischer Berechnungen eine Approximationsgleichung des dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinienfeldes aufgestellt. Die Approximation basiert auf einem leicht handhabbaren linearen Ansatz.

$$\pi_V = Y_1 - Y_2 \cdot \pi_P\tag{10}$$

Die Konstanten $Y_1$ und $Y_2$ berücksichtigen den Querströmungs- und Stegeinfluss.

Das Druck-Durchsatzdiagramm für den zweidimensionalen Fall ist im Bild [Tad79] zusammen mit der Approximation (gestrichelte Linien) und deren Gültigkeitsbereich wiedergegeben. Aufgrund des linearen Charakters der Approximation ergeben sich bei kleinen Fließexponenten zum Teil gravierende Abweichungen zu den numerischen Werten.

Abbildung: Dimensionsloser Volumenstrom in Abhängigkeit vom dimensionslosen Druckgradienten (zweidimensionale Strömung im Rechteckkanal) [Tad79]

Der Gültigkeitsbereich von Approximationsgleichungen ist primär beschränkt auf die Variationsbreite von Einflussgrößen bei der numerischen Simulation. Die für Gleichdrall-Doppelschneckenextruder auftretenden Einflussgrößen sind die Gangzahl $i$, das Achsabstandsverhältnis (center line ratio) $CL = a/(D_S/2)$, sowie bei förderaktiven und förderpassiven Schneckenelementen das Gangsteigungsverhältnis $t/D_S$. Als materialabhängige Einflussgröße kommt der Fließexponent $n$ hinzu.

Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

• Gangzahl: $1 \leq i \leq 3$
• Gangsteigung: $0.5 \leq t/D_S \leq 3$ (Förderelemente)
• $0.5 \leq t/D_S \leq 2$ (Rückförderelemente)
• Achsabstand: $1.65 \leq CL \leq 1.85$
• Fließexponent: $0.2 \leq n \leq 1$

Hierbei ist zu beachten, dass nur solche Kombinationen berücksichtigt wurden, die ein dichtkämmendes Schneckenprofil ergeben. Insgesamt ergab sich eine Anzahl von 14496 Datenpunkten.

Durch die Approximation sollte eine möglichst exakte Beschreibung der numerischen Werte über der gesamten Variationsbreite erfolgen. Aufgrund der angestrebten leichten mathematischen Handhabbarkeit der Gleichungen ergab sich die Bedingung, den Polynomgrad möglichst niedrig zu halten. Weiterhin sollte das bestehende Leckströmungsmodell mit in die Druckgradientenberechnung integriert werden können. Hieraus ergab sich die Notwendigkeit, den dimensionslosen Volumenstrom als Funktion des dimensionslosen Druckgradienten zu ermitteln sowie die Invertierbarkeit der beschreibenden Gleichungen.

Um diesen Bedingungen zu genügen, wurde das Kennlinienfeld in drei Bereiche unterteilt, die sich jeweils mit Polynomansätzen zweiten bzw. dritten Grades approximieren lassen:

Förderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_{0P} + c_{1P} \cdot \pi_P + c_{2P} \cdot \pi_P^2 + c_{3P} \cdot \pi_P^3\tag{11}$$

Förderelement, $\pi_P \leq 0$: $$\pi_V = c_{0N} + c_{1N} \cdot \pi_P + c_{2N} \cdot \pi_P^2 + c_{3N} \cdot \pi_P^3\tag{12}$$

Rückförderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_0 + c_1 \cdot \pi_P + c_2 \cdot \pi_P^2\tag{13}$$

Diese Polynome wurden dem Verlauf der Kennlinien durch bestimmte Randbedingungen angepasst.

Abbildung: Lage der Randbedingungen für Förder- und Rückförderelemente

Das Bild zeigt die Lage der Randbedingungen für den positiven und negativen Bereich der Förderelemente und für den Bereich Rückförderelemente. Um Verwechslungen zwischen den Randbedingungen der einzelnen Bereiche auszuschließen, wurden sie vollständig durchnummeriert. Beginnend mit R0 für die Randbedingung 1 im positiven Förderbereich bis zu R9 für die Randbedingung 3 im Rückförderbereich. R0F bezeichnet die Randbedingung 1 im positiven Förderbereich und R0R die Randbedingung 1 im Rückförderbereich.

Die Randbedingungen des Polynoms für den positiven Förderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_P(\pi_V = 0) = \pi_{P0}$

Randbedingung 2: Steigung am Wendepunkt $\pi_{\dot{v}W} $

Randbedingung 3: Lage des Wendepunktes $\pi_{PW}$

Randbedingung 4: $\pi_V(\pi_P = 0) = \pi_{V0}$

Randbedingung 5: $\pi_V(\pi_P = 0.15) = \pi_{V15}$

Hierbei ist R1 der Abszissenschnittpunkt, R4 der Ordinatenschnittpunkt der Kennlinie und R3 der Funktionswert an der Stelle $\pi_P = 0.15$ im dimensionslosen Druck-Durchsatz-Diagramm.

Die Randbedingungen des Polynoms für den negativen Förderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_V(\pi_P = 0) = \pi_{V0}$

Randbedingung 2: $\pi_P(\pi_V = 1.0) = \pi_{P10F}$

Randbedingung 3: $\pi_P(\pi_V = 1.5) = \pi_{P15}$

Randbedingung 4: $\pi_P(\pi_V = 2.0) = \pi_{P20}$

R2 bis R4 sind Funktionswerte an den Stellen $\pi_V = 1.0$, 1.5 und 2.0. Die Randbedingung R1 ist für beide Bereiche der Förderelemente identisch, und stellt damit einen stetigen Verlauf der Kennlinien beim Übergang vom positiven in den negativen $\pi_P$-Bereich sicher.

Die Randbedingungen des Polynoms für den Rückförderbereich lauten:

Randbedingung 1: $\pi_P(\pi_V = 0) = \pi_{P0}$

Randbedingung 2: $\pi_P(\pi_V = 1.0) = \pi_{P10R}$

Randbedingung 3: $\pi_V'(\pi_V = 1.0) = \pi_{V'10}$

R2 ist der Funktionswert an der Stelle $\pi_V = 1.0$ und R3 die Steigung an dieser Stelle.

Da die FE-Simulation nicht für alle Randbedingungen Druck-Durchsatz-Wertepaare liefert, mussten die fehlenden Wertepaare aus numerisch differenzierbaren Funktionen ermittelt werden. Es handelt sich dabei für die Kennlinien der Förderelemente um die Steigung an der Wendestelle $\pi_{\dot{v}W} $, , die Lage der Wendestelle $\pi_{PW}$, den Ordinatenschnittpunkt $\pi_{V0}$ und den Funktionswert bei $\pi_P = 0.15$ ($\pi_{V15}$). Für die Rückförderelemente ist es die Steigung bei $\pi_V = 1.0$ ($\pi_{V'10}$).

Die Güte der Approximation des Kennlinienfeldes ist von der Güte der Approximation der Randbedingungen abhängig. Die Randbedingungen müssen dabei die Abhängigkeiten der Einflussgrößen wiedergeben. Bei der Aufstellung der Approximationsgleichungen für die Randbedingungen wurde jede Einflussgröße gesondert untersucht. Auf diese Weise kann für jede Einflussgröße ein funktioneller Zusammenhang, im folgenden als Basisfunktionen bezeichnet, ermittelt werden. Die eigentliche Approximationsgleichung wird dann durch rekursives Einsetzen der Basisfunktionen ineinander erzeugt.

Die gewählte rekursive Vorgehensweise erzeugt mit den gewählten Basisfunktionen für jede der neun Randbedingungen eine Gleichung mit maximal 54 Koeffizienten.

Um eine Aussage über die Qualität der aufgestellten Approximationsgleichungen machen zu können, müssen die numerischen Werte aus der FE-Simulation mit den approximierten Werten verglichen werden. Für eine Abschätzung der praktischen Anwendbarkeit der Gleichungen muss darüber hinaus ein Vergleich mit experimentellen Daten vorgenommen werden.

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer dimensionsloser Druck-Durchsatz-Kennwerte

Das Bild zeigt beispielhaft den Vergleich zwischen numerischen und approximierten dimensionslosen Druck-Durchsatz-Kennwerten. Die approximierten Kennlinien (durchgezogene Linien) wurden für die gleichen Volumenströme wie die numerischen (Symbole) berechnet. Für den positiven Wertebereich der Förderelemente ist eine gute Anpassung zu erkennen. Geringfügige Abweichungen sind erst im negativen Bereich für große dimensionslose Durchsätze feststellbar. Diese Abweichungen, besonders bei Potenzgesetzexponenten $n > 0.7$, zu beobachten, sind auf die Wahl der Randbedingungen zurückzuführen.

Im Bereich der Rückförderelemente ist die Anpassung ebenfalls gut. Für jede beliebige Kombination der Einflussgrößen innerhalb der Variationsbreite zeigen sich vergleichbar gute Übereinstimmungen.

Im nächsten Bild wird für das Material Polypropylen und in dem darauffolgenden Bild für das Material Polystyrol ein Vergleich gemessener und approximierter Kennwerte dreigängiger Förderelemente einer RZE 85 vorgenommen. Zur besseren Orientierung sind jeweils die approximierten Kennlinien für den errechneten oberen bzw. unteren Potenzgesetzexponenten n, abhängig von der Schergeschwindigkeit, wiedergegeben.

Die experimentellen Werte liegen auf oder etwas rechts der approximierten Kennlinie, folgen ihr aber tendenziell. Das bedeutet, dass durch die Simulation und Approximation das Druckaufbauvermögen von Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern leicht unterschätzt wird.

Abbildung: Vergleich approximierter und experimenteller dimensionsloser Druck-Durchsatz Kennwerte für das Material Polypropylen

Abbildung: Vergleich approximierter und experimenteller dimensionsloser Druck-Durchsatz-Kennwerte für das Material Polystyrol

Dem theoretischen Dichtprofil sind durch die Fertigung Grenzen gesetzt. So existieren zwischen der Zylinderwand und den Schneckenstegen Spalte, durch die Schmelze in benachbarte Schneckenkanäle strömt. Ein Modell zur Berücksichtigung dieser Spaltströme wird in [Ans93] unter Anbindung des für den Leckstrom wirksamen Druckgradienten an den Druckgradienten in Schneckenkanalrichtung erläutert.

Die Bilanz der Kanal- und Leckvolumenströme unter Verwendung des ebenen Rinnenmodells führt zu:

$$\dot{V}_{ges} = k\dot{V}_z \mp \dot{V}_x\tag{14}$$

Hierbei ist $\dot{V}_{ges}$ der Volumenstrom, der dem System durch die Dosierung aufgezwungen wird, $\dot{V}_z$ der Kanalvolumenstrom und $\dot{V}_x$ der Leckvolumenstrom. $k$ ist die Anzahl der parallelen Schneckenkanäle. Das positive Vorzeichen in der obigen Gleichung gilt für fördernde Schneckenelemente und das negative für rückfördernde Elemente. Die Gleichung kann durch Division durch den Schleppströmungsanteil in dimensionsloser Form angegeben werden.

$$\pi_{V,Kanal} = \pi_{V,z} \mp \pi_k \pi_{V,x}\tag{15}$$

$\pi_k$ ist eine dimensionslose Geometriekonstante, welche die Spaltlänge und die Spaltweite $s_R$ beinhaltet.

$$\pi_k = \frac{(2\pi - \Omega)D_S \cos \varphi_S s_R \tan \varphi_S}{b_{max} \bar{h}}\tag{16}$$

Die Beschreibung des dimensionslosen Kanalvolumenstromes kann mit den Approximationsgleichungen als Funktion des dimensionslosen Druckgradienten $\pi_P$ erfolgen. Für das Überströmen der Schneckenstege kann vereinfacht eine eindimensionale strukturviskose Strömung angenommen werden, die durch einen linearen Zusammenhang der Form [Ans93]

$$\pi_{V,x} = C_{0x} - C_{1x}\pi_P\tag{17}$$

beschrieben werden kann. Die Konstanten $C_{0x}$ und $C_{1x}$ sind abhängig von der zu berechnenden Schneckenelementart. Für Förderelemente gilt [Pot83]:

$$C_{0x} = 1 \qquad C_{1x} = \frac{1}{n^{0.94}}\tag{18}$$

und für Rückförderelemente [NN93] :

$$C_{0x} = -\frac{(0.31 + 0.69n)}{n} e^{1-n} \qquad C_{1x} = \frac{1}{n} e^{1-n}\tag{19}$$

Man erhält somit für die zusammengefassten Strömungskomponenten gemäß Gleichung (5.17) die folgenden Bestimmungsgleichungen:

Förderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_{V,ges} = c_{0P} - \pi_k c_{0x} + (c_{1P} + \pi_k c_{1x}) \cdot \pi_P + c_{2P} \cdot \pi_P^2 + c_{3P} \cdot \pi_P^3\tag{20}$$

Förderelement, $\pi_P \leq 0$: $$\pi_{V,ges} = c_{0N} - \pi_k c_{0x} + (c_{1N} + \pi_k c_{1x})\pi_P + c_{2N}\pi_P^2 + c_{3N}\pi_P^3\tag{21}$$

Rückförderelement, $\pi_P \geq 0$: $$\pi_V = c_0 - \pi_k c_{0x} + (c_1 + \pi_k c_{1x})\pi_P + c_2\pi_P^2\tag{22}$$

Diese Gleichungen lassen sich nach dem gesuchten dimensionslosen Druckgradienten auflösen, wobei zu beachten ist, dass mehrere Lösungen bestehen. Da jedoch nur eine reelle Lösung im gesuchten Intervall existiert, lässt sich diese leicht ermitteln.

Abbildung: Vergleich von Druck-Durchsatzkennlinien von Förderelementen mit und ohne Berücksichtigung der Leckströmung

Abbildung: Vergleich von Druck-Durchsatzkennlinien von Rückförderelementen mit und ohne Berücksichtigung der Leckströmung

Die Bilder zeigen den Einfluss der Leckströmung in der Darstellung dimensionsloser Druck-Durchsatzkennlinien für Förder- und Rückförderelemente. Die Darstellungen beziehen sich auf die Geometriedaten für den ZSK-30 mit einem Radialspalt von $s_R = 0.075$ mm und einer Gangsteigung von 20 mm. Der Einfluss der Leckströmung ist bei reiner Schleppströmung ($\pi_P = 0$) am größten und nimmt mit zunehmenden $\pi_P$ ab. Aufgrund der Überlagerung eines Polynoms für das Kanalverhalten mit einer linearen Kennlinie für den Leckstrom kommt es zu einer Überschneidung der Kennlinien für kleine Fließgesetzexponenten.

Förderneutrale Knetelemente stellen hinsichtlich ihres Förderverhaltens einen Sonderfall dar. Aufgrund der Anordnung benachbarter Knetscheiben um den Versatzwinkels von $\alpha = \pi / i$ bildet sich keine bevorzugte Förderrichtung aus. Für die Analyse des rheologischen Verhaltens müssen sie deshalb getrennt behandelt werden. Die Vorgehensweise entspricht dabei der bei förderaktiven Schneckenelementen.

Grundlage der FE-Simulation bildet auch hier das ebene Rinnenmodell. Es wird zusätzlich davon ausgegangen, dass die Materialförderung identisch ist mit der Förderung in hintereinandergeschalteten Kanalsegmenten. Hieraus ergibt sich die Möglichkeit der zweieinhalbdimensionalen Simulation des Förderverhaltens.

Nachfolgende Abbildung zeigt die abgewickelte Kanalkontur mit der für die Simulation verwendeten Netzkonfiguration.

Abbildung: Verwendete Netzkonfiguration für förderneutrale Knetelemente

Die Ergebnisse der FE-Simulation lassen sich durch einen dimensionslosen Ansatz der Form

$$\pi_{PFN} = f(\pi_{\dot{V}FN}, n)\tag{23}$$

darstellen, wobei

$$\pi_{\dot{V}FN} = \frac{\dot{V}}{A_{Kanal}v_0}\tag{24}$$

der dimensionslose Durchsatz und

$$\pi_{PFN} = \frac{A_{Kanal}\frac{1+n}{n} \Delta p}{v_0^n K_{0T} \cdot L}\tag{25}$$

der dimensionslose Druckgradient ist.

Folgendes Bild zeigt beispielhaft die Ergebnisse der FE-Simulation (Symbole) für verschiedene Fließgesetzexponenten n.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten förderneutraler Knetelemente

Für Newtonische Schmelzen ($n=1$) ergibt sich ein linearer Zusammenhang. Die vom bewegten Zylinder hervorgerufene Zirkulationsströmung hat hierbei keinen Einfluss auf die Kanalhauptströmung. Das Newton'sche Verhalten lässt sich in guter Näherung mit

$$\pi_{PFN,N} = \pi_\dot{V} \cdot (a_1 CL^3 + a_2 CL^2 + a_3)\tag{26}$$

approximieren. Die Kurven für strukturviskoses Materialverhalten ($n<1$) lassen sich durch die Gleichung

$$\pi_{PFN} = \pi_{PFN,N}^{n^{0,5}}(1 - n)\Delta\pi_P\tag{27}$$

mit

$$\pi_P = \left(\pi_\dot{V} \frac{a_4}{CL^5} - a_5\right)\pi_\dot{V}^4 \frac{n}{CL^3} + \left(a_6n + a_7n^{\frac{1}{5}}CL^2 + \pi_\dot{V}^{\frac{3}{2}}a_8n^5CL^6\right)\pi_\dot{V}^{\frac{1}{2}}CL^4$$

$$+ \left[\left(\pi_\dot{V}^{2}a_9CL^{\frac{1}{2}} + a_{10}CL^4\right)\pi_\dot{V} + \pi_\dot{V}^n a_{11}n^4 + \pi_\dot{V}^{\frac{n}{5}}a_{12}\right]nCL\tag{28}$$

beschreiben. Die Konstanten $a_1$ bis $a_{12}$ sind in folgender Tabelle angegeben.

$a_1 = 370$ $a_2 = -873.733$ $a_3 = 2.49\pi^5$ $a_4 = 363$

$a_5 = -113$ $a_6 = 2.6$ $a_7 = -0.3083$ $a_8 = 1/22.5$

$a_9 = 13.3$ $a_{10} = -1.749$ $a_{11} = 2.928$ $a_{12} = 0.6589$

Abbildung: Konstanten für die Berechnung des dimensionslosen Druckgradienten förderneutraler Knetelemente

Der Gültigkeitsbereich von der Gleichung ist abhängig vom Achsabstandsverhältnis (center line ratio). Es gilt für den Bereich $CL \leq 1.75$

$$0 \leq \pi_{VFN} \leq 2\tag{29}$$

und für $1.75 < CL \leq 1.85$:

$$0 \leq \pi_{VFN} \leq 3\tag{30}$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer dimensionsloser Druckgradienten für förderneutrale Knetelemente

Bei der Verwendung des Rinnenmodells wurde der komplizierte Zwickelbereich durch ein parallelogrammförmiges, gerades Prisma ersetzt. Da die Abwicklung an der Zylinderwand vorgenommen wird, befindet sich der Zwickel in diesem Modell unterhalb der freien Kanalabschnitte. Eine ebene Vergrößerung dieses Bereiches zeigt folgende Abbildung.

Abbildung: Schematische Darstellung des Zwickelbereiches als Kanalverengung

$Z_{ei}$ wird mit:

$$Z_{ei} = \frac{L_{ei}}{\sin(\varphi_s)}\tag{31}$$

berechnet. Der Vergleich bei der Betrachtung der theoretischen Volumina $V_{fr1}$

$$A_r = A_{zw}L_{Ele}\tag{32}$$

mit den nach dem Rinnenmodell der Kanalabschnitte berechneten theoretischen Volumina $V_{fr2}$

$$V_{fr2} = k\bar{h}[b_{max}Z_{fr} + (b_{max}-e_{max})Z_{ei}]\tag{33}$$

zeigt für realistische Quotienten aus Achsabstand zu Schneckenaußendurchmesser und einer Gangzahl von bis zu $i = 3$ je nach Geometrieverhältnissen Abweichungen, die unter ca. +/- 3 Vol% liegen, d.h.:

$$V_{fr1} \approx V_{fr2}\tag{34}$$

Dadurch, dass der Zwickel zusätzlich als Kanalverengung der Länge $Z_{ei}$ mit in das Modell einbezogen wird, wird der Widerstand, den der Zwickel auf die Kanalströmung ausübt, berücksichtigt. Dieser Zwickelwiderstand ist für eingängige Profile groß, da sich große Stegbreiten ausbilden. Er darf aus diesem Grund bei der Ermittlung der Durchsatzkennlinie nicht gänzlich vernachlässigt werden.

Betrachtet man das Ergebnis einer dreidimensionalen Strömungssimulation in einem Förderelement, so erhält man das in der folgenden Abbildung dargestellte Geschwindigkeitsprofil. Man kann deutlich zwei wesentlich Bereiche unterschieden. Im Eingriffsbereich sind hohe positive axiale Geschwindigkeiten zu finden, während in allen anderen Bereichen deutlich geringere, hauptsächlich negative, axiale Geschwindigkeiten zu finden sind.

Während also in den Kanälen Rückströmungen infolge eines Druckgradienten zu finden sind, findet man im Eingriffsbereich ausschließlich positive Axialgeschwindigkeiten. Diese Erkenntnis ist bei der Modellbildung zu berücksichtigen.

Aufgrund der unterschiedlichen Strömungsverhältnisse in den Kanälen und im Eingriff werden die Volumenströme im Eingriff und in den Kanälen getrennt modelliert. Eine Bilanz der Volumenströme ergibt:

$$\dot{V}_{ges} = \dot{V}_{zwickel} + k \cdot \dot{V}_{Kanal} - \dot{V}_{spalt}\tag{35}$$

Für den Zwickelvolumenstrom wird eine Kammerförderung angenommen, diese ergibt sich aus dem mittleren freien Zwickelvolumen und der Drehzahl:

$$\dot{V}_{zwickel} = \bar{V}_{zwickel} \cdot n_0\tag{36}$$

Abbildung: Strömungsprofil in einem Förderelement (ZSK30, Förderelement 28/28, PP Stamylan P17E19FC(DSM), V=2814mm³/s=7.53kg/h, n₀=455 1/min)

Die Strömungsberechnung in den Kanälen wird wie vorgestellt durchgeführt, nur dass statt des dosierten Volumenstromes ein um den Zwickelvolumenstrom reduzierter Volumenstrom verwendet wird.

Für die Berechnung der Druckgradienten in Blisterscheiben werden folgende geometrische Vereinfachung getroffen:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Blisterscheiben sind gleich ($s_{F1} \approx s_{F2}$).
• Die Geometrie kann durch Aneinanderreihung von Scheiben konstanten Durchmessers hinreichend genau beschrieben werden.

Abbildung: Geometrisches Ersatzmodell für Blisterscheiben

Die Geometrie wird durch folgende dimensionslose Kennzahlen beschrieben:

$$k1 = \frac{D_i}{D_z}\tag{37}$$

$$k2 = \frac{D_i}{D_a}\tag{38}$$

$$cl = \frac{a}{D_z/2}\tag{39}$$

Analog zur vorgestellten Approximation werden noch ein dimensionsloser Volumenstrom,

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{0.5 \cdot A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}\tag{40}$$

ein dimensionsloser Druckgradient

$$\pi_P = \frac{\Delta p \cdot R_z}{L \cdot n_0^n \cdot K}\tag{41}$$

und der Fließgesetzexponent $n$ zur Berechnung benötigt.

Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

$k1$: $0.7 \leq k1 \leq 1$
$k2$: $0.7 \leq k2 \leq 0.98$
$Cl$: $1.65 \leq Cl \leq 1.85$
$n$: $0.2 \leq n \leq 1$
$\pi_V$: $0.01 \leq \pi_V \leq 5$

Da das Potenzfließgesetz zur Modellbildung verwendet wurde, ist die Bestimmung der mittleren Schergeschwindigkeit essentiell wichtig. Die mittlere Schergeschwindigkeit wurde, wie das Druck-Durchsatzverhalten, mit Hilfe der oben beschriebenen Finite Element Rechnungen ermittelt. Die Approximation erfolgte unter Zuhilfenahme einer dimensionslosen Schergeschwindigkeit $\pi_{\dot{\gamma}}$.

$$\pi_\gamma = \left(\frac{\dot{\gamma}}{n_0}\right)^n \tag{42}$$

Die dimensionslose Schergeschwindigkeit ist abhängig von:

• der Geometrie (dimensionslose Kenngrößen $k1, k2, cl$)
• dem dimensionslosen Volumenstrom $\pi_V$ und
• dem Fließgesetzexponenten $n$

Zur Beschreibung wurde eine lineare Gleichung verwendet:

$$\pi_{\dot{\gamma}} = A_0(k1, k2, cl, n) + A_1(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_V\tag{43}$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer Schergeschwindigkeits-Kennwerte

Das Druck-Durchsatzverhalten lässt sich durch ein Polynom zweiter Ordnung approximieren:

$$\pi_V = A_{B,1}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P + A_{B,2}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P^2\tag{44}$$

Abbildung: Vergleich approximierter und numerischer Druck-Durchsatz-Kennwerte

Das Druck-Durchsatzverhalten lässt sich durch ein Polynom zweiter Ordnung approximieren:

$$\pi_V = A_{B,1}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P + A_{B,2}(k1, k2, cl, n) \cdot \pi_P^2\tag{45}$$

Der Vergleich der durch das Modell vorhergesagten Druckgradienten mit den experimentell ermittelten zeigt eine ausreichende Übereinstimmung.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter Druckgradienten in Blisterscheiben

Für die Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens in Zahnmischelementen sind ebenfalls einige Modellannahmen notwendig:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Zahnmischelemente sind konstant ($s_{F1} \approx s_{F2}$).
• Die Strömung in den Nuten kann hinreichend genau durch eine Strömung in Rechteckkanälen beschrieben werden.

Abbildung: Reale Zahnscheibengeometrie und geometrisches Ersatzmodell

Die bisher veröffentlichten Gleichungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Rechteckkanälen stammen aus der Einschneckentheorie. Hier treten hauptsächlich fördernde Kanäle auf. Weiter ist das Verhältnis von Kanalbreite $b$ zu Kanalhöhe $h$ sehr groß ($b/h > 10$). Gangsteigungen größer als $2 \cdot \text{Schneckendurchmesser}$ findet man in Einschneckenmaschinen kaum. Betrachtet man nun die Nuten in Zahnmischelementen, so ist zum einen festzustellen, dass das Verhältnis von Kanalbreite zu Kanalhöhe deutlich kleiner 10 ist, zum anderen, dass je nach Hersteller dieser Elemente, die Nuten fördernd, förderneutral oder rückfördernd ausgeführt werden. Außerdem werden diese Nuten häufig in großen Gangsteigungen ausgeführt $t > 5 \cdot D_s$.

Aus diesem Grund wurden Finite-Element Rechnungen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens in Geometrien mit geringen $b/h$-Verhältnissen durchgeführt. Im Rahmen der FE-Simulation zur Erzeugung der Datenbasis für die nachfolgende Approximation wurden die Einflussgrößen in praxisrelevanten Grenzen variiert:

• $b/h$: $0.05 \leq b/h \leq 40$
• $t/d$: $0.5 \leq t/d \leq 10$ (nur fördernd und rückfördernd)
• $n$: $0.2 \leq n \leq 1$
• $\pi_V$: $0 \leq \pi_V \leq 10$

Das Druck-Durchsatzverhalten der drei Fälle kann durch Polynome dritter Ordnung beschrieben werden,

$$\pi_V = A_{R,0}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) + A_{R,1}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P + A_{R,2}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^2 + A_{R,3}\left(\frac{t}{D_a}, \frac{b}{h}, n\right) \cdot \pi_P^3\tag{46}$$

wobei zu bemerken ist, dass der Parameter $A_0$ für förderneutrale Rechteckkanäle 0 ist. In den nachfolgenden Bildern sind die Verläufe des dimensionslosen Druckgradienten in Abhängigkeit des dimensionslosen Volumenstroms für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt.

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Rechteckkanäle

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Rechteckkanäle

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Rechteckkanäle

Das Druck-Durchsatzverhalten eines Zahnmischelementes ergibt sich aus der Überlagerung der Volumenströme einer vergleichbaren Blisterscheibe und der Volumenströme in den Rechteckkanälen:

$$\dot{V}_{zahnmisch} = \dot{V}_{scheibe} + i \cdot \dot{V}_{rechteck}\tag{47}$$

Hieraus ergibt sich folgende Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Zahnmischelementen:

$$\pi_V = Y_0 + Y_1 \cdot \pi_P + Y_2 \cdot \pi_P^2 + Y_3 \cdot \pi_P^3\tag{48}$$

mit:

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot n_0 \cdot A_{frei} \cdot D_a}\tag{49}$$

$$\pi_P = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{s}_F}{6 \cdot K \cdot n_0^n}\tag{50}$$

und

$$Y_0 = A_{R,0} \cdot i \cdot \pi_{geo,V}\tag{51}$$

$$Y_1 = A_{B,1} + A_{R,1} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}\tag{52}$$

$$Y_2 = A_{B,2} + A_{R,2} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^2\tag{53}$$

$$Y_3 = A_{R,3} \cdot i \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^3\tag{54}$$

Die beiden Faktoren $\pi_{geo,V}$ und $\pi_{geo,p}$ werden zur Kopplung der beiden Volumenströme benötigt. Sie sind definiert als:

$$\pi_{geo,V} = \frac{1/2 \cdot h \cdot b \cdot v_{0z}}{1/2 \cdot A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}\tag{55}$$

und:

$$\pi_{geo,p} = \frac{h^{1+n}}{6 \cdot (\pi \cdot D_a \cdot \cos(\varphi_s))^n}\tag{56}$$

Aus der Überlagerung der Volumenströme ergibt sich je nach Förderart ein unterschiedliches Druck-Durchsatzverhalten.

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde Zahnmischelemente

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für förderneutrale Zahnmischelemente

Abbildung: Druck-Durchsatzkennlinien für rückfördernde Zahnmischelemente

Der Vergleich der durch das Modell vorhergesagten Druckgradienten mit den experimentell ermittelten zeigt eine befriedigende Übereinstimmung.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter Druckgradienten in fördernden Zahnmischelementen

Die Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie stellen die Grundlage aller mathematisch-physikalischen Beschreibungen von Strömungsvorgängen dar. Zur Beschreibung eines Sachverhaltes müssen an jedem Ort zu jeder Zeit das Geschwindigkeitsfeld und die thermodynamischen Zustandsgrößen Druck, Dichte und Temperatur bekannt sein. Zusätzlich sind die Erhaltungsgleichungen mit einer Gleichung zur Beschreibung des Materialverhaltens (Konstitutivgleichung) zu verknüpfen. Für die Lösung des Systems aus Erhaltungs- und Konstitutivgleichungen sind zusätzlich vereinfachende Annahmen zu treffen und Randbedingungen vorzugeben. Die Qualität der Vereinfachungen und der Randbedingungen bestimmt dabei die Genauigkeit der Lösung. Die Gesamtheit aller oben beschriebenen Schritte ergibt das physikalisch-mathematische Modell.

Zur Beschreibung der Strömung von Kunststoffschmelzen sind - wie oben erwähnt - die Erhaltungsgleichungen zu lösen. Die Erhaltungsgleichungen werden hier zunächst allgemein in differentieller Form angegeben.

Kontinuitätssatz

Der Kontinuitätssatz ist die mathematische Formulierung einer Massebilanz in einem ortsfesten Kontrollraum. Er besagt, dass die in einem Volumen gespeicherte Masse der Differenz der ein- und austretenden Masseströme entspricht.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla(\rho \cdot \vec{v}) = 0\tag{57}$$

Dabei ist $\rho$ die Dichte der Kunststoffschmelze, $t$ die Zeit und $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor.

Bewegungsgleichung (Impulssatz)

Die Bewegungsgleichung besagt, dass die Änderung eines Impulses pro Zeit in einem Volumenelement der Differenz von ein- und austretendem Impuls plus der am System wirkenden Kräfte (z.B. aufgrund der Erdbeschleunigung) ist.

$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho \cdot \vec{v}) = -\nabla(\rho \cdot \vec{v} \cdot \vec{v}) - \nabla p - \nabla \tau + \rho \cdot \vec{a}\tag{58}$$

Energiesatz

Eine Formulierung der Bilanz der im Kontrollraum gespeicherten Wärmemenge zu den zu- und abfließenden Wärmeströmen stellt der Energieerhaltungssatz dar.

$$\rho \cdot c \cdot \left(\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla T\right) = -\nabla \vec{q} + \tau:\nabla \vec{v} + \phi\tag{59}$$

Bei Kunststoffschmelzen hängt die Viskosität gleichzeitig von Temperatur und Schergeschwindigkeit ab. In der Literatur sind Modelle zu finden, welche die einzelnen Abhängigkeiten getrennt modellieren. Anschließend werden die Ansätze zu einem umfassenden Beschreibungsansatz zusammengefügt.

Am häufigsten verwendete Ansätze zur Beschreibung der Schergeschwindigkeitsabhängigkeit der Viskosität:

Potenzgesetz $$\eta(\dot{\gamma}) = K \cdot a_T \cdot \dot{\gamma}^{n-1}\tag{60}$$

Carreau-Ansatz $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot (1 + (B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^c)^{-1}\tag{61}$$

Ansatz nach Carreau-Michaeli $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot (1 + B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^{-c}\tag{62}$$

Yasuda-Ansatz $$\eta(\dot{\gamma}) = A \cdot a_T \cdot \left(1 + (B \cdot a_T \cdot \dot{\gamma})^k\right)^{\frac{-c}{k}}\tag{63}$$

Ansätze zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität:

vereinfachter Arrhenius-Ansatz $$\ln(a_T) = -\beta \cdot (T - T_{Bez})\tag{64}$$

Arrhenius-Ansatz $$\ln(a_T) = -\frac{E}{R} \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{Bez}}\right)\tag{65}$$

WLF-Ansatz $$\log(a_T) = \frac{8.86 \cdot (T_{Bez} - T_S)}{101.6 + T_{Bez} - T_S} - \frac{8.86 \cdot (T - T_S)}{101.6 + T - T_S}\tag{66}$$

Mathematisch ist das Potenzgesetz leicht handhabbar. Die Verwendung des Ansatzes ist jedoch mit dem Nachteil verbunden, dass dieses Modell das Fließverhalten nur in bestimmten Abschnitten der Fließkurve hinreichend gut beschreiben kann. Eine Beschreibung der gesamten Fließkurve mit Hilfe dieses Gesetzes ist im Allgemeinen nicht möglich. Bessere Beschreibungen liefern die drei ersten Ansätze. Diese haben jedoch den Nachteil, dass sie mathematisch nur schwer handhabbar sind. Wegen der beschriebenen Nachteile wird im Folgenden das Potenzgesetz verwendet, dessen Parameter lokal an das Carreau-Michaeli-Gesetz angepasst ist. Grundlage ist dabei, dass die mittlere Schergeschwindigkeit im interessierenden Strömungsabschnitt bekannt ist.

Grundlage der Finite-Elemente Simulationen ist die Diskretisierung eines Kontinuums mit unendlich vielen Freiheitsgraden durch endliche Elemente mit endlich vielen Freiheitsgraden [Chu89]. Diese Elemente sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. Die Verläufe der gesuchten Funktionen werden durch Ansatzfunktionen beschrieben, die eine Annäherung des wahren Verlaufes darstellen. Mit Hilfe einer geeigneten Methode werden die Funktionswerte an den Knotenpunkten zu einem globalen Gleichungssystem zusammengefasst. Das Lösen dieses Gleichungssystems stellt die eigentliche Hauptaufgabe der Finiten-Elemente Methode dar. Eine Verbesserung der Genauigkeit kann durch eine feinere Diskretisierung des Kontinuums oder durch eine Erhöhung der Ordnung der Ansatzfunktion der Elemente erreicht werden.

Eine Analyse bestehender Modelle zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteck- und Doppelschneckenkanälen ergab, dass diese Modelle nur bedingt zur Beschreibung von Mischelementen geeignet sind. Dies soll anhand der Ergebnisse einer dreidimensionalen Finite Element Simulation eines Gewindemischelementes erklärt werden.

Abbildung: Geschwindigkeitsprofile in einem Gewindemischelement.

Im Bild ist der Verlauf der axialen Geschwindigkeiten in einem fördernden Gewindemischelement mit rückfördernden Nuten dargestellt.

Man erkennt, dass im Bereich der Nuten überwiegend negative axiale Geschwindigkeiten auftreten, der Volumenstrom in den Nuten folglich entgegen der Förderrichtung des Elementes gerichtet ist. Aus dieser Erkenntnis und aus den Geometrien der Mischelemente ergeben sich folgende Anforderungen an die Druck-Durchsatzmodelle:

• Bereiche, in denen $\dot{V} \leq 0$ ist, müssen abgebildet werden können,
• Geometrien, deren Gangsteigungsverhältnis $\frac{t}{D_s} > 2$ ist, müssen berücksichtigt werden können und
• Geometrieabschnitte deren Verhältnis von Kanalbreite zu Kanalhöhe $\frac{b}{h} < 2$ ist, müssen beschrieben werden können.

Bestehende Durchsatzgleichungen für Rechteckkanäle (z.B. [Jun00]) oder für Doppelschneckenkanäle (z.B. [Ans93], [Mel00] ) können diese Anforderungen nicht erfüllen.

Zur Beschreibung des Förderverhaltens der Schneckenelemente werden zuerst Grundgeometrien (Doppelschneckenkanäle, Rechteckkanäle und Scheibenelemente) untersucht und modelliert. Im Anschluss werden die Modelle zu einem Gesamtmodell für die Beschreibung des Förderverhaltens der Schneckenelemente überlagert.

Abbildung: Dimensionslose Kenngrößen zur Charakterisierung der Geometrie

Die Datenbasis für die Modellbildung wurde für alle Elemente mit Hilfe von Finite Elemente Simulationen erstellt. Um die Zahl der Finite Elemente Berechnungen zu begrenzen, wurde vor den Berechnungen die Geometrie der Elemente normiert. Die verwendeten dimensionslosen Kenngrößen sind in der Tabelle aufgelistet.

Zusätzlich wurde für die Berechnungen das Potenzgesetz verwendet. Um den durch die Verwendung des Potenzgesetzes entstehenden Fehler zu begrenzen, wurde neben dem Druck-Durchsatzverhalten, auch die Schergeschwindigkeit approximiert. Dies ermöglicht die Bestimmung der lokalen Potenzgesetzparameter im interessieren Schergeschwindigkeitsbereich aus der Fließkurve.

Die vorgestellten Modelle stellen Approximationen der Finite-Elemente Ergebnisse dar. Um physikalisch sinnvolle Ergebnisse zu erzielen, werden Randbedingungen an das Modell gestellt:

• Die Druck-Durchsatzkennlinien sind im Newton'schen Fall linear.
• Die Modelle für Rechteck- und Doppelschneckenkanäle sollen für fördernde, rückfördernde und neutrale Kanäle anwendbar sein.

Für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteckkanälen gilt zusätzlich folgende Randbedingung:

• Liegt ein Newton'sches Fluid ($n=1$) vor, sinkt der Einfluss des Gangsteigungswinkels auf das Druck-Durchsatzverhalten mit steigendem $b/h$-Verhältnis

$$\pi_V = \left(\frac{b}{h} \rightarrow \infty, n = 1\right) \neq f(\varphi_s)\tag{67}$$

Diese Anforderung kann aufgrund der dichtkämmenden Geometrie nicht auf Doppelschneckenkanäle übertragen werden, da Kanalbreite und Kanalhöhe nicht unabhängig voneinander variiert werden können, sie vielmehr von der Gangsteigung, dem Achsabstand, dem Schneckendurchmesser und der Gangzahl abhängig sind. Die Gleichung kann jedoch nur gelten, wenn die Kanalbreite unabhängig von der Gangsteigung ist.

Abbildung: Einfluss des Gangsteigungswinkels auf die Geometrie von Doppelschneckenkanälen.

Für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens der Kanalgeometrien bedeutet die Forderung der Anwendbarkeit auf fördernde, rückfördernde und neutrale Kanäle, dass die von Ansahl [Ans93] und Melisch [Mel00] verwendeten Kenngrößen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens:

• der dimensionslose Volumenstrom $\pi_V = \frac{\dot{V}}{\frac{1}{2} \cdot h \cdot b \cdot v_0 \cdot \cos(\varphi_s)}$
• der dimensionslosen Druckgradient $\pi_p = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{h^{1+n}}{6 \cdot K \cdot v_0^n \cdot \cos^n(\varphi_s)}$

mit dieser Anforderung nicht vereinbar sind, da sie im neutralen Fall nicht definiert sind. Aus diesem Grund werden für diese Untersuchungen leicht modifizierte Kenngrößen verwendet.

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{h \cdot b \cdot v_0}\tag{68}$$

und

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n}\tag{69}$$

Zur Beschreibung des Prozessverhaltens von Scheibenelementen werden folgende Kenngrößen verwendet:

$$\pi_V = \frac{\dot{V}}{A_{fr} \cdot D_a \cdot n_0}\tag{70}$$

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{L} \cdot \frac{D_a}{K \cdot n_0^n}\tag{71}$$

Die anschließende Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteck- und Doppelschneckenkanälen soll die Basis für die Modellierung verschiedenster Schneckenelemente bilden. Die Modelle beider Kanalarten basieren auf der gleichen Vorgehensweise. Das Kennlinienfeld wird in 3 Bereiche aufgeteilt.

• Bereich I: Hier liegt ein negativer Volumenstrom vor. Dies kann in einzelnen Kanalabschnitten auftreten, so ist z.B. bei genuteten Gewindeelementen in den Nuten eine Rückströmung zu beobachten.
• Bereich II: In diesem Bereich liegen ein positiver Volumenstrom und ein positiver Druckgradient vor.
• Bereich III: In diesem Bereich ist ein negativer Druckgradient bei einem positiven Volumenstrom zu finden.

Abbildung: Randbedingungen für die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens.

Bei der eigentlichen Modellierung ist besonders auf eine hinreichend gute Beschreibung der im Bild dargestellten Achsenabschnittspunkte zu achten, da anhand dieser Punkte die Teilmodelle für die einzelnen Bereiche miteinander gekoppelt werden. Der Schnittpunkt der Kennlinie mit der Y-Achse wird im Folgenden als (dimensionslose) Schleppförderkapazität bezeichnet. Physikalisch repräsentiert dieser Punkt einen Zustand, in dem der Kanal voll gefüllt ist, aber gerade noch kein Druck aufgebaut wird. Der Schnittpunkt der Kennlinie mit der X-Achse repräsentiert einen Betriebspunkt, in dem die Schleppvolumenströme genauso groß sind wie die Volumenströme, die aufgrund einer Druckrückströmung entstehen. Die Folge ist, dass in Summe keine Strömung herrscht, der betrachtete Kanalabschnitt also wie eine abgeschlossene Mischkammer funktioniert.

Die Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens basiert auf einer Vielzahl von Finite Elemente Simulationen. Hierbei wurden die dimensionslosen Kenngrößen systematisch und vollfaktoriell variiert. Die Variationsgrenzen wurden so gewählt, dass sie den bisher technisch realisierten Bereich teilweise deutlich überschreiten, so dass eine Modellextrapolation, die bei statistischen Modellen problematisch sein kann, weitestgehend vermieden wird. Im Einzelnen wurden die Parameter in den aufgelisteten Grenzen variiert.

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Rechteckkanälen:

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Doppelschnecken Kanälen:

Variation der Einflussgrößen für die Finite Elemente Simulationen von Scheibenelementen:

In der Summe resultieren hieraus 61.727 Finite Elemente Simulationen für Rechteckkanäle, 94.392 Simulationen für Doppelschneckenkanäle und ca. 14.000 Simulationen für Scheibenelemente.

Zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Rechteckkanälen wird das Kennlinienfeld in drei Bereiche aufgeteilt. Hierzu werden die in den folgenden Gleichungen dargestellten Modelle verwendet. Die Parameter sind abhängig von der Geometrie und dem Potenzgesetzexponenten. Eine detaillierte Darstellung der Modellgleichung ist im Anhang C1.1 von [Kre04] zu finden.

Zone I: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_p + C_{RE,I,3} \cdot \pi_p^2\right)\tag{72}$$

Zone II: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_p=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_p + C_{RE,II,2} \cdot \pi_p^2\right)\tag{73}$$

Zone III: $$\pi_V = \pi_V|_{\pi_p=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_p + C_{RE,III,2} \cdot \pi_p^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_p^5\tag{74}$$

mit $$\pi_p|_{\pi_V=0} = C_{Re,S,1} \cdot \cos(\varphi_s) + C_{Re,S,2} \cdot \cos^2(\varphi_s) + C_{Re,S,3} \cdot \cos^5(\varphi_s)\tag{75}$$

$$\pi_V|_{\pi_p=0} = C_{Re,P,1} \cdot \cos(\varphi_s) + C_{Re,P,2} \cdot \cos^2(\varphi_s) + C_{Re,P,3} \cdot \cos^5(\varphi_s)\tag{76}$$

Die berechneten dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im folgenden Bild den Polyflow Ergebnissen für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten gegenübergestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Die Kennlinien von fördernden und rückfördernden Kanälen verhalten sich zueinander punktsymmetrisch

$$\pi_{V,Fo}(\pi_{p,Fo}) = -\pi_{V,RFo}(-\pi_{p,RFo})\tag{77}$$

d.h. wenn die Kennlinien der fördernden Kanäle bekannt sind, können auf dieser Basis die Kennlinien der rückfördernden Kanäle deduziert werden.

Die Kennlinie zur Beschreibung förderneutraler Elemente entspricht der Beschreibung fördernder Elemente im Bereich III, da die Schleppförderkapazität Null ist und das Element folglich immer überfahren wird. Folgendes Bild zeigt die Druck-Durchsatzkennlinien für die drei Förderarten und unterschiedliche Potenzgesetzexponenten. Man erkennt, dass die oben beschriebene Transformation der Kennlinien hinreichend gute Beschreibungen der Polyflow Ergebnisse erlauben.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde, rückfördernde und förderneutrale Rechteckkanäle.

Analog zur Vorgehensweise bei der Modellierung von Rechteckkanälen, werden auch bei der Modellierung der Doppelschneckenkanäle drei Bereiche unterschieden. Zur Beschreibung der einzelnen Bereiche werden die in den folgenden Gleichungen dargestellten Modelle verwendet. Die Parameter sind abhängig von der Geometrie und dem Potenzgesetzexponenten. Eine detaillierte Darstellung der Modellgleichung ist in Anhang C2.1 von [Kre04] zu finden.

Zone I: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_p + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_p^2\right)\tag{78}$$

Zone II: $$\pi_V = \left(1 - \frac{\pi_p}{\pi_p|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_p=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_p + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_p^2\right)\tag{79}$$

Zone III: $$\pi_V = \pi_V|_{\pi_p=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_p + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_p^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_p^5\tag{80}$$

mit $$\pi_V|_{\pi_p=0} = \frac{1}{C_{DSE,S,1} + C_{DSE,S,2} \cdot CL}\tag{81}$$

$$\pi_p|_{\pi_p=0} = (C_{DSE,P,1} + C_{DSE,P,2} \cdot \sqrt{CL})\tag{82}$$

Die dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Das Modell zur Beschreibung des Förderverhaltens von Doppelschneckenkanälen kann für fördernde und rückfördernde Kanäle verwendet werden. Im Bild ist ein Vergleich der Modellvorhersagen mit den Polyflow Ergebnisse für fördernde und rückfördernde Kanäle dargestellt. Man erkennt für alle drei Förderarten eine hinreichend gute Beschreibung.

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für fördernde, rückfördernde und förderneutrale Doppelschneckenkanäle.

Zur Beschreibung des Durchsatzverhaltens von Scheibenelementen wird, im Gegensatz zu den vorherigen Geometrien, nur eine Zone betrachtet. Grund hierfür ist, dass die Scheibenelemente neutrale Elemente sind, und so immer Druckverbraucher darstellen. Eine vollständige Modellierung kann also allein auf der Zone III dieses Elements erreicht werden.

$$\pi_V = C_{SE,1} \cdot \pi_p + C_{SE,2} \cdot \pi_p^2 + C_{SE,3} \cdot \pi_p^3\tag{83}$$

Abbildung: Vergleich der berechneten und der vorhergesagten Druck-Durchsatzkennlinien für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten.

Die dimensionslosen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für unterschiedliche Potenzgesetzexponenten dargestellt. Man erkennt, dass das Modell eine hinreichend gute Beschreibung über einen weiten Bereich gibt. Die Parameter in Gleichung hängen von den dimensionslosen Geometriekenngrößen und dem Potenzgesetzexponenten ab. Sie sind in Anhang C3.1 in [Kre04] im Detail erklärt.

Bei der Modellierung des Druck-Durchsatzverhaltens von Gewindeelementen sind zwei Zonen zu unterscheiden, in denen verschiedene Mechanismen zur Förderung der Schmelze führen:

• eine Förderung aufgrund von Schleppmechanismen im Kanalbereich und
• eine Zwangsförderung im Eingriffsbereich.

In den Schneckenkanälen sind geringe, teilweise sogar negative, Axialgeschwindigkeiten zu finden, während im Eingriff der Schnecken relativ große Axialgeschwindigkeiten berechnet werden. Hieraus folgt, dass die Förderung im Gewindeelement, zumindest bei geringen Durchsätzen, von der Strömung im Eingriffsbereich dominiert wird. Im Schneckenkanal findet bei diesen Betriebspunkten eine Rückströmung statt.

Um diesen Effekt abbilden zu können, werden die Strömung im Eingriffsbereich und die Strömung in den Schneckenkanälen zunächst getrennt voneinander modelliert und erst anschließend gekoppelt.

$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Kanal,GE} + \dot{V}_{Eingriff,GE}\tag{84}$$

Zur Beschreibung der Strömung im Kanalbereich wird ein Rinnenmodell verwendet. Hierbei werden Schnecke und Zylinder entlang der Zylinderwand abgewickelt. Zusätzlich wird eine kinematische Umkehr vorgenommen, d.h. die drehende Schnecke wird durch stillstehende, parallele Kanäle abgebildet über die sich der abgewickelte Zylinder bewegt.

Abbildung: Rinnenmodell für zweigängige fördernde Gewindeelemente [Ans93]

Die Geschwindigkeit $v_0$ des abgewickelten Zylinders ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit am Außendurchmesser der sich mit der Drehzahl $n_0$ drehenden Schnecke.

$$v_0 = \pi \cdot D_s \cdot n_0\tag{85}$$

Die Modellierung des Förderverhaltens erfolgt nun auf der Basis einer Volumenstrombilanz an den Kontrollräumen ABC im Bild.

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \dot{V}_{z,GE} + \dot{V}_{x,GE}\tag{86}$$

Strömung in der Rinne

Zur Beschreibung der Rinnenströmung $\dot{V}_z$ wird der vorgestellte Ansatz verwendet.

$$\dot{V}_{z,GE} = \pi_{V,z,GE} \cdot (\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0)\tag{87}$$

Es ist zu berücksichtigen, dass die Berechnung von $\pi_{V,z}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,z,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{DSE,I,1} + C_{DSE,I,2} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,I,3} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \pi_{V,z} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,z}}{\pi_{p,z}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,II,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,II,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,z} \leq \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,z}=0} + C_{DSE,III,1} \cdot \pi_{p,z} + C_{DSE,III,2} \cdot \pi_{p,z}^3 + +C_{DSE,III,3} \cdot \pi_{p,z}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,z}=0} \leq \pi_{V,z} \end{cases}\tag{88}$$

mit

$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}\tag{89}$$

Für die nachfolgenden Schritte ist es deshalb zweckmäßig die Gleichung in allgemeiner Form:

$$\pi_{V,z,GE} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\tag{90}$$

zu schreiben.

Strömung im Radialspalt

Zur Beschreibung der Leckströmung wird der vorgestellte Ansatz für Rechteckkanäle verwendet.

$$\dot{V}_{x,GE} = \pi_{V,x} \cdot (s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0)\tag{91}$$

Es ist zu berücksichtigen, dass auch die Berechnung von $\pi_{V,x}$ abschnittsweise erfolgt:

$$\pi_{V,x,GE} = \begin{cases} \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(C_{RE,I,1} + C_{RE,I,2} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,I,3} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \pi_{V,x} < 0 \\ \\ \left(1 - \frac{\pi_{p,x}}{\pi_{p,x}|_{\pi_V=0}}\right) \cdot \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,II,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,II,2} \cdot \pi_{p,x}^2\right) & \text{für } 0 \leq \pi_{V,x} \leq \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \\ \\ \left(\pi_V|_{\pi_{p,x}=0} + C_{RE,III,1} \cdot \pi_{p,x} + C_{RE,III,2} \cdot \pi_{p,x}^3 + +C_{RE,III,3} \cdot \pi_{p,x}^5\right) & \pi_V|_{\pi_{p,x}=0} \leq \pi_{V,x} \end{cases}\tag{92}$$

mit

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{e_{max}} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n}\tag{93}$$

Auch hier wird aus Gründen der Übersichtlichkeit eine allgemeine Schreibweise gewählt:

$$\pi_{V,x} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\tag{94}$$

Kopplung der Volumenströme

Löst man die Gleichungen nach den dimensionsbehafteten Volumenströmen auf und setzt diese dann wieder ein, erhält man:

$$\dot{V}_{Kanal,GE} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)\tag{95}$$

Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:

$$\pi_{V,GE} = \frac{\dot{V}_{Kanal,GE}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)\tag{96}$$

Im nächsten Schritt ist eine Kopplung der Druckgradienten in Kanalrichtung und über den Schneckensteg notwendig. Hierfür wird auf die von Ansahl [Ans93] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Nach Ansahl gilt:

$$\Delta p_x = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\tan(\varphi_s)}\tag{97}$$

Durch Einsetzen folgt:

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max} \cdot s_R^{1+n}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s) \cdot K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z}\tag{98}$$

mit

$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\overline{h}}\right)^{1+n}\tag{99}$$

Aus den erhält man die Gleichung zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens des Kanalbereichs von Gewindeelementen für Doppelschneckenextruder:

$$\pi_{V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5\tag{100}$$

mit

$$\pi_1 = \frac{s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}\tag{101}$$

In der Literatur wurden verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Strömung im Eingriffsbereich entwickelt. Im Folgenden wird der Ansatz von Booy [Boo80] verwendet.

$$\dot{V}_{Eingriff,GE} = A_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0\tag{102}$$

Bakalis [BK02] zeigte anhand von Messungen und Strömungssimulationen, dass die berechneten Volumenströme gut mit den Messungen und Simulationsergebnissen übereinstimmten

Im letzten Schritt ist dem Volumenstrom im Rinnenmodell der Volumenstrom im Eingriffsbereich zu überlagern:

$$\dot{V}_{GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \dot{V}_{Kanal,GE} = \dot{V}_{Eingriff,GE} + \pi_{V,Kanal,GE} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)\tag{103}$$

Die theoretischen Druck-Durchsatzkennlinien sind im Bild für fördernde und rückfördernde Gewindeelemente dargestellt.

Abbildung: Druck-Durchsatzverhalten von fördernden und rückfördernden Gewindeelementen.

Im Bild ist ein Vergleich der Modellvorhersagen zu experimentellen Ergebnissen zu sehen. Die Versuche wurden an einem Modellextruder unter Verwendung von Silikonöl als Schmelze durchgeführt.

Abbildung: Vergleich berechneter und gemessener Druckgradienten in Gewindeelementen.

Man erkennt, dass das Modell die gemessenen Druckgradienten gut beschreiben kann.

Im Bild sind die Verläufe der axialen Geschwindigkeit in einem fördernden, dichtkämmenden Gewindemischelement auf zwei unterschiedlichen Ebenen dargestellt. Aus den Geschwindigkeitsverläufen ist zu erkennen, dass die Strömung in den Nuten und im Eingriffsbereich der beiden Schnecken sich signifikant von der Strömung im Kanalbereich unterscheidet. Im Eingriffsbereich sind Axialgeschwindigkeiten zu finden, die wesentlich größer sind als die Axialgeschwindigkeiten im Kanalbereich. In den Nuten ist ein anderer Effekt zu beobachten. Da die Nuten (in diesem Fall) rückfördernd ausgeführt sind, ist in diesem Bereich auch eine Rückströmung zu erkennen. Bei der Modellierung wird zunächst zwischen Eingriffsbereich und Kanalbereich unterschieden.

$$\dot{V}_{dGME} = \dot{V}_{Kanal,dGME} + \dot{V}_{Eingriff,dGME}\tag{104}$$

Der Einfluss der Nuten auf das Verhalten der Elemente wird dann bei der Beschreibung der einzelnen Bereiche berücksichtigt.

Abbildung: Berechnete Geschwindigkeitsfelder in einem dichtkämmenden Gewindemischelement.

Das Rinnenmodell für dichtkämmende Gewindemischelemente ist vergleichbar mit dem für Gewindeelemente. Die Strömung in den Nuten wurde durch einen zusätzlichen Volumenstrom in der Bilanz um den im Bild markierten Kontrollraum ABC berücksichtigt.

Abbildung: Rinnenmodell für ein rückförderndes dichtkämmendes Gewindemischelement.

Eine Volumenstrombilanz in dem im Bild dargestellten Kontrollraum führt zu folgender Gleichung:

$$\dot{V}_{Kanal,dGME} = k \cdot \dot{V}_{z,dGME} + \dot{V}_{x,dGME} + l \cdot \dot{V}_{Nut,dGME}\tag{105}$$

Zur Beschreibung der Strömung in Kanalrichtung und in der Nut werden die entwickelten Modelle in allgemeiner Form verwendet:

$$\pi_{\dot V,z,dGME} = A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\tag{106}$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\tag{107}$$

$$\pi_{\dot V,N,dGME} = A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2 + A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,4} \cdot \pi_{p,N}^5\tag{108}$$

mit

$$\dot{V}_{z,dGME} = \pi_{V,z} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)\tag{109}$$

$$\dot{V}_{x,dGME} = \pi_{V,x} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)\tag{110}$$

$$\dot{V}_{Nut,dGME} = \pi_{V,N} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)\tag{111}$$

und

$$\pi_{p,z} = \frac{\Delta p}{Z_{fr}} \cdot \frac{\bar{h}^{1+n}}{K \cdot v_0^n}\tag{112}$$

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p \cdot s_R^{1+n}}{x \cdot K \cdot v_0^n}\tag{113}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{x} \cdot \frac{h_N}{K \cdot v_0^n}\tag{114}$$

und

$$\pi_{\dot V,z,dGME} = \frac{\dot{V}_z}{\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0}\tag{115}$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = \frac{\dot{V}_x}{s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0}\tag{116}$$

$$\pi_{\dot V,x,dGME} = \frac{\dot{V}_{Nut}}{h_N \cdot b_N \cdot v_0}\tag{117}$$

Durch Einsetzen erhält man:

$$\dot{V}_{Kanal,dGME} = k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right) \cdot A_{DSE,0} + \left(A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$ $$+l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right) \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)\tag{118}$$

Normiert man diese Gleichung auf $k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)$ folgt:

$$\pi_{\dot V,Kanal,dGME} = \frac{\dot{V}_{Kanal,dGME}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = A_{DSE,0} + \left(A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2\right.$$ $$\left.+A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3 + A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,0}\right.$$ $$\left.+A_{RE,1} \cdot \pi_{p,x} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,x}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,x}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,x}^5\right)$$ $$+\frac{l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,2} \cdot \pi_{p,N}^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)\tag{119}$$

Um eine umfassende Beschreibung des Prozessverhaltens zu erhalten, ist der Druckgradient in Rinnenrichtung mit den Druckgradienten über den Radialspalt und mit dem Druckgradienten in der Nut zu verknüpfen. Hierfür wird auf die von Ansahl [Ans93] vorgeschlagene Vorgehensweise zurückgegriffen. Die Koppelung der Druckgradienten in der Rinne und in der Nut kann analog erfolgen. Es ist lediglich zu berücksichtigen, dass die Nuten in einem bestimmten Winkel in die Schneckenflanke eingebracht werden, so dass sich die Länge, in der der Druckgradient wirkt, in den Nuten von der Länge des Schneckensteges unterscheidet. Somit können die Druckgradienten wie folgt gekoppelt werden.

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,GE} \cdot \pi_{p,z}\tag{120}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h_N^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}\tag{121}$$

$$\pi_{p,x} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}\tag{122}$$

$$\pi_{p,N} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}\tag{123}$$

mit:

$$\pi_{geo,GE} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\bar{h}}\right)^{1+n}\tag{124}$$

$$\pi_{geo,N} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n}\tag{125}$$

Aus den Gleichungen erhält man:

$$\pi_{ \dot V,Kanal,dGME} = \left(A_{DSE,0} + A_{DSE,1} \cdot \pi_{p,z} + A_{DSE,2} \cdot \pi_{p,z}^2 + A_{DSE,3} \cdot \pi_{p,z}^3\right.$$ $$\left.+A_{DSE,4} \cdot \pi_{p,z}^5\right) + \pi_1 \cdot \left(A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)\right.$$ $$\left.+A_{RE,2} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^2 + A_{RE,3} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^3 + A_{RE,4} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo}\right)^5\right)$$ $$+\pi_2 \cdot \left(A_{RE,N,0} + A_{RE,N,1} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right) + A_{RE,N,2} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^2\right.$$ $$\left.+A_{RE,N,3} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^3 + A_{RE,N,4} \cdot \left(\pi_{p,z} \cdot \pi_{geo,N}\right)^5\right)\tag{126}$$

mit

$$\pi_1 = \frac{\left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}\tag{127}$$

$$\pi_2 = \frac{l \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}\tag{128}$$

die Gleichung zur Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens des Kanalbereichs von Gewindeelementen:

$$\pi_{\dot V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0} + \pi_2 \cdot A_{RE,N,0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot A_{RE,N,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot A_{RE,N,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot A_{RE,N,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot A_{RE,N,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5\tag{129}$$

Die Strömung im Eingriffsbereich setzt sich zusammen aus einem Kammerförderungsanteil und einer Förderung in den Nuten.

Für die Beschreibung des Durchsatzverhaltens im Eingriffsbereich wird angenommen, dass das Durchsatzverhalten wesentlich von einer Kammerströmung dominiert wird. Allein die Nuten im Eingriffsbereich führen zu einem Einfluss des Druckgradienten auf die Strömung.

$$\dot{V}_{Eingriff,dGME} = \bar{A}_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0 + l_{zw} \cdot \pi_{V,Eingriff} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_{zw}\right)\tag{130}$$

Zur Beschreibung der Nutenströmung wird auf die Beschreibung für Rechteckkanäle zurückgegriffen:

$$\pi_{\dot V,Eingriff,dGME} = A_{RE,Z,0} + A_{RE,Z,1} \cdot \pi_{p,zw} + A_{RE,Z,2} \cdot \pi_{p,zw}^2 + A_{RE,Z,3} \cdot \pi_{p,zw}^3 + A_{RE,Z,4} \cdot \pi_{p,zw}^5\tag{131}$$

Abbildung: Axialgeschwindigkeiten im Eingriffsbereich eines dichtkämmenden Gewindemisch-elements.

Zur Kopplung der Druckgradienten im Eingriffsbereich und im Rinnenbereich wird angenommen, dass der Druckrückstau im Eingriffsbereich vernachlässigbar ist und so der gleiche Ansatz wie oben verwendet werden kann. Somit gilt folgende Gleichung:

$$\pi_{p,zw} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h_N^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,zw} \cdot \pi_{p,z}\tag{132}$$

mit

$$\pi_{geo,zw} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}} \cdot \frac {v_0}{v_{zw}} \right)^{1+n}\tag{133}$$

Mit Hilfe der vorgestellten Gleichungen kann eine Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von dichtkämmenden Gewindemischelementen generiert werden:

$$\pi_{\dot V,GE} = \left(A_{DSE,0} + \pi_1 \cdot A_{RE,0} + \pi_2 \cdot A_{RE,N,0} + \pi_3 \cdot A_{RE,Z,0} + \frac{\overline A_{Eingriff} \cdot t \cdot n_0}{k \cdot \bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0}\right)$$ $$+\left(A_{DSE,1} + \pi_1 \cdot \pi_{geo} \cdot A_{RE,1} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot A_{RE,N,1} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,1}\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^2 \cdot A_{RE,2} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot A_{RE,N,2} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,2}\right) \cdot \pi_{p,z}^2$$ $$+\left(A_{DSE,3} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^3 \cdot A_{RE,3} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot A_{RE,N,3} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,3}\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo}^5 \cdot A_{RE,4} + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot A_{RE,N,4} + \pi_3 \cdot \pi_{geo,zw} \cdot A_{RE,Z,4}\right) \cdot \pi_{p,z}^5\tag{134}$$

mit

$$\pi_3 = \frac{l_{zw} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_{zw}\right)}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)}\tag{135}$$

Das Bild zeigt einen Vergleich zwischen gemessenen dimensionslosen Druckgradienten und den mit Hilfe des Modells berechneten für ein förderndes und ein rückförderndes Gewindemischelement. Man erkennt, dass das Modell trotz der Vielzahl an Vereinfachungen in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit hinreichender Genauigkeit zu beschreiben.

Abbildung: Vergleich der experimentell ermittelten und der berechneten dimensionslosen Druckgradienten.

Die Beschreibung tangierender Mischelemente basiert auf der Vorgehensweise, die im vorherigen Kapitel für dichtkämmende Mischelemente vorgestellt wurde. Aufgrund des reduzierten Außendurchmessers ist es möglich ein Elementpaar mit vollständig unterschiedlichen Geometrien zu bilden. Die nachfolgend vorgestellt Beschreibung ist beschränkt auf Elemente, die aus einem fördernden und einem rückfördernden Element mit ähnlicher Geometrie bestehen. Einziger Unterschied zwischen den Elementen soll die Richtung der Gangsteigung sein.

Betrachtet man die Strömung im Eingriffsbereich dieser Elemente, so fällt auf, dass die Axialgeschwindigkeiten entlang des Elementpaares stark variieren. In den im Bild mit „r;r;a“r; markierten Bereichen, liegt eine maximale Axialgeschwindigkeit von ca. +40 mm/s und in den mit „r;r;b“r; gekennzeichneten Bereichen liegt eine Axialgeschwindigkeit von ca. -40 mm/s vor. Hieraus lässt sich die Vereinfachung ableiten, dass die Summe der Volumenströme in zwei aufeinander folgenden Eingriffsbereichen annähernd Null ist.

Abbildung: Verteilung der Axialgeschwindigkeiten in tangierenden Gewindemischelementen

Da sich also die Volumenströme in aufeinander folgenden Zwickelbereichen ausgleichen, folgt, dass der Eingriffsbereich keinen oder einen vernachlässigbaren Beitrag zum Druck-Durchsatzverhalten leistet. Somit wird dieser Bereich im Folgenden vernachlässigt.

Die Abwicklung des tangierenden Gewindemischelementes in die Ebene ergibt das im Bild dargestellte Rinnenmodell.

Abbildung: Rinnenmodell für tangierende Gewindemischelemente.

Die Bilanz der Volumenströme in dem Kontrollraum ABCD ergibt:

$$\dot{V}_{tGME} = \left(k \cdot \dot{V}_{z,fe} + \dot{V}_{x,fe} + l \cdot \dot{V}_{Nut,fe}\right) + \left(k \cdot \dot{V}_{z,rfe} + \dot{V}_{x,rfe} + l \cdot \dot{V}_{Nut,rfe}\right)\tag{136}$$

mit

$$\dot{V}_{z,fe} = \pi_{\dot V,z,fe} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)\tag{137}$$

$$\dot{V}_{x,fe} = \pi_{\dot V,x,fe} \cdot \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)\tag{138}$$

$$\dot{V}_{Nut,fe} = \pi_{\dot V,N,fe} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)\tag{139}$$

$$\dot{V}_{z,rfe} = \pi_{\dot V,z,rfe} \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)\tag{140}$$

$$\dot{V}_{x,rfe} = \pi_{\dot V,x,rfe} \cdot \left(s_R \cdot b_{Steg} \cdot v_0\right)\tag{141}$$

$$\dot{V}_{Nut,rfe} = \pi_{\dot V,N,rfe} \cdot \left(h_N \cdot b_N \cdot v_0\right)\tag{142}$$

Die dimensionslosen Volumenströme sind wie folgt definiert:

$$\pi_{\dot V,z,fe} = A_{DSE,fe,0} + A_{DSE,fe,1} \cdot \pi_{p,z,fe} +|A_{DSE,fe,2} \cdot \pi_{p,z,fe}^2$$ $$+A_{DSE,fe,3} \cdot \pi_{p,z,fe}^3 + A_{DSE,fe,4} \cdot \pi_{p,z,fe}^5\tag{143}$$

$$\pi_{\dot V,x,fe} = A_{RE,fe,0} + A_{RE,fe,1} \cdot \pi_{p,x,fe} + A_{RE,fe,2} \cdot \pi_{p,x,fe}^2$$ $$+A_{RE,fe,3} \cdot \pi_{p,x,fe}^3 + A_{RE,fe,4} \cdot \pi_{p,x,fe}^5\tag{144}$$

$$\pi_{\dot V,N,fe} = A_{RE,N,fe,0} + A_{RE,N,fe,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,N,fe,2} \cdot \pi_{p,N}^2$$ $$+A_{RE,N,fe,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,N,fe,4} \cdot \pi_{p,N}^5\tag{145}$$

$$\pi_{\dot V,z,rfe} = A_{DSE,rfe,0} + A_{DSE,rfe,1} \cdot \pi_{p,z,rfe} + A_{DSE,rfe,2} \cdot \pi_{p,z,rfe}^2$$ $$+A_{DSE,rfe,3} \cdot \pi_{p,z,rfe}^3 + A_{DSE,rfe,4} \cdot \pi_{p,z,rfe}^5\tag{146}$$

$$\pi_{\dot V,x,rfe} = A_{RE,rfe,0} + A_{RE,rfe,1} \cdot \pi_{p,x,rfe} + A_{RE,rfe,2} \cdot \pi_{p,x,rfe}^2$$ $$+A_{RE,rfe,3} \cdot \pi_{p,x,rfe}^3 + A_{RE,rfe,4} \cdot \pi_{p,x,rfe}^5\tag{147}$$

$$\pi_{\dot V,N,rfe} = A_{RE,N,rfe,0} + A_{RE,N,rfe,1} \cdot \pi_{p,N,rfe} + A_{RE,N,rfe,2} \cdot \pi_{p,N,rfe}^2$$ $$+A_{RE,N,rfe,3} \cdot \pi_{p,N,rfe}^3 + A_{RE,N,rfe,4} \cdot \pi_{p,N,rfe}^5\tag{148}$$

mit den definierten Kenngrößen.

Nimmt man nun vereinfachend an, dass die Isobaren senkrecht zur Schneckenachse verlaufen, gilt:

$$\frac{\Delta p_{fe}}{\Delta z} = \frac{\Delta p_{rfe}}{\Delta z} \Leftrightarrow \pi_{p,z,fe} = \pi_{p,z,rfe}\tag{149}$$

Die Druckgradienten in Kanalrichtung und quer dazu werden wieder analog zu den bisher vorgestellten Vorgehensweisen gekoppelt.

$$\Delta p_x = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{\tan(\varphi_s)}\tag{150}$$

Dimensionslose Kenngrößen zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von tangierenden Gewindemischelementen:

Somit können auch hier dimensionslose Faktoren für die Kopplung der Volumenströme definiert werden:

$$\pi_{p,x,fe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}\tag{151}$$

$$\pi_{p,N,fe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}\tag{152}$$

$$\pi_{p,x,rfe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \frac{s_R^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,x} \cdot \pi_{p,z}\tag{153}$$

$$\pi_{p,N,rfe} = \frac{\Delta p}{\Delta z} \cdot \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \frac{h^{1+n}}{K \cdot v_0^n} = \pi_{geo,N} \cdot \pi_{p,z}\tag{154}$$

mit:

$$\pi_{geo,x} = \frac{b_{max} + e_{max}}{e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \left(\frac{s_R}{\bar{h}}\right)^{1+n}\tag{155}$$

$$\pi_{geo,N} = \frac{\Delta p \cdot b_{max} + e_{max}}{\Delta z \cdot e_{max} \cdot \tan(\varphi_s)} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi_s - \varphi_N\right) \cdot \left(\frac{h_N}{\bar{h}}\right)^{1+n}\tag{156}$$

Setzt man diese Gleichungen in die Bilanz ein, erhält man das Modell zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens im Rinnenbereich:

$$\pi_{\dot V,tGME} = \frac{\dot{V}_{tGME}}{k \cdot \left(\bar{h} \cdot b_{max} \cdot v_0\right)} = \left(A_{DSE,fe,0} + A_{DSE,rfe,0} + \pi_1 \cdot \left(A_{RE,fe,0} + A_{RE,rfe,0}\right)\right)$$ $$+\pi_2 \cdot \left(A_{RE,N,fe,0} + A_{RE,N,rfe,0}\right) + \left(A_{DSE,fe,1} + A_{DSE,rfe,1}\right.$$ $$\left.+\pi_1 \cdot \pi_{geo,x} \cdot \left(A_{RE,fe,1} + A_{RE,rfe,1}\right) + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N} \cdot \left(A_{RE,N,fe,1} + A_{RE,N,rfe,1}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}$$ $$+\left(A_{DSE,fe,2} + A_{DSE,rfe,2} + \pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^2 \cdot \left(A_{RE,fe,2} + A_{RE,rfe,2}\right)\right.$$ $$\left.+ \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^2 \cdot \left(A_{RE,N,fe,2} + A_{RE,N,rfe,2}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^2 + \left(A_{DSE,fe,3} + A_{DSE,rfe,3}\right.$$ $$\left.+\pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^3 \cdot \left(A_{RE,fe,3} + A_{RE,rfe,3}\right) + \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^3 \cdot \left(A_{RE,N,fe,3} + A_{RE,N,rfe,3}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^3$$ $$+\left(A_{DSE,fe,4} + A_{DSE,rfe,4} + \pi_1 \cdot \pi_{geo,x}^5 \cdot \left(A_{RE,fe,4} + A_{RE,rfe,4}\right)\right.$$ $$\left.+ \pi_2 \cdot \pi_{geo,N}^5 \cdot \left(A_{RE,N,fe,4} + A_{RE,N,rfe,4}\right)\right) \cdot \pi_{p,z}^5\tag{157}$$

Der Vergleich der Modellvorhersagen mit experimentellen Ergebnissen für unterschiedliche Polymere zeigt, dass das Modell, trotz der Vielzahl an Vereinfachungen, hinreichend genau ist.

Abbildung: Vergleich berechneter und gemessener dimensionsloser Druckgradienten für ein tangierendes Gewindemischelement

Für die Berechnung des Druck-Durchsatzverhaltens in Zahnmischelementen sind folgende Modellannahmen notwendig:

• Die Spalte im Eingriffsbereich der Zahnmischelemente sind konstant ($s_F \approx s_W$).
• Die Strömung in den Nuten kann hinreichend genau durch eine Strömung in Rechteckkanälen beschrieben werden.

Abbildung: Reale Zahnscheibengeometrie und geometrisches Ersatzmodell.

Die Beschreibung des Prozessverhaltens basiert auf der Überlagerung der Volumenströme in den Nuten und im Scheibenbereich.

$$\dot{V}_{ZE} = \dot{V}_{Scheibe} + i_N \cdot \dot{V}_{Nut}\tag{158}$$

Zur Beschreibung des Volumenstroms wird der vorgestellte Ansatz verwendet:

$$\dot{V}_{Scheibe} = A_{frei,SE} \cdot D_a \cdot n_0 \cdot \left(A_{SE,1} \cdot \pi_{p,SE} + A_{SE,2} \cdot \pi_{p,SE}^2 + A_{SE,3} \cdot \pi_{p,SE}^3\right)\tag{159}$$

Die Modellierung des Förderverhaltens in den Nuten wird auf der Basis der vorgestellten Ansätze erfolgen:

$$\dot{V}_{Nut} = h_N \cdot b_N \cdot v_0 \cdot \left(A_{RE,0} + A_{RE,1} \cdot \pi_{p,N} + A_{RE,2} \cdot \pi_{p,N}^2 + A_{RE,3} \cdot \pi_{p,N}^3 + A_{RE,4} \cdot \pi_{p,N}^5\right)\tag{160}$$

Hieraus ergibt sich folgende Gleichung zur Beschreibung des Druck-Durchsatzverhaltens von Zahnmischelementen:

$$\pi_{\dot V,ZE} = A_{ZE,0} + A_{ZE,1} \cdot \pi_p + A_{ZE,2} \cdot \pi_p^2 + A_{ZE,3} \cdot \pi_p^3 + A_{ZE,4} \cdot \pi_p^5\tag{161}$$

mit:

$$\pi_{\dot V,ZE} = \frac{\dot{V}_{ZE}}{A_{fr} \cdot D_a \cdot n_0}\tag{162}$$

$$\pi_p = \frac{\Delta p}{L} \cdot \frac{D_a}{K \cdot n_0^n}\tag{163}$$

und

$$A_{ZE,0} = A_{RE,0} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V}\tag{164}$$

$$A_{ZE,1} = A_{SE,1} + A_{RE,1} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}\tag{165}$$

$$A_{ZE,2} = A_{SE,2} + A_{RE,2} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^2\tag{166}$$

$$A_{ZE,3} = A_{SE,3} + A_{RE,3} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^3\tag{167}$$

$$A_{ZE,4} = A_{SE,3} + A_{RE,4} \cdot i_N \cdot \pi_{geo,V} \cdot \pi_{geo,p}^5\tag{168}$$

Die beiden Faktoren $\pi_{geo,V}$ und $\pi_{geo,p}$ werden zur Koppelung der beiden Volumenströme benötigt. Sie sind definiert als:

$$\pi_{geo,V} = \frac{h_N \cdot b_N \cdot v_0}{A_{frei} \cdot D_a \cdot n_0}\tag{169}$$

und:

$$\pi_{geo,p} = \sin(\varphi_{Nut}) \cdot \pi^n \cdot \frac{D_a^{1+n}}{h^{1+n}}\tag{170}$$

Das Bild zeigt einen Vergleich der Modellvorhersagen mit experimentellen Ergebnissen. Man erkennt, dass das Modell in der Lage ist, die experimentellen Ergebnisse mit befriedigender Genauigkeit zu beschreiben.

Abbildung: Vergleich experimenteller und approximierter dimensionsloser Druckgradienten in fördernden Zahnmischelementen.

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