Zunächst wird angenommen, dass die anfängliche Strangtemperatur konstant über den Querschnitt verteilt vorliegt und der Temperatur an der Schneckenspitze bzw. dem Maschinenaustritt entspricht.

$$T_{0,j} = T_M \text{ für alle j}$$ Gleichung 15

Auf dieser Grundlage und mit Hilfe der im Folgenden beschriebenen Randbedingungen können die Strangtemperaturen über die gesamte Kühlstrecke berechnet werden.

Für alle Radialsegmente mit dem Index j=1 wird angenommen, dass die beiden Vorgängertemperaturen gleich sind. Hiermit ergibt sich Gleichung 14 zu:

$$T_{i+1,1} = T_{i,1} + \frac{\Delta x \cdot a}{v_{ab} \cdot R^2} \cdot (T_{i,2} - T_{i,1}) \cdot \frac{3}{2} \cdot N^2$$ Gleichung 16

Im letzten Radialsegment bei j=N existiert keine vorhergehende Temperatur mit dem Index j+1. Daher wird an dieser Stelle eine Hilfstemperatur benötigt, die mit der Umgebungstemperatur, also der Kühlwassertemperatur, verknüpft ist. Hierfür wird eine Hilfsschicht definiert, die sich eine Schrittweite hinter dem letzten Segment befindet und somit den Index j+1 darstellt.

Es ist anzumerken, dass sich die berechneten Temperaturen jeweils in der Mitte der definierten Segmente befinden, vergleiche Abbildung 2. Das bedeutet, dass für j=N, also das letzte Segment, nicht die Oberflächentemperatur berechnet wird. Die Oberfläche liegt um die Länge verschoben vor, siehe Abbildung 3. Wie die Oberflächentemperatur bestimmt wird, wird in Abschnitt 1.4 erläutert.

Zur Bestimmung der Temperatur in der definierten Hilfsschicht wird die Randbedingung dritter Art (oder auch Newton-Randbedingung) betrachtet, die für den konvektiven Wärmeübergang verwendet wird. Die jeweilige Hilfstemperatur kann hier graphisch ermittelt werden, vergleiche Abbildung 3. [BK97]; [VDI06]

$$T_{i,Hilfs.} = T_{i,N} + \frac{\lambda}{\alpha + \frac{\lambda}{\Delta r}} \cdot (T_U - T_{i,N})$$ Gleichung 17

Mit Hilfe der Steigung zwischen $T_{i,N}$ und $T_U$ kann die Hilfstemperatur $T_{i,Hilfs.}$ bestimmt werden. Der Abstand ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen dem Wärmestrom der an die Umgebung abgegeben wird und dem vom Strang über Wärmeleitung nachgelieferten Wärmestrom, vergleiche [BK97].

Abbildung 3: Beispielhafte Temperaturverläufe bei i und bei i+1