Eine Möglichkeit, die an der Zylinderinnenwand anliegende Temperatur zu bestimmen, ist es, diese vom Kühlkanal ausgehend zu berechnen. Der Wärmestrom pro Fläche, der maximal durch die Temperierung des Zylinders aus der Schmelze abgeführt werden kann, kann herangezogen werden, um den Wärmestrom in Kanalhöhenrichtung in der Schmelzetemperaturberechnung präziser zu bestimmen. Eine generelle Vorgehensweise zur Berechnung des abzuführenden spezifischen Wärmestroms wird beispielhaft für zwei verschiedene Kühlkanalanordnungen vorgeführt. Die erste verwendete Anordnung ist die in folgender Abbildung dargestellte wie sie bei der ZE-UTX-Baureihe von Kraus-Maffei Berstorff üblich ist.

Abbildung: Anordnung der Kühlkanalbohrungen (hell) und Heizpatronen (dunkel) innerhalb eines Zylinderelementes einer ZE-UTX der Kraus-Maffei Berstorff GmbH; Quelle: KraussMaffei Berstorff 2002

Die dargestellte Zylinderausführung wird für das weitere Vorgehen in die unten gezeigte Ersatzgeometrie überführt. Dabei wird ein Zylinderelement gemäß der Anzahl der Umschlingungen der Bohrung durch den Kühlkanal $i_n$ in die entsprechende Anzahl der Ersatzgeometrieelemente – in diesem Fall drei Elemente – zerlegt.

Es werden nur die Wärmeübertragungsvorgänge zwischen der Zylinderbohrungsinnenfläche und der Kühlkanalaußenfläche betrachtet; die Wärmeübertragungsvorgänge zwischen Zylinderaußenfläche und Kühlkanaloberfläche werden zunächst vernachlässigt. Ebenso wird hier nur der Vorgang der Kühlung betrachtet.

Die Oberfläche der Zylinderachtbohrung wird in einen Quader mit gleicher Oberfläche umgerechnet. Der sich ergebende Quader hat die Breite $x$, die Höhe $y$ und die Länge $L_{Zyl}/i_n$. Damit ändern sich auch die Abstände $S_x$ und $S_y$ der Zylindergrenzfläche von den Kühlkanälen in $S_x^*$ und $S_y^*$. Der Quader sei dabei so gewählt, dass sich das Verhältnis von Breite zu Höhe genauso verhält wie das entsprechende Verhältnis der realen Zylinderachtbohrung.

Abbildung: Für die Berechnung verwendete Ersatzanordnung

Ausgangspunkt für die Berechnung ist eine Wärmestrombilanz am Volumen zwischen Zylinder- und Kühlkanaloberfläche. Die Wärmestromdichte $\dot{q}_{kühl}$ sei über der gesamten Kühlkanallänge konstant.

Abbildung: Auftretende Wärmeströme

Die Bilanz der Wärmeströme lautet in Höhenrichtung

$$\dot{Q}_{Zyl,y} - \dot{Q}_{\xi} = \dot{Q}_{Kühl,y}$$

Nach Einführung der dimensionslosen Höhenkoordinate

$$\xi = \frac{y'}{s_y}$$

mit $y'$ als Laufkoordinate ergibt sich aus obiger Gleichung

$$\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} \cdot \frac{dT}{d\xi} - \left(\frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}} - 1\right) \cdot \xi \cdot \frac{dT}{d\xi} = \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}}$$

wobei $A_{Quad,y}$ die Fläche des die Achtbohrung ersetzenden Quaders in der xz-Ebene

$$A_{Quad,y} = y \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n}$$

und $A_{Kühl,y}$

$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y}$$

entsprechend die untere Hälfte der Kühlkanaloberfläche in der xz-Ebene sind.

An der Kühlkanaloberfläche liege die Temperatur $T_{Kühl}$, an der Zylinderoberfläche in der xz-Ebene die Temperatur $T_{Z,y}$ vor. Nach Integration und Durchführung weiterer Umformungen resultiert

$$T_{Z,y} = T_{Kühl} - \frac{s_y^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}}$$

Analog kann die Temperatur $T_{Z,x}$ an der Zylinderoberfläche in der zy-Ebene ermittelt werden.

$$T_{Z,x} = T_{Kühl} - \frac{s_x^* \cdot \dot{q}_{Kühl}}{\lambda_{Zyl}} \cdot \frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,x}}{A_{Quad,x}}\right)}{1 - \frac{A_{Quad,x}}{A_{Kühl,x}}}$$

Mit den Flächen

$$A_{Quad,x} = x \cdot \frac{L_{Zyl}}{i_n}$$

und

$$A_{Kühl,y} = \frac{1}{2} \pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Kühl,y}$$

Da für die weiteren Berechnungen eine uneinheitlich angenommene Temperatur an der Zylinderbohrungsfläche nicht praktikabel ist, wird die mittlere Zylindertemperatur $T_Z$ wie folgt bestimmt:

$$T_Z = \frac{A_{Quad,x}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,x} + \frac{A_{Quad,y}}{A_{Quad,x} + A_{Quad,y}} \cdot T_{Z,y}$$

Mit der Abnahme des Wärmeübergangskoeffizienten ist eine Abnahme der Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche verbunden. Die Wärmestromdichte an der Kühlkanaloberfläche kann nach Reiners [Rei87] aus dem Produkt von Wärmeübergangskoeffizienten des Kühlmediums $\alpha_{Med}$ und der Temperaturdifferenz zwischen Kühlmedium und Kühlkanaloberfläche/Kühlmedium-Grenzfläche $(T_{Kühl} - T_{Med})$ bestimmt werden.

$$\dot{q}_{Kühl} = \alpha_{Med}(T_{Kühl} - T_{Med})$$

Durch Einsetzen von $T_{Kühl}$ in die letztgenannte Gleichung ergibt sich:

$$\dot{q}_{Kühl} = \frac{\alpha_{Med}(T_{Z,y} - T_{Med})}{1 - \frac{B i_y}{1 - \frac{A_{Quad,y}}{A_{Kühl,y}}} \cdot \ln\left(\frac{A_{Kühl,y}}{A_{Quad,y}}\right)}$$

Eine andere weit verbreitete Anordnung der Kühlkanäle ist in folgender Abbildung dargestellt. In diesem Fall sind die Kühlkanalbohrungen parallel zur Extrusionsrichtung angeordnet.

Abbildung: Zylindergeometrie mit extrusionsrichtungsparallelen Kühlkanälen [Werksbild Krauss-Maffei Berstorff, 2007]

Unter Berücksichtigung der in der folgenden Abbildung gezeigten Ersatzanordnung kann die Grenzflächentemperatur in analoger Weise zur zuvor aufgezeigten Vorgehensweise ermittelt werden.

Abbildung: Für die Berechnung verwendete Ersatzanordnung für die Zylindergeometrie mit extrusionsrichtungsparallelen Kühlkanälen

Die Achtbohrung wird in diesem Fall nicht durch einen oberflächengleichen Quader, sondern durch ein oberflächengleiches Rohr ersetzt.

$$\frac{O_{Acht}}{O_{Rohr}} = 1$$

Daraus ergibt sich der Durchmesser des Rohrs $r_i$:

$$r_i = -\frac{L_{Zyl}}{2} + \sqrt{\left(\frac{L_{Zyl}}{2}\right)^2 + U}$$

wobei

$$U = \frac{\frac{1}{2}(2\pi - \Omega) \cdot D_z^2 + a \cdot D_z \cdot \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right) + (2\pi - \Omega) \cdot D_z \cdot L_{Zyl}}{2\pi}$$

Die Ersatzanordnung wird zerlegt in eine Anzahl Teilelemente, die der Kühlkanalbohrungsanzahl entspricht.

Der Abstand errechnet sich dann aus

$$s_r = r_a - r_i$$

Nach Einführung der dimensionslosen Radialkoordinate

$$\zeta = \frac{r'}{s_r}$$

mit $r'$ als Laufkoordinate lautet die Wärmestrombilanz in Radialrichtung

$$\dot{Q}_{Zyl,r} - \dot{Q}_{\zeta} = \dot{Q}_{Kühl,r}$$

Nach Einsetzen und Umformen ergibt sich daraus folgende beschreibende Gleichung

$$\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} \cdot \frac{dT}{d\zeta} - \left(\frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}} - 1\right) \cdot \zeta \cdot \frac{dT}{d\zeta} = \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}}$$

mit der Fläche des Teilstück des Ersatzrohres

$$A_{Rohr} = \frac{2\pi \cdot r_i \cdot L_{Zyl}}{i_{Kühl}}$$

und der Kühlkanalfläche

$$A_{Kühl,r} = \frac{\pi \cdot D_{Kühl} \cdot L_{Zyl}}{2}$$

Dabei wird davon ausgegangen, dass die Länge des Kühlkanals in z-Richtung $L_{Kühl,z}$ der Länge des Zylinderelementes $L_{Zyl}$ entspricht.

Somit ergibt sich schließlich die Temperatur $T_r$ an der Zylinderoberfläche

$$T_{Zyl,r} = T_{Kühl} - \frac{\dot{q}_{Kühl} \cdot s_r}{\lambda_{Zyl}} \left(\frac{\ln\left(\frac{A_{Kühl,r}}{A_{Rohr}}\right)}{1 - \frac{A_{Rohr}}{A_{Kühl,r}}}\right)$$

[Rei87] U. Reiners: „Wärmeübertragung durch Spritzwasserkühlung heißer Oberflächen im Bereich stabiler Filmverdampfung„, Dissertation, TU Clausthal, 1987

[Thü08] A. Thümen: „Untersuchung und Beschreibung des dispersen Aufschmelzens in Gleichdrall-Doppelschneckenextrudern“, Dissertation, Universität Paderborn, 2008