Zur Bestimmung zeitlich veränderlicher Temperaturfelder innerhalb eines Körpers wird die Fourier-Differential-Gleichung betrachtet (hier in Zylinderkoordinaten): [VDI06]

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = -\lambda \left[\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial T}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right] \pm \dot{q}_s$$ Gleichung 3

Für das betrachtete Problem (d. h. keine externe Wärmequelle, kein Temperaturgradient in Winkelrichtung) vereinfacht sich der Ausdruck folgendermaßen:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p} \cdot \left[\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r}\right]$$ Gleichung 4

Für exakte Lösungen müssen die partiellen Ableitungen bestimmt werden. Die Finite-Differenzen-Methode liefert eine Näherungslösung, wobei der eingebrachte Fehler durch einen steigenden Diskretisierungsgrad minimiert werden kann. Allerdings erhöht sich hiermit auch der Rechenaufwand.

Zur Approximation der partiellen Ableitungen wird eine Taylorreihenentwicklung durchgeführt: Die Entwicklung der Temperatur ergibt für einen kleinen Zeitschritt: [BK97]

$$T_{t+\Delta t,r} = T_{t,r} + \frac{\partial T}{\partial t} \Delta t + \cdots$$ Gleichung 5

Diese wird nach dem ersten Glied abgebrochen, sodass sich

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T_{t+\Delta t,r} - T_{t,r}}{\Delta t}$$ Gleichung 6

ergibt. Mit

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T_{t+\Delta t,r} - T_{t,r}}{\Delta t} = \frac{T_{i+1,j} - T_{i,j}}{\Delta t}$$ Gleichung 7

wird die erste der drei partiellen Ableitungen angenähert. Eine Taylorreihenentwicklung der Temperatur in radiale Richtung mit Abbruch nach dem zweiten Glied liefert: [BK97]

$$T_{i,j+1} = T_{i,j} + \frac{\partial T}{\partial r} \Delta r + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} \Delta r^2 + \cdots$$ Gleichung 8

$$T_{i,j-1} = T_{i,j} - \frac{\partial T}{\partial r} \Delta r + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} \Delta r^2 + \cdots$$ Gleichung 9

Diese beiden Gleichungen werden addiert:

$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta r^2}$$ Gleichung 10

Durch Einsetzen von Gleichung 10 in Gleichung 8 oder Gleichung 9 ergibt sich:

$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{\Delta r}$$ Gleichung 11

Hiermit sind alle partiellen Ableitungen näherungsweise bestimmt. Einsetzen in Gleichung 4 liefert:

$$\frac{T_{i+1,j} - T_{i,j}}{\Delta t} = a \left[\frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta r^2} + \frac{1}{r} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{\Delta r}\right]$$ Gleichung 12

Nach einigen Vereinfachungen ergibt sich folgender Ausdruck:

$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta t \cdot a}{R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right]$$ Gleichung 13

Zusätzlich kann der Zeitunterschied t durch das Verhältnis der Länge zur Abzugsgeschwindigkeit beschrieben werden:

$$T_{i+1,j} = T_{i,j} + \frac{\Delta x \cdot a}{v_{ab} \cdot R^2} \left[(T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}) \cdot N^2 + \frac{N}{j} \cdot \frac{T_{i,j+1} - T_{i,j-1}}{2}\right]$$ Gleichung 14

Es wird ersichtlich, dass sich die Temperatur anhand von drei Temperaturen, die sich im vorhergehenden Längensegment i befinden, bestimmen lässt. Soll die Temperatur im letzten Radialsegment bei j=N bestimmt werden, existiert keine vorhergehende Temperatur mit dem Index j+1, analog existiert in Strangmitte keine vorhergehende Temperatur mit j-1. Demnach müssen für diese Grenzfälle Randbedingungen definiert werden, um Hilfstemperaturen zu berechnen.